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1、IIII8383数列、函数的极限选数列、函数的极限选一、考试大纲扫描一、考试大纲扫描1了解数列极限和函数极限的概念2掌握极限的四那么运算法那么；会求某些数列及函数的极限3了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质二、知识梳理及方法提炼二、知识梳理及方法提炼1数列极限无限趋na的项na无限增大时，无穷数列n1数列极限的概念：一般地，如果当项数。limnnaA的极限，记作na叫做数列A，那么A近于某个常数，那么BbAannnnlim,lim2数列的极限运算：如果；BAbannn)(lim；注：在使用数列极限的运算法那么时，必须注意以下两点：(a)参及运算的每一个数列的极限都是存
2、在的；(b)参及运算的数列的个数必须是有限个；c假设参及运算的数列的个数是无限个，那么先求和整理，再求极限。3几个重要的极限，lim0(1)nnqqC 为常数，limnCC4无穷等比数列各项的和项 和，那 么 我 们 称n表 示 其 前ns，01q中，如 果na在 无 穷 等 比 数 列。qaqqaSsnnnn11)1(limlim11为这个无穷等比数列各项的和，且nnss lim。01q满足q注：假设一个等比数列的各项的和存在，那么蕴含着其公比的极限:()f x时函数x 1当趋x,就说当a无限趋近于一个常数()f x取正值并且无限增大时,如果函数x当自变量)a()f x时,x ,(或axf)
3、(limx,记作a的极限是()f x向于正无穷大时,函数趋x,就说当a无限趋近于一个常数()f x当自变量 x 取负值并且无限增大时,如果函数)a()f x-时,x,(或axfx)(lim,记作a的极限是()f x向于负无穷大时,函数是双向的，故有以下等价命题x-都是单方向的，而x+和x注：自变量EMBED Equation.3axfx)(limEMBED Equation.3axfx)(lim)(limxfx的极限:()f x时函数0 xx2当无限趋近于常数()f x时，函数0 x无限趋近于0 xx左侧即0 xx从点x如果当。axfx)(lim0 x的左极限，记作()f x是函数a。就说a。
4、a无限趋近于常数()f x时，函数0 x无限趋近于0 xx右侧即0 xx从点x如果当。axfxx)(lim0的右极限，记作()f x是函数a就说，a无限趋近于一个常数()f x时，如果函数0 xx但0 x无限趋近于常数x当自变量时,0 xx,(或axfxx)(lim0,记 作a的 极 限 是()f x时,函 数0 x趋 向 于x就 说 当a)()f xEMBED Equation.3EMBEDEquation.3axfxx)(lim0)(lim0 xfxxa注：axfxx)(lim0。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。都无关。0()f x处是否有定义及是否等于0 x在点()f
5、x及函数axfxx)(lim0(b)3函数极限的四那么运算：，那么bxgxx)(lim0，axfxx)(lim0如果；b0baxgxfxx)()(lim0；baxgxfxx)()(lim0处连续必须同时满足下面三个条件：0 xx在点()f x一般地，函数处有定义；0 xx在点()f x1函数存在；)(li0 xfmxx2处的极限值等于这一点的函数值。0 x在点()f x，即函数)()(li00 xfxfmxx3的最高指数项；n型，通常同除以的多项式的极限，呈“n1分子和分母都是关于2分子或分母中含有无理式求极限时，先对分子或分母进展有理化进展转化；项的和或积，通常先求和或积化简，再求极限；n3
6、所求极限式为4型，分子分母同除以底数绝对值较大的项，然后利用极限四那么运算求解。时，求函数的极限：x 1当的最高次幂，再利用k0求极限；x型，分子分母同除以假设出现“型，先变形，再求极限，变形手段：通分、因式分解、有理化等；假设出现“时，求函数的极限:0 xx2当代入解析式中即可；0 xx在函数的定义域中，那么只需将0 x假设型，先变形，约去极限为 0 的因式，再求极00处没有定义，假设是“0 xx函数在型，先变形，再求极限。常见变形方法：因式分解、分子或分母有限；假设是“理化等。6.极限的逆向问题，一般从极限入手，运用逆向思维，确定有关字母的取值或取值范围。三、知识热身三、知识热身1函数的不
7、连续点是 C4x D2x 或2x C2x B2x A2等于D14D25B1C12A=_3_nlim3_124_23等于_1 35(21)lim3693nnn 5以下极限式中正确的选项是_60limnnqC为常数CCnlim=1nlim四、典型例题解析四、典型例题解析例 1.求以下数列的极限。122lim()nnnn3111lim1 22 3(1)nn n41111lim(1)(1)(1)(1)3452nnn5)525152515251(lim212432nnn6型；分析：针对数列极限的常见形式，掌握必要的一些处理手段。1和2是“型；4、5、6是无穷项求极限。32221(1)(1)(2)(1)1
8、limlim24244nnnnnnnn精讲：1321328()32383 99limlimlim382389()19nnnnnnnnnnnnn 22211lim()limlim2111nnnnnnnnnnn311111111limlim(1)lim11 22 3(1)22311nnnnn nnnn411112 3 412lim(1)(1)(1)(1)lim()lim234523 4 522nnnnnnnnnn5234212321242121212(6)lim()555555121112227525lim()()1155555524112525nnnnnn评析：掌握一些必要的数列极限求法，再具体
9、情况具体分析，是我们能够有备无患的制胜法宝。例 2求以下函数的极限。1234分析：此例针对函数极限常见形式，掌握一些必要的处理手段。1直接代入，2通分、约去零因子，3有理化、约去零因子，4通分，同除以最高次幂。2232321212 11 12lim2212 12 113xxxxx 精讲：12222222414(2)211lim()limlimlim424424xxxxxxxxxxx22332333300233011(11)(11)(1)1 1)limlim1 1(1 1)(11)(1)1 1)(1)1 1)3lim2(11)xxxxxxxxxxxxxxxxxx 332322322232(21)
10、(21)1lim()limlim2121(21)(21)42214xxxxxxxxxxxxxxxxxx4评析：数列是特殊的函数，通过本例，我们需要学会常见函数极限的处理手段。例 3.求满足以下条件的参数取值。的值。b、a(1)求的值。n、m2，求存在，求 b 的值。0lim()xf x3，假设的取值范围。a4，求实数分析：本例四个题目都是关于极限和连续的逆向问题，关键是掌握根本类型的求法，然后利用逆行思维进展求解。22222(2)(2)2lim()limlim222nnnnnna na nannannn精讲：1。2,4ab 欲使原式，那么，即，即1x，故另外一个因式必然为2x必含有因式22xm
11、x2因为，所以22222(2)(1)lim()lim()lim(1)122xxxxmxxxxxx，所以3m。3,1mn 即，00lim()lim(21)2xxxf x3因为，所以。2b，故00lim()lim()xxf xf x存在，即0lim()xf x，又00lim()lim(2)xxf xxbb，不合题意；3()13limlim133()1nnnnnnnnaaaa 时，|3a 4当，合题；1()33limlim131()3nnnnnnnnaaaa时，|3a 当，不合题意；333limlim0333nnnnnnnnnnaa时，3a 当不存在极限，不合题意；33(3)limlim33(3)n
12、nnnnnnnnnaa 时，3a 当33a 综上：评析：上述四个题目都是求极限的逆向问题，关键是掌握极限的定义，运用逆向思维，并酌情进展讨论。在其定义域内的连续性。23(1)()22(12)4(2)xxf xxxxx例 4.1判断函数的值。b、a上连续，求 1,)在区间(0)11()(10)(1)xa xxxf xxxb x 2分析：由于根本初等函数在其定义域中均连续，故考察函数是否连续，只需分析函数在分段点的极限值是否等于该点的函数值。在各段由初等函数构成，故只需考察点23(1)()22(12)4(2)xxf xxxxx精讲：1因为1,2xx，(1)4f，而211lim()lim(3)4xx
13、f xx，11lim()lim(22)4xxf xx又处连续；1x，故函数在11lim()lim()(1)xxf xf xf即，(2)6f，而22lim()lim(22)6xxf xx，22lim()lim(4)6xxf xx又处连续；2x，故函数在22lim()lim()(2)xxf xf xf即在其定义域 R 上连续。()f x综上函数在各分段均由初等函数及其四那么运算构成，故只需考察点()f x2原函数。0,1xx，(0)fa，00lim()lim()xxf xxaa因为，0000111(1)2lim()limlimlim1(11)11xxxxxxxxf xxxxxxx；1a 处连续，那么0 x 在()f x。2b，故有(1)fb，1111lim()lim2xxxxf xx又五、能力提升五、能力提升1.的值为1A1B.-1去负数，应选x提示：题目中等于 B limnnS，假设，那么nS项和为n，前11a 的首项na2等比数列2D2C23B23A提示：，得到公比，从而利用无穷等比数列极限，求出答案 B的值为a处连续，那么2x 在点22log(2)()4(2)2ax xf xxxx3 09 四川高考函数 B.3C。a提示：根据连续定义找出左右极限，从而求出参数a、b、c 是实数，且