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1、最新资料推荐 标题: 解读IEEE标准754：浮点数表示 解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为Lolitalinuxsir.org，并请保持文章的完整和提供转载出处。更新：20060623-06:44 增加了求最大非规格数的公式20060622-23:40 修改了几处笔误，换掉了实验部分的那张大图，改用代码显示。一、背景在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节。那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，
2、作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在请加州大学伯克利分校的 William Kahan教授最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式; 而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn, Coonan, and Stone）。他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。二、表示形式从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(
3、bit sequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。然而IEEE标准从逻辑上用三元组S,E,M表示一个数N,如下图所示： N的实际值n由下列式子表示： 其中： n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。 S(sign)表示N的符号位。对应值s满足：n0时，s=0; n0时，s=1。 E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。 M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。三、浮点数格式IEE
4、E标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。 值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定 M为“010110011.”, 在二进制数值上其实是“.010110011.”。而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什
5、么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于 2(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是m=1.010110011.”或者“m=0.010110011.”四、计算e、m首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话：规格化与否全看指数E！下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:1、规格化：当E的二进制位
6、不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示：上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为10000100,则|E|=132,e=132-127=5 。 k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M=101，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。此时e，m的计算都非常简单。 注意，此时小数点
7、左侧的隐含位为0。 为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。有了非规格化形式，我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。3、特殊数值： 当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示N
8、aN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。五、范例仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？ 还不能吗？不急，我先给你示范一下。我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位。下面这张表罗列了N可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温一下第四点，你会慢慢明白的。说实在的，这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事！这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下： 看 N 列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。这不是偶然，正是巧妙设计的结果。观察最
9、大的非规格数，发现恰好就是M全为1, E全为0的情况。于是我们求出最大的非规格数为：上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)。注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为 8/512 ）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。 看 m 列，规格化数都是 1+ x 的形式，这个1正是隐含位1; 而非规格化数隐含位为0, 所以没有 1+ 。 看 n 列，非规格化数从上到下的增量都是 1/512, 且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。 再
10、继续往下看，发现增量值逐渐增大。可见，浮点数的取值范围不是均匀的。六、实战我们用一小段汇编来测试一下，浮点数在内存中是如何表示的。测试环境： GentooLinux2006.0/GNU assembler version 2.16.1/GNU gdb 6.4/AMD XP1600+。 如下所示 代码: /coding/assemble $ gdb(gdb) list1 .section .data2 f1:3 .float 54 f2:5 .float 0.1 6 .section .text7 .global _start8 _start:9 nop10 (gdb) x/f &f10x804
11、90a4 : 5(gdb) x/xw &f10x80490a4 : 0x40a00000(gdb) x/f &f20x80490a8 : 0.100000001(gdb) x/xw &f20x80490a8 : 0x3dcccccd(gdb) 从上面的gdb命令结果可以看出，浮点数5被表示为 0x40a00000，二进制形式为( 0100 0000 1010 0000 . 0000 0000)。红色数字为E，可以看出|E|=1290, 则e=129-bias=129-127=2 ； 蓝色数字为M, 且|E|0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000.000|=1.25 ; 由n的计
12、算公式可以求得 n=(-1)0 * 1.25 * 22 = 5， 结果被验证了。 同样，你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确，你会发现，0.1不能表示为有限个二进制位，因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果，即 0x3dcccccd, 十进制为0.100000001， 误差0.000000001由此产生了。 七、未完成 关于浮点数，还有很多东西（比如舍入误差、除零异常等等）值得我们深入探讨，但已经无法在此继续。这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。写这篇文章花掉了我整天的时间，但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西最重要的
13、是，希望这篇文章对大家有点用处，也算我为计算机科学基础理论版以及Linuxsir.org做的一点贡献。 参考书目： : Randall Hyde, The Art of Assembly Language, Vol.1, 4.2.1 : Randal E. Bryant, David R. OHallaron, Computer Systems A Programmers Perspective (Beta Draft), Part， Chapt.， 2.4 : Rechard Blum, Professional Assembly Language 主题词：单片机数制转换器，单片机浮点数转换
14、器 人们研制电子计算机的初衷就是为了用于科学计算。时至今日，尽管现在单片机应用领域宽广、色彩缤纷，但复杂计算仍不可或缺的内容。 针的对定点数不能胜任复杂计算的缺点，人们在实践中约定了不同格式、不同精度的浮点数，实现了浮点运算。因为计算机只能识别二进制数，完成二进制数的运算，所以我们所说的浮点数一般都是指二进制浮点数。与定点数相比，浮点数能较好地兼顾表达式数值范围，能简捷地表示出很大或很小的数值。 浮点由阶码和尾数两部分组成，阶码为带符号的整数，尾数为小于1带符号的小数（如尾数的绝对值还满足大于或等于1/2，则称该浮点数为规格化浮点数）。计算过程中主要以足够长的尾数来保证数据的精度，以阶杩来调整
15、数模（绝对值）的大小（即改变小数点的位置），并自动进行符号处理。因此浮点数具有精度高、数的表达范围宽等特点，特别适用于计算过程复杂、精度要求高的场合。目前单片机常用的浮点数格式，不外乎有四种格式：三字节格式、IEEE-754标准格式、IEEE-754标准变形1和IEEE-754标准变形2，共4种格式。作为单片机程序员来说，在编写程序时经常要检验程序中的浮点数运算结果是否正确，但手中又没有合适的检验工具，非常麻烦。对此我就深有体会。为此我收集整理有关浮资料，并编写了一款非常实用的转换工具，它能辅助你编写有关浮点数运算方便的程序，尤其是有关浮点数表格的制作，更是事半功倍。你只需将要转换的十进制定点
16、数编制成一个文本文件，利用FON浮点数转换器“载入”，如图（2），点击一下转换按钮，顷刻间便可完成一个文件数据的转换。也可将浮点数转换为十进制定点数，即逆转换。FON浮点数转换器，我也在工作中使用了两年多，效果非常好，为节省了不少时间。 下面是浮点数转换器的部分截屏：单个数据转换（图1）多组数据转换（格式1）（图2）多组数据转换（格式2）（图3）主要用于制作浮点数表格多组数据逆转换（图4），此时的定点数会出现此尾数差异，并不影响精度单片机浮点数格式说明 MCS-51三字节格式：浮点数格式如下：地址eb BY0BY1 内容 SEEE EEEE MMMM MMMM MMMM MMMM 用三个字节表
17、示，第一个字节的最高位为数符S，正数为0，负数为1，其余七位为阶码（二进制补码形式）；第二字节为尾数的高字节；第三字节为尾数的低字节，尾数用双字节码纯小数（原码）来表示。例：已知 a=-123.4；b=0.7577；c=56.34；d=1.276；用码浮点数表示时，分别为a=831234H；b=007577H；c=025634H；d=011276H。 MCS-51三字节浮点数规格化：为了提高运算精度，正数的尾数最高位规定为1，负数的尾数的最高位规定为0，这种形式的浮点数为规格化数（又称浮点操作数）。运算之前所有的浮点数都应转成规格化数。* IEEE-754标准的格式：一个浮点数用两个部分表示，
18、尾数和2的幂，尾数代表浮点上的实际二进制数，2的幂代表指数，指数的保存形式是一个0到255的8位值，指数的实际值是保存值(0到255)减去127，一个范围在-127到+128之间的值，尾数是一个24位值（代表大约7个十进制数），最高位MSB通常是1，因此省略不保存，一个符号位表示浮点数是正或负。地址eb BY0BY1BY2 内容 SEEEEEEE E.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMMS （第31位）代表符号（数符）位1是负，0是正；E 偏移127的幂，二进制阶码=(EEEEEEEE)-127；. 小数点； M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。此方法用最
19、较少的位数实现了较高的有效位数，提高了精度。零是一个特定值，幂是0 尾数也是0。阶码的计算方法：阶码采用指数的移码，阶码= 指数P+7FH 阶码（移码）eb=指数P+7FH 其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）由1位符号位、8位指数、23位有效数组成。能表示的数据范围为：1.210(-38)3.41038，超出范围为溢出。精度为2-24 即5.9 10-8。 -如果eb=P+7EH，那么指数P=int（Z）+1 ，（广洲天龙AVR单片机浮点数格式定义的移码为7EH，而IEEE-754标准定义的是7FH，故我们取移码为7FH）-* 在由二进制浮点数转为十进制定点数时，注意在尾数
20、的左边有一个省略的小数点和1，这个1在浮点数的保存中经常省略,但在还原时应加上去。* IEEE-754_1标准的格式：地址ebBY0BY1BY2 内容 PtEEEEEEE S.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMMPt 代表阶符，阶符视阶的正负而定；S 代表符号（数符）位，1是负，0是正；. 小数点在数符的右边；E 代表幂偏移，即指数偏差； M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。阶码的计算方法：（1）十进制整数（可带小数）：阶码eb=指数P+7EH 其中：指数P=int（Z）+1，Z=ln（A）/ln（2）（2）纯小数：阶码eb=指数+7EH其中：指数P=in
21、t（Z），Z=ln（A）/ln（2）注：IEEE-754_1主要用于PIC系列单片机浮点数格式* IEEE-754_2标准的格式：地址ebBY0BY1 BY2 内容 PtEEEEEEE S.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMMPt 代表阶符，阶符视阶的正负而定；S 代表符号（数符）位1是负，0是正；. 小数点在数符的右边；E 代表幂偏移，即指数偏差； M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。阶码采用1字节移码，以80H0FFH表示0127，以01H7FH表示-127-1。阶码的计算方法：（1）十进制整数（可带小数）：阶码eb=指数P+80H 其中：指数P=in
22、t（Z）+1，Z=ln（A）/ln（2）（2）纯小数：阶码eb=指数+80H其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）能表示的数据范围为：5.810(-39)1.71038，超出范围为溢出。-注：Pt 表示阶符，Pt=0表示阶码为正数；Pt=1表示阶码为负数（如0.1的阶为-3，则 阶码=（-3）+ 80H=7DH ）IEEE-754_1与IEEE-754_2只是阶码字节的内容不同，而尾数的内容是相同的。-例：十进制数50.265化为32位规格化浮点数。解 A=50.265，则Z=ln50.265/ln2，P=int(Z)+1，故P=6；X=A/2P=50.265/26=0.785
23、390625，将定点小数：0.785390625 转为二进制数为：1100 1001 0000 1111 0101 1100B， 取其24位，检查24位是否为1，否则，将二进制数左移，直至二进制数的最高位为1；隐含尾数整数的1，将二进制数的最高位改为数的数符位（正数为0，负数为1）。则：0100 1001 0000 1111 0101 1100B = 49H,0FH,5CH；而阶码eb=P+80H=6+80H=86H 二进制浮点数为：86H, 49H,0FH,5CH* 浮点BCD码的格式：浮点码，是以纯小数（原码）来表示。小数点的位置由阶来确定。阶符.阶码，数符.尾数（4字节），即带符号的阶码
24、与带符号的尾数。阶符：正数为“+”，可隐含；负数为“-”；数符：正数为“+”，可隐含；负数为“-”；阶码：根据小数点的位置来确定。0.1-阶符为“+”,数符为“+”，阶为000.01-阶符为“-”,数符为“+”，阶为0122.00-阶符为“+”，数符为“+”，阶为02-0.1-阶符为“+”,数符为“-”，阶为00-0.01-阶符为“-”,数符为“-”，阶为01-22.00-阶符为“+”，数符为“-”，阶为02阶-这里所说的阶是十进制浮点数的阶,即为小数点的位置。“+”阶小数点的位置向右移；“-”阶小数点的位置向左移。 如： 阶符.阶码，数符.尾数-0.012345678，浮点BCD码为：-01
25、，-12345780H0.012345678，浮点BCD码为： -01，12345780H0.12345678，浮点BCD码为： 00，12345780H12345678，浮点BCD码为： 08，12345780H-12345678，浮点BCD码为： 08，-12345780H-注：在单片机编程中定义为：阶符：正阶为00H，负阶为FFH数符：正数为00H，负数为FFH为了与人们的习惯相一至，在这里仍采用“+，-”号来表示。* 浮点数错误判断及提示：以下是IEEE-754标准所能表达数据的范围，其它标准请参照，只溢出的范围有所不同而已。FFFFFFFH 不是一个数，提示：输入有误7F80000H
26、 正无穷大正溢出，提示：正溢出FF80000H 负无穷大负溢出，提示：负溢出附注：（1）IEEE标准是美国电子电气工程师协会定义的国际标准浮点数格式；（2）符号-表示数据的正负，在最高有效位（MSB）。负数的符号位为1，正数的符号位为0；（3）有效数字-表示数据的有效数字，反映数据的精度。有效数字一般采用规格化形式，是一个纯小数，所以也被称为尾数、小数或分数。（4）阶码与阶之间的换算公式为：移码（阶码）=补码（阶）+偏移量；阶=移码-偏移量 其中阶又称为指数；移码又称偏移码；80H（或7FH）为偏移量。*四种浮点数对照表 输入数 据 51 三字节 IEEE-754 标准 IEEE-754_1
27、IEEE-754_2 0 000000H 00000000H 0000 0000H 0000 0000H 1 018000H 3F800000H 81000000H -1 818000H 81800000H 0.5 008000H 3F000000H 80000000H -0.5 808000H 80800000H 0.1 7DCCCDH 7D4CCCCDH -0.1 FDCCCDH 7DCCCCCDH /180 7B8EFAH 7B0EFA35H Ln 2 00B172H 80317218H 01B505H 813504F3H E 2.7182818 02ADF8H 822DF854H 90
28、 07B400H 87340000H 10 -10 5FDBE7H 5F5BE6FFH 10 10 229503H A21502F9H 88.02969 07B00FH 87300F34H /2 01C910H 81490FDAH 100.25 07C880H 42C88000H 87488000H 50.265 06C90FH 84490F5CH 86490F5CH -5 83A000H C0A00000H 83A00000H -12.5 C1480000H 84C80000H -12.345 C145851EH 2004-08-07 整理最新精品资料整理推荐，更新于二二一年一月十八日2021年1月18日星期一17:52:16