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1、精选优质文档-倾情为你奉上教案节选（提纲）第八章 欧几里得空间和酉空间8.1 内积与性质设是实数域上一个向量空间。如果对于中任意一对向量有一个确定的记作的实数与它们对应，叫做向量与的内积，并且下列条件被满足：1）2）3）4）当时，这里是的任意向量，是任意实数，那么叫做对这个内积来说的一个欧几里得（Euclid）空间（简称欧氏空间）。对任意定义为向量的长度或模.时,称为单位向量.命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间V内任意两个向量,有 当且仅当线性相关时，等号成立。证明 (+t,+t)0对任意tR成立,而 (+t,+t)=(,)t+2t()+,故由命题1.1可定义二向量的夹角 =
2、如果()=0,则称正交.设是n维欧氏空间V的一组基.令 称G为内积()在基下的度量矩阵.8.2 正交基命题 设欧氏空间V内s个非零向量两两正交,则它们线性无关.证明 假如两边用作内积,得,(i=1,2,s).如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量,则由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组标准正交基.显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.设是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆阵T,使.现令()=()T.易验证就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.设R上n阶方阵T满足 则称T是正交矩阵.命题 是V的一组标准正交基,令 (
3、)=()T则是一组标准正交基当且仅当T是正交矩阵.证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 即,T是正交矩阵.充分性:T是正交阵,故可逆.于是也是一组基.设内积在此基下的度量矩阵为G,则,从而是标准正交基.下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。给定V中一个线性无关的向量组 要求作出一个新向量组 满足:(1) L()=L()(2) 两两正交.具体做法如下: 不难看出满足所要求的条件.8.3正交变换1正交变换设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意都有(AA=则称A是V内的一个正交变换.正交变换的四个等价表述:命题 A是n维欧氏空间V内
4、的一个线性变换,则下列命题等价: (1) A是正交变换;(2) A把V的标准正交基变为标准正交基;(3) A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵;(4) 对任意,|A.证明 (1)(2):设是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义:|A|=1(A A)=(,)=0 (ij)于是, A, A A是V的标准正交基. (2)(3): A在下的矩阵A恰是到A, A A的过渡矩阵,从而A是正交矩阵. (3)(4):设A在标准正交基下的矩阵为A,设=,则 (A, A)=()A,()A) = =开方即得|A.(4)(1):如果A保持向量长度不变,则(A A)=,(A,A)=(A(),A()=(,),展开: (A
5、A)+2(AA+(A,A)=+2+利用前两个式子,得(AA=。由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.8.4 对称变换与对称矩阵设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换，如果对V，都有（A,）=(, A)则称A是V内的对称变换.命题 维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵A是实对称矩阵.命题 实对称矩阵A的特征根都是实数.证明 设是A的特征多项式在C内的根.则存在n维非零复向量X,使AX=X.于是,从而;另一方面, .得到.命题 维欧
6、氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值的特征向量必正交.证明 A=,A=,于是()=(A,)=(,A)=()由于,故()=0.命题 维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间.证明 M, ,因AM,有 0=（A,）=(, A),这表明A,故是不变子空间.定理 设维欧氏空间上的对称变换在某组标准正交基下的矩阵为对角形.证明 对维数n做数学归纳法.推论 设是阶实对称矩阵，则存在阶正交矩阵，使得为对角阵.最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法1）计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者) ;2）对每个,求齐次线性方程组(E-A)X=0的一个基础解系,.它们是解空间的一组基.3）在欧氏空间R内将,正交化,再单位化,得的一组标准正交基.此时 (j=1,2,) 即为V的一组标准正交基.而所寻求的正交矩阵T应为到的过渡矩阵,其列向量组应为 此时相应的对角矩阵D为 专心-专注-专业