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1、精选优质文档-倾情为你奉上等腰三角形（提高）【学习目标】1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】要点一、等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45.等腰三角
2、形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要
3、点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一
4、腰的夹角为30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答(1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0不符合题意； (3)顶角为钝角如图，则顶角度数为120，故此题应选D【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】已知等腰三角形的周长为13
5、，一边长为3，求其余各边【答案】 解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337； (2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：337，故不能组成三角形，应舍去 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：A与B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图ABC中，C90，A24；猜想：（
6、2）如图ABC中，C84，A24；猜想：【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：猜想：AB90，（2）作图：猜想：B3A. 【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，ACB90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中的B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠
7、后的图形【答案】解：若CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设B为度 145，2A90当BDBE时 3 ，4590180，30 . 经计算EDEB不成立.当DEDB时3180245901802180，45.综上所述，B30或45.类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、（2015春威海期末）如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E，EHAB，垂足是H在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME求证：MEBC【思路点拨】根据EHAB于H，得到BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求
8、出HE=HM，从而得到HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可【答案与解析】证明：BAC=90，AB=AC，B=C=45，EHAB于H，BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键举一反三：【变式】如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF【答案】 证
9、明：延长AD至点G，使DGAD，连接BG.ABCDEFG 类型四、等边三角形4、已知：如图，B、C、E三点共线，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连结MN.求证：AEBD，MNBE.【答案与解析】证明：，都是等边三角形BCAC，CECD，1360123180260在和中（已证）BCDACE （SAS）BDAE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）在和中（已证）BMCANC（ASA）MCNC（全等三角形对应边相等）260MCN是等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）660，61MNBE（内错角相等，两直线平行）【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AEBD；为证明MNBE，可先证明MNC为等边三角形，再利用角去转化证明.举一反三：【变式】（2015春鄄城）如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若ABC为60度，则BE为 ，ABD= 【答案】解：AB=AC，ABC为60度，ABC为等边三角形在ABD和ACD中，ABDACD，BAD=CAD，AE是BC边的中垂线，BE=BC=2cm；故答案是：2cm；AB=AD（已知），ABD=ADB（等边对等角），ABD=（180BAD）=（18030）=75专心-专注-专业