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1、第01练 空间向量及其运算、空间向量基本定理4产 _番积累运用【知识梳理】知识点一向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）.在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量.【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如标、正，字母表示，用小写字母之、京表示.有向向量的长度为模，表示为 咫、百，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量.【向量的模】标的大小，
2、也就是国勺长度（或称模），记作I袍.【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作6,零向量的长度为0,方向不确定.【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量标（与屈共线的单位向量是Y-）-|A B|【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.知识点二平行 向 量（共线）1、平行向量：方向相同或相反的非零向量.如果之，b.康非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位之芯3,任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行.2、共线向量：如果几个向量用同一个起点的有向线段表示
3、后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量.零向量与任一向量共线.说明：（1）向量有两个要素：大小和方向.（2）向量之与向量赢线的充要条件是：向量a与向量b 的方向相同或相反，或者有一个是零向量.共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量.知识点三两向量的和或差的模的最值【知识点的知识】向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减.就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量.当两个向量相加时，有住+石、高+值，当且仅当Z 与芯方向相同时取得到等号；也有日+芯2 后-向，当且仅当之与诂向相反时取得到等号.另外还有G-T m Z+l 芯,当且仅当之与E方向相反时取得
4、到等号.；la-b lla i-|H I 当且仅当之与诂向相同时取得到等号.知识点四向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量W的积是一个向量，记作入；，它的大小为|入胃=囚|七，其方向与人的正负有关.若|九蔡如，当心 0 时，。的方向与之的方向相同，当 入 v o 时，二的方向与之的方向相反.当 入=0时，入 a 与 a 平行.对于非零向量。、b,当以0时，有 2 1 0&=。（2）向量数乘运算的法则 1 a-a：（-1）a a：（*）a=%（g）a=N（a）;（X+g）a=a+N a；入（a b）=a+b.一般地，武用芯叫做之，式的一个线性组合（其中，X、H 均为系数）.如 果 1
5、=入晶口4，则称工可以用Z，血性表示.二 磁-zK-_基础过关练JBt-_ _1.（2 0 2 2 镇海区校级模拟）已知向量沌万，则“存在实数/I,使得所=2 万 是 泣万共线 的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】根据已知条件，结合向量共线的判定定理，即可求解.【解答】解：存在实数4,使得而=2 万，则沌力共线，故充分性成立，阻力共线，当斤为零向量时，m =An,不一定成立，故必要性不成立，故“存在实数2，使得m =A n”是“范万共线 的充分而不必要条件.故选：A .【点评】本题主要考查向量共线的判定定理，属于基础题.2.(202
6、2江西模拟)己知向量。=(2,4)3=(-2刈)，S.a+b a-b ,则加=()20A.6 B.I C.D.23【分析】由己知条件结合向量模的求法可得小彼=0,再代入坐标运算即可求解.【解答】解:由题意可得i，+w=m-5-，H P a2+2a-b+b2=a2-2a-b+b2,可得Z万=0,又2=(2,4),5=(-2,?)，即有 2x(-2)+4w=0.解得m=1,故选：B .【点评】本题考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题.3.(2022洛阳模拟)已知向量2=(1,sin。)，b=(T,c o s6),则“。=把”是“万6”的()4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C
7、.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】根据已知条件，结合向量的平行公式，即可求解.【解答】解：当。4时，2=(1,亭，3=(-1,-奉，.Tx(一 争=*x(-l),/.a!lb,故充分性成立，向量1=(1,sin。)，B=(-1,COS6),al lb.3 7则 cose=-sin。，解得 tan6=-l,6 =兀 +2k 兀(k e Z)或 8=九 +2k 兀(k e Z),故必要性不4 4成立，故“红，是“a U b”的充分不必要条件.故选：A .【点评】本题主要考查向量的平行公式，属于基础题.4.（2 02 2 辽宁模拟）已知点P 为A 4 8 c 的重心，N 8 =3,/C
8、=6,/=丁，点。是线段8 尸的中点，贝！1|而|为（）A.2B-ic.GD.23【分析】由已知可 得 衣=g（而+就），A Q =（A B+A P）,然后根据向量模的运算性质化简即可求解.【解答】解：由已知可 得 万=?而+%），A Q =（A B +A P）,”.1 1 -.1 4 1 所以 Z 0 =-A B+（Z 8 +A C）=，=x 2-/3 =5/3 2故选：C .【点评】本题考查了向量的概念以及模的运算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.5.（2 02 2 乌鲁木齐模拟）若平面向量 与加=（1,-1）方向相同，且|2|=2&,则1 =（）A.（-V 2,V 2）B.（7 2
9、,-7 2）C.（-2,2）D.（2,-2）【分析】根据题意可设=2 很，且 4 0,再根据模长公式列方程求出2即可.【解答】解:因 为 与B =。,-1）方向相同，可设G =花=（人-/）,J 3.2 0.又因为|）|=2 0，所以|叫2=万+（-4）2=2 4 2=（2 衣 2 =8 ,解得2 =2,所以。=（2,-2）.故选：D .【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题，是基础题.6.（2 02 2 榆林二模）已知|宓|=|在|=2 ,|砺|=1,则|5+3 砺 仁（）A.2 B.4 C.V 1 0 D.V 1 5【分 析】由|次|=|德|=|赤-次|,两 边 平 方 可
10、得OA OB =,再 由 向 量OA+3OB =y l（04+30B）2展开代入求解即可.【解答】解：由题意，可得|次|=|而|=|历-方|,即 OA =（O B-O A）2=O B2-2OA OB +OA ,又|明=2,|函=1,代入可得4 =1-2 次 丽+4 ,解 得 次 丽=L2所以|方+3 丽|=J（而+3 砺 =J。7+6 万.砺+9 南=4 +6 x；+9 =4 ,故选：B .【点评】本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题.7.（2 02 1 浙江模拟）已知nB为单位向量，向量5 满足|2 3 +可=|小彼|,则|5-5|的最大值为（）A.V 2 B.2 C.6 D.3【分
11、析】l h|2 c +5|=|a-6|T i J I I|c-（-）=a-b,所以寸的终点的轨迹是以-色的终点为圆心，；旧彼|为半径的圆，伍-在|的最大值是圆心与B的终点之间的距离加上半径，即为|彼-（-色）|+；|晨彼|,再将其化成,很的模和夹角可解得.【解答】解：设万与B的夹角6,由1 25 +码=|限分|可知|-9|=；B|,所以己的终点的轨迹是以-1的终点为圆心，a-h 为半径的圆，用-均 的最大值是圆心与否的终点之间的距离加上半件，即为.恬+会+；|心很|=/很+|）2+；|晨彼|J 1 +；+晨3 +a-b=+c o s +g|c o s 01故选：B .【点评】本题考查平面向量数
12、量积性质及运算、向量模、向量和差几何意义，考查数学运算能力，属于难题.8.（2022吕梁一模）在 A 4 8 C 中，。为 8 c 的中点，E B =2A E,A F =2F C ,E F 与 A D 交于 G,A G AAD,贝(4 =()B【分析】由 就=（方+配）=蓑 荏+,而，结合点、G、尸三点共线求解即可.【解答】解：由A 4 8 C 中，。为5c的中点，丽=2 施，A F =2F C ,EF与 AD交于G ,A G=A A D,则 就=而+就）=2 荏+9，2 2 4由点E、G、尸三点共线，m ii 3 2 3 2则一+=1,2 4解得4=3,9故选：B .【点评】本题考查了平面向
13、量的线性运算，重点考查了三点共线的性质，属基础题.9.（2021 新乡二模）在A 4 8 C 中，衣琉（酢+就）,0 为 8c边的中点，则（）A.3A E =1E D B.1A E =3E D C.2A E =3E D D.3A E =2E D【分析】由于。为 8 C边的中点，可 得 而+X =2石，结合已知即可求解向量 在，通 的关系式.【解答】解：因为。为 8 C 边的中点，所以刀+/=2而，因 为 荏=（而+祝），1 0_ _ _ _ _ q _ _ _ _ _ _所以荏而，W O 2A E =3E D .5故选：c.【点评】本题主要考查了向量的运算，考查了转化思想，属于基础题.二.填
14、空 题（共 6 小题）10.（2022呼和浩特一模）己知菱形/B C D 的边长为3,/BAD=120。，点E,尸分别在边BC,上，且满足砺=比，函=2方，则I荏+布=3.【分析】根据题意，有菱形的性质可得/C =2,由数乘向量的性质可得E 是8 C 的中点，F是8 的中点，则 有 存+肝=荏+屁+1 5 +而=；（荏+亚）=：正，即可得答案.【解答】解：根据题意，菱 形 的 边 长 为 2,NB4D=120。，则 Z 8/C =60。，必有/C =2,又由丽=反,CD=2CF,则E 是 8 c 的中点，尸是CD的中点，则 在=翔+砺，AF=AD+DF,则 荏+万=北+砺+石 +方:=（声+而
15、）=:元，而/C =2,贝 ij|冠+祈=3,故答案为：3.【点评】木题考查向量加法的平行四边形法则的应用，涉及向量加法的定义，属于基础题.11.（2022惠农区校级三模）设3 B 是两个不共线的非零向量，若向量质+2$与81+届的方向相反，则左=-4 _.【分析】向量质+2石与随+总 的方向相反，直接列出关系式，根据向量相等，求出左的值.【解答】解：向量妨+2 5 与81+庙 的方向相反，可得桁+2彼=/（8,+析）J(a-b)2=y/3，故答案为：V 3.【点评】本题考查向量和差、数量积、模的运算，考查数学运算能力，属于基础题.1 4.(2 0 2 2 重庆模拟)点M 在 A/1 8 C
16、内部，满足2 必+3 标+4 祝=0 ,则=3:4 _.【分析】分 别 延 长 至。，MB至 E ,MC至 F ,使 MD=2M A ,M E =3 MB、M F =4 M C ,结合题意得出M 是M)E F的重心，S D E=S：=S1MF D，再计算S1M*与SAC的面积比【解答】解：根据题意，分别延长跖4 至。，加8至E,M C至尸，使 MD=2M A ,M E =3M B ,M F =4 M C,如图所示：由 2 7+3 而+4 沈=6,MD+M E +M F =C),所以点M 是A D E F 的重心，所以 SM D E =S&V E F =SA M F D ,设=1，则 S m s
17、 =，S.UA C=X =,l y M U t.(XMAD 2 3 6 d V MC 2 4 8所以 S w :S AB=W：k =3 ：4 故答案为:3:4.【点评】本题考查了三角形面积计算问题，也考查了三角形重心的性质以及平面向量在几何中的应用问题，是中档题.1 5.（2 0 2 2 长安区校级三模）在 A 4 8 c 中，A B =2,A C =.。是8C边上的中点，则 而 前的 值 为-3 .2 【分析】把 石=迫 匕”和 而=%-近 代 入 要求的式子化简可得结果.2-2-2【解答解：彷而=8+仁（就 函 =/C -A B=三=_3,2 2 2 2故答案为：-3.2【点评】本题考查两
18、个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，把要求的式子化为 渔 产.（祝 一 9），是解题的关键.能力提升练1 6.（2 0 2 0 滨州三模）已知。是三角形4BC内部一点，满 足 刀+2 砺+加 3=0,区 些=3 ,S 7则实数加=（）A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根据条件可以得出-丝 云=1 方+2而，并设-%诙=丽，这样即可得出工，3 3 3 3B ,M三点共线，画出图形，并得到2 3 =_ _ =壮，从而解出?的值.SM B C 3 +m 7【解答】解：如图，-O C=-OA +-O B =O M,贝 I：3 3 3A,B,M 三点共线;反 与 西 共 线 反向
19、,|O M|_ mC M 3+m.SM O B_OM_ m=4F sc C M 3 +m 7解得m=4.故选：C.【点评】本题考查向量的数乘运算，A,B,C 三点共线的充要条件：O C =x OA+y OB,且x+y=l,共线向量基本定理，三角形的面积公式.17.（2017宝鸡三模）已知点P 是圆：/+/=4 上的动点，点/,B,C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 万 肥=0,则|莎+而+1|的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【分析】由题意画出图形，把 刀+方+斤 用 向量而 与 丽 表不，再利用向量模的运算性质求得|苏+而+无|的最大值.【解答】解：由 布 而=0,得 4
20、B，B C ,即 Z A B C =90,r./C 为A4BC外接圆的直径，如图所示；设坐标原点为。，则 方+而+定=（而+方）+（而+历）+（而+反）=3方+西,.尸 是圆f+j?=4 上的动点，:.PO=2,.向+而 +定|=|3万 +函”3|两 +|画=3、2+1 =7,当 方 与 丽 共 线时，取得最大值7；故选：C .【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了直线与圆位置关系的应用问题,是中档题.1 8.（2 0 2 0天津）如图，在 四 边 形 中，N B =6 0。,A B =3,B C =6 ,且 而=%宓，A D-A B =-一，则实数4的值为若M,N是线段2c上的
21、动点，且|丽|=1,则2 6DM DN的最小值为.【分析】以8为原点，以5c为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点。的坐标，即可求出2的值，再设出点M,N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值.【解答】解：以8为原点，以8 C,为x轴建立如图所示的直角坐标系，.ZB =6 0 ,A B =3,B C =6,C(6,0),A D =A B C ,A D!IB C ,.a a Q SAD，AB=-(解得/=5，15=(i,o),s c =(6,o),A D =-S C ，MN 1=1,设 M(x,0),则 N(x +l,0),
22、其中 Q,&5,DM=(x-|,昔)，D N =(x-,一 苧，_ _ s a n i i-:.D M D N =(x-)(x-)+=x2-4x +=(x-2)2+,当 x =2 时取得最小值，最小值.1 3为一，2【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题.1 9.(上海)已知平面向量G、h、1满足，且|初，b,|C|=1 ,2,3 ,则|石+行+口的最大值是_3+石 一【分析】分别以原石所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当|训，|彼|=1，2),c=3,设 c=(x,y),则 x2+y29 ,则 a+b+c =(+x,2
23、+y),有a+b+c=y j(x +l)2+(y +2)2的最大值，其几何意义是圆V+_/=9上 点(x,y)与定点(-1,-2)的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可.【解答】解：分别以2万所在的直线为x,y轴建立直角坐标系，当 旧 出|=1,2,|c|=3,则 +B =(l,2),设5 =(x,y),则/+,2=9,/.2 +B +-=(1 +%,2 +y),a+h +c=(x +)2+(y +2)2的最大值，其几何意义是圆Y=9上点(居月与定点(-1,-2)的距离的最大值为3 +7(0 +2)2+(0 +1)2=3+5.且|可，出|=1,3 ,c=2,则方+B
24、 =(1,3),x2+y2=4,a+b+c =(l +x,3 +).,.m+1i=j(x+(U+3)2的最大值，其几何意义是圆/+,2 =4上 点a,y)与定点(-1,-3)的距离的最大值为 2 +J(0 +1)2 +(0 +3)2 =2 +y flO，团，扬|=2,3 ,|c|=l,则4+1 =(2,3),设m=(x,y),则 x2+y2=13 +B +e=(2 +x,3 +y)a+b+c=J(x +2 +3+3)2 的最大值，其几何意义是在圆/+/=1上取点(x,V)与定点(-2,-3)的距离的最大值为1 +(0 +2)2+(0 +3)2 =1 +9v 1 +V 1 3 3 +7 5,2
25、+7 1 0 3 +7 5 ,故伍+石+,|的最大值为3 +括.故答案为：3 +7 5【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：，+&为该圆的半径，为该点与圆心的距离).:J 5_拓 展 练2 0.(2 0 1 9广元模拟)在 A/4 8 c 中，ZB A C =9 0,A B =,/C =2 ,设点尸，。满 足 万=4 万，A Q =(l-A)A C ,A e/?.BQ CP =-2,则2 =()A.-B.-C.-D.23 3 3【分析】如图所示，由 丽 反=-2,可 得(而-万)(-就)=-2 .又 万=2 万，A Q =
26、(1-A)A C ,2 e/?.u J W (l-A)J C-IB.(2Z B-C)=-2 ,展开利用数量积运算性质即可得出.【解答】解：如图所示，.丽 丽=-2,.又 =/1 万，A Q =(1-A)A C ,A e R.(1 -A)A C -A B (A A B -A C)=-2,.2 .2A (1 -2)2 +1 J C -(1 -A)A C -A A B=-2,在中，Z S J C =90 ,A B =1,J C =2 ,-一,-,2 ,2A C -A B =0 ,A C =4 ,A B=1,-4(l-A)-2 =-2,解 得 心故选：B .【点评】本题考查了平面向量三角形法则及其应用
27、、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.(201 3浙江模 拟)已 知 Z U 8 C 中，A S A C,A B-A C =2,点M是线段8 c (含端点)上的一点，且 痂(而+就)=1,则|6|的取值范围是【分 析】如 图 所 示，建 立 直 角 坐 标 系.设 风 0,c),C(b,0),D(b,c),M(x,y).由|A 8-(C|=|C 5|=2.可得+C2=4.由向量的平行四边形法则可得：7B +A C =7 D,可得 翔(布+%)=而 而=(x ,y)-(b,c)=6 x +0，c0,X.0,乂.0.,V+V,1,即荷+北,1.（当且仅当x=0
28、 或 y=0 时取等号）.【点评】本题综合考查了向量的平行四边形法则、数量积的运算性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题.第02练平面向量的数量积【知识梳理】知识点一平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的知识】1、向量的夹角概念：.，,对于两个非零向量a，b如果以。为起点，作OA=a，OB=b，那么射线。/,的夹角。叫做向量2与向量式的夹角，其中007T.2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义:如果两个非零向量Z，E的夹角为一 那么我们把iZiWcose叫做；与芯的数量积,记做a b即：a-b=lailticose.规定：零向量与任意向量的数量积为0,即：0-a=0.注意：a
29、-b表示数量而不表示向量，符号由cos。决定；符 号 在 数 量 积 运 算 中 既 不 能 省 略 也 不 能 用“X”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：owewir.（2）投影：芯在之上的投影是一个数量用cos。，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若2=（xi，1 3 b=（X2，2），则 a b=xix2+_n%cos 6=型=.乜+合3、向量的夹角公式：HW 收+疗-内+-4、向量的模长：忖=6 =点 =/再，+5、平面向量数量积的几何意义：之与己的数量积2用等于蔡勺长度|胃与芯在之的方向上的投影|blcosO的积.知识点二平面向量数量积的
30、性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设之，E都是非零向量，彘与芯方向相同的单位向量，之与懑口夹角为。，则:*（1）a e=e a=l ajcosO；（2）a l b a *b=0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当a，b方向相同时，a*b=l alibi：当a，b方向相反时，a*b=I alibi；特别地：孑 或|胃=后 瓦（用于计算向量的模）（4）cos9=（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）la llb l（5）司可靛芯2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a-b =b-a；（2）数乘向量的结合律：（入 之）4=入（a-b）=2（X b）：（3）分配律：（
31、a b）cK a（b C）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为（I b）2=122 a-b+b2.E）G+3）-a2-b2.a-（b-c）牛（I-b）-c.从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.知识点三数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量;与与不平行时.，那么它们就会有一个夹角。，并且还有这样的公式：cosO=/力 通I a|,|b|过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了.知 识 点 四 向量的投影【知识点的知识】1、两个向量的数量积及其性质：a*b=l all b|
32、cos b ；（2）a工bQ a，b=O（a,b为非零向量）；（3）偏2=嘉|j=a2+b2+c2.2、向量的投影：|芯CO S8=3：=LR,称为向量己在W方向上的投影.I a|JEk L_1 .已知|N|=1,向=2,且+则2在不上的投影向量为()-1 -1 -A.-h B.b C.-b D.-b4 4【分析】由+W先求出鼠先表示 出 在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.【解答】解：因为+所以展(G +W=O,即片+展5 =0,|歼+3石=0,又因为|村=1,设a6的夹角为0,所以展万=-1为在b上的投影为：m|-c o s 6 =%,所以Z在很上的投影向量 为 回 幽石=型石=.b|
33、汗 4故选：C .【点评】本题考查平面向量的意义，考查学生的运算能力，属于中档题.2 .已知|川=|=2,且2与各夹角1 2 0。，则方在G +不上的投影为()A.1 B.-1 C.6 D.一百【分析】利用，在,+很 上的投影 为 如 竺 包,即可得出答案.a+b【解答】解：a-6=|a|5|c o s l 2 0 0 =2 x 2 x(-i)=-2 ,(a+b)2=a2+2a-b+b2=4 +2 x(-2)+4 =4 ,所以|仪+昨2,a-(a+b)=a2+a-b=4+(-2)=2,所以G在d +B上 的 投 影 为七 石)=4+(-2)=,|5 +/)|2故选：A .【点评】本题考查向量的
34、数量积，向量的投影，属于基础题.3 .已知向量万=(0,1),6 =(1,6)，则。在很上的投影向量为()A.局 B.h C.a D.用4 2【分析】可求G在往上的投影，然后即可得出3在不上的投影向量.【解答】解：向量a=(O,l),5=(1,6),则4 在石上的投影为：得当,a 在几上的投影向量 为 巫4故选：B .【点评】本题考查了投影和投影向量的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题.4.已知。为 A 48c的外心，若/8 =1,贝”正 瓦=()I 1 2A.B.-C.-1 D.-2 2 3【分析】过圆心。作于点O，HuA B A d =A B(A D +W),由此容易得解.【解答】解：
35、如图，过圆心。作于点。，则。为 力 8 中点，AABAO =A B-(A D +D d)=A B-A D +A B D d=A B A b=x =.故选：B .【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知。为 A48C 所在平面内一点，(O4+OB)A B =(OB +OC)B C =0,A B =4,A C =2,则 瓦 胫=()A.-8 B.8 C.-6 D.16【分析】由题意可知，。是2UBC的外心，利用数量积投影意义即可得到结果.【解答】解：设/，N 分别为4 5,8 c 的中点，v(O4+dB)A B =(dB +OC)B C =0,2两 方=0,2而
36、灰=0,O M,O N是边A B ,8。的中垂线，OA =OB =O C ,。是 AJ8C 的外心，AO BC=A O C 4 C-A B)=Ad AC-Ad AB=A C2-g 褶=y(4-16)=-6.故选：c.【点评】本题考查了数量积投影意义，属于中档题.6 .若|3|=J L|彼|=1,且则（I +W4 的值为（）A.-I B.I C.&D.5/3【分析】直接根据数量积定义，向量垂直即可求解.【解答】解：|B|=1,R a l b ,:.a-b=O,（5 4-i）-5=a-b+b2=0 +12=1 故选：B .【点评】本题考查数量积定义，向量垂直，属基础题.7 .设G 为单位向量，a=
37、2,当2,2 的夹角为。时，4 在G 上的投影向量为（）A】-D r1-n 百-A.c B.e C.c D.c2 2 2【分析】由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可.【解答】解：由题意可知：2 4 =2x 1 x 1 =1,2则2 在G上的投影向量为亘至工-=e,国 国故选：B .【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题.8.如图，在等腰梯形48。中，A B =B C =2,C D =3,B C =4B E ,C A-E =（）【分析】以C O 的中点。为原点，建立平面直角坐标系，写出。，C ,A ,E的坐标，再由平面向量的坐标运算法则，即可得解.【
38、解答】解：以。的中点。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以 4-1,半），r）（-1,o）,c（|,o）,X5 C =|f i E ,所以Eg，之 普），所以B=（_ g,率），瓦=康,鸣，所以诙二乃+姮*独L-身.2 8 2 8 4故选：B .【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可简化试题难度，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.9.在A 4 8 c中，A B =3,A C =242,A B A C =6,D ,E分别是8。边上的三等分点，则 而.冠 的 值 是（）A.6 B.C.8 D.9 9【分析】作图，根据向量三角形
39、法 用 屈，就 表 示 出 万 荏，结合已知条件得答案.【解答】解：如图，A D-A E =（A B +B D）-（A C +C E）一 1 一 1 ,=（A B +-B C）（A C-B C）=（A B +A C-A B y（A C-A C +A B）2 1 .1 .2 =（-A B +-A C y（-A B +-A C）=IAB+A B-A C +-A C29 99=2 x 9+299X6+2X8=9 9故选：B .【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题.1 0.在 A/1 8 C 中，N B =6 0。，A B =6,B C =5,则 方 前=（）A.-1 5
40、百 B.-30 C.-1 5 D.1 5【分析】由平面向量数量积运算，结合向量的夹角求解即可.【解答】解：在 中，Z S =6 0 ,A B =6,B C =5,贝 1 J 方 团=|万|元|c o s（l 8 0 -6 0 ）=6 x 5x（-；）=-1 5,故选：C.【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.1 1.若 向 量 B满足|口=1,|5|=2,晨（21 +3在）=5,则 1与B的夹角为（）A.6B旧C.23万 D-T【分析】由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可.【解答】解：已知向量2,1满足I 叫=1,忸1=2,5.（25+36）=5,则
41、21 2+3晨彼=5,即 a-b=,设I与否的夹角为则 c o s 0=a-b1 _ 1I72-2又。w 0 ,7l,则2 与B的夹角为工.3故选：B .【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.二.多 选 题（共 2 小题）1 2.已知向量而，万的夹角为工，且|而|=J L|万|=2,则而-万和而在万方向上的投影的6数量分别等于（）A.4B.2C.1【分析】根据平面向量的数量积计算模长，根据投影的定义计算对应的数值.【解答】解：向量玩，石的夹角为工，|而|=|五|=2,6所以历万=J i x 2x cos =2JJx =3：6 2所以（加一 开 了 =而2-2
42、 成万+万 2=3-2X3+4=1,所以|玩-斤|=1；所以而在力方向上的投影的数量为|m|cos 0=y/i x cos =6 x =.6 2 2故选：CD.【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了投影的计算问题，是基础题.1 3.在&4 8 c 中，BC=2,8 c 边上的中线/。=2,则下列说法正确的有（）A.AC2+AB2=0C.A B A C =24B.cos A 15D.的最大值为30。【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，向量的数量积运算，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用判断“、B、C、。的结论.【解答】解：在&4 3 c 中，8 c=2,8 c 边上的
43、中线ZO=2,对于 A：/Z.ADB+Z.ADC=兀，cos/ADB+cos Z.ADC=0,由余弦定理知,AD2+BD2-c2 AD2+CD2-b2 八-+-=0,2 A D B D2 A D C D化筒得，Z?2+c2=1 0,即 力 +力4=此 故力正确;.-，2 2对于 C:AB AC=(AD+DB)(AD-DB)=AD-D B=4-1=3,故 C 错误;,222对于8：在 A48C中，由余弦定理知，cosZBAC=-2bc牙F当且仅当b=c 时取等号;7由 4 可知，由 C 选项可知 AB-AC=3=bccos4,/.be=一:cos A2 3 3则 cos4.1 cos J ,解得
44、：co sX.-,故一”c o s 4 1,故 8 错误;3 5 5c2 4-22-1对于 D:cos/BAD=-4cc?+3 2任=64c 4c 2n：0 A B A D .能力提升练JBi-_1 6.如图，N 3是圆C 的弦，已知|/例=2,则荏 祝=2.【分析】如图所示，过点C 作 C O _ L/8,垂足为 .可 得%=石+工，DCAD=0,AD=-A B =.再利用数量积运算性质即可得出.2【解答】解：如图所示，过点。作 C_LN8，垂足为。.AC=JD+DC,DC-AD=0,AD=-A B =.2AB-AC=2AD（AD+DC）-,2 -*=2 AD+2ADDC*2=2 AD=2【
45、点评】本题考查了圆的垂经定理、向量垂直与数量积直角的关系、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 7.在A48C中，ZA=-,ZC=-,|B C|=4,则 存 在 声 方 向上的投 影 为 侦3 4 3【分析】先 根 据 正 弦 定 理 求 出 边 的 长 度，再由题意得出向 量 而 与 声 的 夹角为120。，利用投影的定义即可求解.【解答】解：在 中，ZA=,ZC=-,BC=4,3 4小 於，、汨 A B B C 2 4在由正弦定理得：-=-，/.A B =六=sin C sin A J3 3T又根据题意：.向量 方 与 祀 的 夹角为60。，.向量在与的夹角为120。
46、，则 存 在 5方向上的投影为|布卜cosIZO。：半Cosl20o=-半.故答案为：一 巫.3【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用.1 8.已知&48C三点 在 平 面 直 角 坐 标 系 所 在 平 面 内，点 8、C 分别在x、y 轴正半轴上滑动，A B A C =-,A B C A =-,A B =,则 刀 丽 的最大值为2 6-2-【分析】建系，利用坐标法通过向量数量积构建函数模型，根据函数思想求解.【解答】解：.在&4 8 c 中N 8/C=工，N B C A =%,A B =1 ,2 6B C =2,A C =y/3,如 图 以 直 线 为 新
47、 的 横 轴 f轴，以直线z c 为新的纵轴y 轴建立新的直角坐标系,则 4 0,0),8(1,0),C(0,6),8 c 中点 P 为(；，*),设点。为(X J),则点。在以为直径的圆尸上，又圆尸方程为(%-1)2+3 _ 曰)2 =1 ,=cos 32y-=sm 82令x =+cos 32厂 ,9 w R,&ay =+sm 02OA -OB =A O -B O=(x,y)=x2-x +y2i i M i o=(+cos/9)2-(+cos 0)+(+sin 0)2=1 +1-+6 sin S=b 在s i n 9 ,9 G R,2 2 2 2 2万 历 的最大值为3+VJ.2故答案为：|
48、+6【点评】本题考查平面向量数量积，坐标法，函数思想，属中档题.1 9.已知平面向量耳满足1 2道-|=2 ,设=4+4晟5 =4+公，若L,小 区2,则|町的取值范围为_0-1-石+1 一【分 析】设？=2-1，结 合 题 意 可 得B=,从 而 化 简L,心&2可得1 a2-a-c+cZ 5,进而可得依，石，根据向量三角不等式可求解.【解答】解:设5 =2心,则 B=%+e2=g(q +4 e2)-(2 e2 一勺)=；-5),L,万 a,2,2 aa-c 4,故3,a2-a-c+-cZ 5 ,4即|a C|y/5).l|5-1 c|-|l e|5|a-|c|+|c|,即 且L|肛,A/5
49、+1 ,故答案为：石-1,石+1 .【点评】本题考查了平面向量运算的综合应用及向量三角不等式的应用，属于中档题.Z v x _拓 展 练2 0.已知向量7,很,0满足|4|=防|=1,鼠很=-g,=+加B(加为非零的实数)，设 向 量 的 夹角为a,有下列四个命题.其中正确的命题有(填写所有正确结论的编号).存在,，使得|叫=，|；不存在加，使得1，,；当，”变化时，cosa的最大值为1；当，“变化时，cosa的最小值为2【分析】将万=1+石 两边平方，再由|)|=偌|=1,解关于7的方程，即可：由万1=1 一 加=0,解之即可；2 11？先由平面向量夹角公式求得cosa=/=，再令cosa=
50、1 ,观察方程是否仃解,可y/m2-+1进行排除；1131一 不 加 3 1不妨取cosa=,根据方程-2-=-士有解，推出cosa的最小值不可能为4-m+1 4 2【解答】解：因为5=2+加5,所以|与 =G?_|_ 2ma-h+tn2b2=1 +2m x()+/=加？一？十1，若 存 在 使 得|G|=,则?一加+1 =,解得加=o或1,因为用为非零常数，所以加=1,即正确；若N 1 5,则鼠=。他+加6)=片+位Z =i-；m=o,解得m=2,即错误；由知 I,a-c=-m ,|c|=ylm2-m +,1一 一 1 m所以cosa=：=-工-,I I I I 5/掰 2 加 +11 11