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1、一、第一换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法凑微分法).二、常用凑微分公式二、常用凑微分公式三、第二换元法三、第二换元法,注注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有可令a)可令b)可令c).当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换倒代换四、积分表续四、积分表续分部积分公式：(3.1)(3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.一般地,以下类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m,n都是正整数).时,(b)当时,两点补充规定：(a)当.性质性质 1 1(k为常数).性质性质 2 2.性质性质 3 3性质性质 4
2、4那么上有性质性质 5 5 假设在区间那么上推论推论 1 1 假设在区间推论推论 2 2上的在区间性质性质 6 6(估值定理估值定理)设M及m分别是函数最大值及最小值,那么上连在闭区间性质性质 7 7(定积分中值定理定积分中值定理)如果函数,使 上至少存在一个点续,那么在一、引例一、引例二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数：上连续,那么函数在区间定理定理 2 2 假设函数上的一个原函数.在就是三、牛顿三、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原函在区间是连续函数定理定理 3 3 假设函数数,那么.(3.6)公式(3.4)称为牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.一、定积分换元积分法一
3、、定积分换元积分法满足条上连续,函数在闭区间定理定理 1 1 设函数件：；且1)上具有连续导数,那么有(或在2.(4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式换元公式.定积分的换元公式及不定积分的换元公式很类似.但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：把变量x换成新变量t时,积分限也要换成1用的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；相应于新变量后,不必象计算不定积的一个原函数2 求出变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的分那样再把然后相减就行了.上、下限分别代入二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法EMBED Equation.3或EMBED Equation.3一、无穷限的广
4、义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分一、微元法一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.总量总量可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量表示为定积分的方法微元法微元法，这个方法的主要步骤如下：(1)由分割写出微元由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变的，任取为积分变量，并确定它的变化区间 量，例如，求出相应于这个区间微元上局部量一个区间微元的微元微元的近似值，即求出所求总量；的定写出表示总量(2)由微元写出积分由微元写出积分根据积分微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本
5、节和下一节主要介绍微元法在几何学及经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：应具有可加性，即如果把区间关于区间(1)所求总量等相应地分成许多局部量,而分成许多局部区间,那么之和.这一要求是由定积分概念本身所决定于所有局部量的;的近似表达式(2)使用微元法的关键是正确给出局部量.在 通 常 情 况 下，要 检 验，即 使 得的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用是否为的合理性.要注意二、平面图形的面积二、平面图形的面积1直角坐标系下平面图形的面积2极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元所求曲边扇形的面积三、旋转体：三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体旋转体.这条直线称为旋转轴旋转轴.旋转体的体积微元所求旋转体的体积