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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考16讲苏科版数学第 9讲三角形里的故事一、选择题（本大题共1小题，共3.0分）1. 如图，AB为O的直径，AB4，C，D为圆上两个动点，N为CD中点，CMAB于点M，当C，D在圆上运动时保持CMN30，则CD的长（）A. 随C，D的运动而变化，且最大值为4B. 随C，D的运动而变化，且最小值为2C. 随C，D的运动保持不变，等于2D. 随C，D的运动而变化，没有最值二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）2. 已知在ABC中，A50 （1）若BC10，则B_； （2）当B_时，ABC是直角三角形； （3）当B_时，ABC是等腰三角形。3. 已知在ABC中，AB
2、3，AC4。 （1）BC边长的取值范围为_； （2）若ABC是等腰三角形，则ABC的周长为_； （3）若ABC是直角三角形，则BC边长为_； （4）若A30，则ABC的面积为_； 归纳已知三角形两边和夹角，则三角形的面积可以表示为_。 （5）ABC面积的最大值为_； 归纳已知三角形两边，则三角形面积的最大值是 _。4. 如图，已知P是半径为1的A上一点，延长AP到点C，使PCAP，以AC为对角线作ABCD，若AB=3，则ABCD面积的最大值为_。 (1)如图，若AD是ABC的中线，则AD的取值范围为_； (2)如图，若AD是ABC的角平分线， 若SABC4，则SABD_； 若BC3.5，则BD
3、的长为_。 归纳角平分线的性质定理：_。(3)若AD是ABC的高，且AD7，求BC的长。5. （1）如图，在ABC中，点D，E分别是BC，AC边的中点，AD，BE相交于点O，且BEAD。若BD10，BO8，则AO的长为_。 （2）如图，ABC三边的中线AD，BE，CF交于点G，若SABC12，则图中阴影部分的面积是_。 拓展在ABC中，点E，F分别是AB，AC边的中点，CE12，BF9，则ABC面积的最大值为_。6. 如图，在ABC中，E，F两点分别在AC，AB边上，它们交于点H。有以下结论 若BE，CF分别为ABC的两条中线，则HC2FH； 若BE，CF分别为ABC的两条中线，且SABC6，
4、则S四边形AFHE2； 若CF为ABC的中线，CE2AE，且SABC6，则SBHC2； 若BE，CF分别为ABC的两条高，且BE4，CF6，则AB与AC成正比。其中正确的是_。（填上所有正确结论的序号）7. 如图，MON90，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB2，BC1。运动过程中，点D到点O的最大距离为_。8. 如图，MON90，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动，当正方形边长为2时，OD的最大值为_ _ _. 9. 10. 如图，MON90，边长为2的等边ABC的顶点A，B分别在OM，O
5、N上，当点B在ON上运动时，点A随之在OM上运动，等边三角形的形状保持不变。运动过程中，点C到点O的最大距离为_。11. 如图，定弦CD在以AB为直径的O上滑动（点C，D与点A，B不重合），M是CD的中点，过点C作CPAB于点P，若AB8，则PM的最大值是_。12. 如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=2，若AC=AD且ACD=60，则对角线BD的长最大值为_13. 三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）14. 已知ABC的面积是60，请完成下列问题： （1）如图，若AD是ABC的BC边上的中线，则ABD的面积_ACD的面积（填“”“”或“”）； （2）如图，若CD，BE分别是ABC的
6、AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法： 连接AO，由ADDB得SADOSBDO 同理，可得SCEOSAEO 设SADOx，SAEOy，则SBDOx，SCEOy 由题意得SABE12SABC30SADC12SABC30。 可列方程组2x+y=30,x+2y=30,解得_， 通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为_； （3）如图，AD：DB1：3，CE：AE1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由。15. 如图，在ABC中（BCAC），ACB=90，点D在AB边上，DEAC于点E（1）若ADDB=13，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB
7、上，以F，C，G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P问：线段CP可能是CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由16. 如图，在平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A，B分别落在x轴，y轴上，且AB12cm。 （1）若OB6cm， 求点C的坐标； 若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点C与点O的距离的最大值为_cm。答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题垂径定理，圆周角定理，四点共圆，等边三角形的判定与性质连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ONCD，CON=DON，然后由ONC+CMO=180，
8、可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到NOC=NMC=30，于是可证明OCD为等边三角形，从而得出CD.解：连接OC、ON、OD，如图，N是CD的中点，ONCD，CON=DON又CMAB，ONC+CMO=180O、N、C、M四点共圆NOC=NMC=30COD=60又OC=OD，OCD为等边三角形故选C.2.【答案】（1）70；（2）40或50；（2）65或50或80.【解析】【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的分类以及分类讨论的思想方法.（1）根据内角和定理即可解答；（2）分B是直角和B不是直角两种情况，得出相应的度数；（3）分三种情况讨论，得出相应的度数.【解答】解：（1）A50
9、，A+B+C=180B+C=130B-C10B=70;（2）当B=90时，ABC是直角三角形；当B=40时，则C=180-A-B=90则ABC是直角三角形；（3）当A是顶角时，B=65；当A，B都是底角时，B=50；当A是底角，B是顶角时，B=80；故答案为（1）70；（2）40或50；（2）65或50或80.3.【答案】（1）1BC7；（2）10或11；（3）5或7；（4）3；归纳：12两边之积夹角的正弦值；（5）6；归纳：12两边之积（这两边恰为直角边时）【解析】【分析】本题主要考查了三角形的知识点，根据题意代入计算即可得到答案.【解答】解：（1）4-3BC4+3，即1BC7；（2）当AB
10、是腰时，3+3+4=10；当AC是腰时，3+4+4=11；（3）当BC是斜边时，当BC是直角边时，；（4）；归纳：两边之积夹角的正弦值；（5），归纳：两边之积夹角的正弦值；故答案为（1）1BC7；（2）10或11；（3）5或；（4）3；归纳：两边之积夹角的正弦值；（5）6；归纳：两边之积（这两边恰为直角边时）.4.【答案】23【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质, 三角形的面积，由已知条件可知AC=2，AB=3，应该是当AB、AC是直角边时三角形的面积最大，根据ABAC即可求得【解答】解:由已知条件可知，当ABAC时ABCD的面积最大，AB=，AC=2，SABC=ABAC=，SABCD=2
11、SABC=，ABCD面积的最大值为故答案为.5.【答案】（1）12；（2）4；（3）72.【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，中位线定义，三角形的面积（1）先根据勾股定理得到OD的长，在根据重心的性质即可得到AO的长；（2）利用三角形撒=的面积公式进行计算即可；【解答】解：（1），BD=10，BO=8，AC，BC的中线交于O点，AO=2OD=12.故答案为12.（2）设AFG，BFG，BDG，CDG，CEG，AEG的面积为，根据三角形中线平分面积可得，由-可得：，则阴影部分的面积为4.故答案为4.拓展：根据（2）可得：ABC的面积最大值为72.故答案为72.6.【答案】【解析】【分析】本题考
12、查三角形的中线，三角形的高线，考查三角形重心的性质，三角形高线的性质，三角形的面积，是基础题.【解答】解：若BE，CF分别为ABC的两条中线，即H为重心，则HC2FH，正确；若BE，CF分别为ABC的两条中线，且SABC6，则SABESBCE=3，又因为H为重心，CH=2HF,则SBFH1,所以S四边形AFHE2，正确；若CF为ABC的中线，SABC6，则SAFCSBCF=3，而由CE2AE，得不出H为CF中点，故SBHC2是错误；若BE，CF分别为ABC的两条高，可得,则,正确.故答案是.7.【答案】2+1【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角
13、形的三边关系，勾股定理有关知识，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大.【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，MON=90，AB=2OE=AE=AB=1，BC=1，四边形ABCD是矩形，AD=BC=1，DE=，根据三角形的三边关系，ODOE+DE，当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1故答案为.8.【答案】【解析】9.【答案】3+1【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，熟记各性
14、质并判断出点C到点O的距离最大时的情况是解题的关键.取AB的中点D，连接OD、CD，根据等边三角形的性质求出CD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大求解.【解答】解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，ABC是等边三角形，MON=90，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为.故答案为10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置.当CDAB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可.【解答】解
15、：如图：当CDAB时，PM长最大，连接OM，OC，CDAB，CPCD，CPAB，M为CD中点，OM过O点，OMCD，OMC=PCD=CPO=90，四边形CPOM是矩形，PM=OC，O直径AB=8，半径OC=4，即PM=4，故答案为4.11.【答案】5【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考填空题中的压轴题如图，在AB的右侧作等边三角形ABK，连接DK由DAKCAB，推出DK=BC=2，因为DK+KBBD，DK=2，KB=AB=3，所以当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为D
16、K+KB=5【解答】解：如图，在AB的左侧作等边三角形ABK，连接DK菁优网AD=AC，AK=AB，DAC=KAB，DAK=CAB，在DAK和CAB中，DACADAKCABKABA，DAKCAB，DK=BC=2，DK+KBBD，DK=2，KB=AB=3，当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5故答案为512.【答案】（1）=；（2）x=10y=10；20；（3）如图3，连结AO，AD：DB=1：3，SADO=13SBDO，CE：AE=1：2，SCEO=12SAEO，设SADO=x，SCEO=y，则SBDO=3x，SAEO=2y，由题意得：SABE=23SABC=40，SADC=
17、14SABC=15，可列方程组为：x+3y=154x+2y=40，解得：x=9y=2，S四边形ADOE=SADO+SAEO=x+2y=13【解析】【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比有关知识.（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以SABD=SACD；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到SADO=SBDO，同理可得SCEO=SAEO，设SADO=x，SCEO=y，则SBDO=3x，SAEO=2y，由题意得
18、列方程组即可得到结果.【解答】解：（1）如图1，过A作AHBC于H，AD是ABC的BC边上的中线，BD=CD，SABD=SACD，故答案为：=；（2）解方程组得，SAOD=SBOD=10，S四边形ADOB=SAOD+SAOE=10+10=20，故答案为：得，20；（3）如图3，连结AO，AD：DB=1：3，SADO=SBDO，CE：AE=1：2，SCEO=SAEO，设SADO=x，SCEO=y，则SBDO=3x，SAEO=2y，由题意得：SABE=SABC=40，SADC=SABC=15，可列方程组为：，解得：，S四边形ADOE=SADO+SAEO=x+2y=1313.【答案】解：（1）ACB
19、=90，DEAC，DEBC，ADDB=AEEC，ADDB=13，AE=2，EC=6；（2）如图1，若CFG=ECD，此时线段CP是CFG的FG边上的中线证明：CFG+CGF=90，ECD+PCG=90，又CFG=ECD，CGF=PCG，CP=PG，CFG=ECD，CP=FP，PF=PG=CP，线段CP是CFG的FG边上的中线；如图2，若CFG=EDC，此时线段CP为CFG的FG边上的高线证明：DEAC， EDC+ECD=90，CFG=EDC，CFG+ECD=90，CPF=90，线段CP为CFG的FG边上的高线如图3，当CD为ACB的平分线时，CP既是CFG的FG边上的高线又是中线【解析】（1）
20、易证DEBC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解； （2）分三种情况讨论：若CFG=ECD，此时线段CP是CFG的FG边上的中线；若CFG=EDC，此时线段CP为CFG的FG边上的高线；当CD为ACB的平分线时，CP既是CFG的FG边上的高线又是中线 本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键14.【答案】12【解析】【分析】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和勾股定理以及三角函数进行分析解答（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，利用含30角的直角三角形的性质解答即可；设点A向右滑动的距离为x，得
21、点B向上滑动的距离也为x，利用三角函数和勾股定理进行解答；（2）过C作CEx轴，CDy轴，垂足分别为E，D，证明ACE与BCD相似，再利用相似三角形的性质解答【解得】解：（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在RtAOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，BAO=30，ABO=60，又CBA=60，CBD=60，BCD=30，BD=3，CD=3，所以点C的坐标为（-3，9）；设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12cosBAO=12cos30=6AO=6-x，BO=6+x，AB=AB=12在AOB中，由勾股定理得，（6-x）2+（6+x）2=12
22、2，解得：x=6（-1），滑动的距离为6（-1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CEx轴，CDy轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=-x，OD=y，ACE+BCE=90，DCB+BCE=90，ACE=DCB，又AEC=BDC=90，ACEBCD，即，y=-x，OC2=x2+y2=x2+（-x）2=4x2，取AB中点D，连接CD，OD，则CD与OD之和大于或等于CO，当且仅当C，D，O三点共线时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12，故答案为：12第二问方法二：因角C与角O和为180度，所以角CAO与角CBO和为180度，故A，O，B，C四点共圆，且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为12专心-专注-专业