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1、高中数学知识点总结引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念及根本初等函数指、对、幂函数必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：根本初等函数三角函数、平面对量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必需学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学根底学问和根本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好根底的同时，进一步强调了这些学问的发生、开展过程和实际应用，而不在技巧及难度上做过高的要求。 此外，根底内容还增加了向量、算法、概率、统计等内
2、容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线及方程、导数及其应用。选修12：统计案例、推理及证明、数系的扩大及复数、框图系列2：由3个模块组成。选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线及方程、空间向量及立体几何。选修22：导数及其应用，推理及证明、数系的扩大及复数选修23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修31：数学史选讲。选修32：信息平安及密码。选修33：球面上的几何。选修34：对称及群。选修35：欧拉公式及闭曲面分类。选修36：三等分角及数域扩大。系列4：由10个专题组成。选修41：几何证明选讲。选修42：矩阵及变换。选修43
3、：数列及差分。选修44：坐标系及参数方程。选修45：不等式选讲。选修46：初等数论初步。选修47：优选法及试验设计初步。选修48：统筹法及图论初步。选修49：风险及决策。选修410：开关电路及布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面对量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合及简易逻辑:集合的概念及运算、简易逻辑、充要条件函数：映射及函数、函数解析式及定义域、值域及最值、反函数、三大性质、函数图象、指数及指数函数、对数及对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系及诱导公式、和、差、倍、
4、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象及性质、三角函数的应用平面对量：有关概念及初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念及性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、肯定值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线及圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线及圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简洁几何体：空间直线、直线及平面、平面及平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率及统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的
5、概念及运算高中数学 必修1学问点 第一章 集合及函数概念1.1集合【1.1.1】集合的含义及表示 1集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.2常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.3集合及元素间的关系对象及集合的关系是，或者，两者必居其一.4集合的表示法 自然语言法：用文字表达的形式来描绘集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描绘法：|具有的性质，其中为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().
6、【1.1.2】集合间的根本关系6子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集或A中的任一元素都属于B(1)(2)(3)假设且，那么(4)假设且，那么或真子集或，且B中至少有一元素不属于A1A为非空子集(2)假设且，那么集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)(2)7集合有个元素，那么它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的根本运算8交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且123 并集或123 补集1 2 【补充学问】含肯定值的不等式及一元二次不等式的解法1含肯定值的不等式的解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解2一
7、元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根其中无实根的解集或的解集1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念1函数的概念设、是两个非空的数集，假如根据某种对应法那么，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应包括集合，以及到的对应法那么叫做集合到的一个函数，记作函数的三要素:定义域、值域和对应法那么只有定义域一样，且对应法那么也一样的两个函数才是同一函数2区间的概念及表示法设是两个实数，且，满意的实数的集合叫做闭区间，记做；满意的实数的集合叫做开区间，记做；满意，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满意的实数的集合分别记做留意：对于集合及区间，前
8、者可以大于或等于，而后者必需，前者可以不成立，为空集；而后者必需成立3求函数的定义域时，一般遵循以下原那么：是整式时，定义域是全体实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一实在数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中，零负指数幂的底数不能为零假设是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：假设的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题详细状况需对字母参数进展分类探讨由
9、实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义4求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是一样的事实上，假如在函数的值域中存在一个最小大数，这个数就是函数的最小大值因此求函数的最值及值域，其本质是一样的，只是提问的角度不同求函数值域及最值的常用方法： 视察法：对于比较简洁的函数，我们可以通过视察干脆得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式及常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：假设函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，那么在时，由于为实数，故必需有，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用根本不等式确定函数的
10、值域或最值换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域及值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法5函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系6映射的概念设、是两个集合，假如根据某种对应法那么，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，
11、那么这样的对应包括集合，以及到的对应法那么叫做集合到的映射，记作给定一个集合到集合的映射，且假如元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3函数的根本性质【1.3.1】单调性及最大小值1函数的单调性定义及断定方法函数的性 质定义图象断定方法函数的单调性假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2,当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数1利用定义2利用函数的单调性3利用函数图象在某个区间图 象上升为增4利用复合函数假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这
12、个区间上是减函数1利用定义2利用函数的单调性3利用函数图象在某个区间图象下降为减4利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数，令，假设为增，为增，那么为增；假设为减，为减，那么为增；假设为增，为减，那么为减；假设为减，为增，那么为减yxo2打“函数的图象及性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数3最大小值定义 一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：1对于随意的，都有； 2存在，使得那么，我们称是函数的最大值，记作一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：1对于随意的，都有；2存在，
13、使得那么，我们称是函数的最小值，记作【1.3.2】奇偶性4函数的奇偶性定义及断定方法函数的性 质定义图象断定方法函数的奇偶性假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数1利用定义要先推断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于原点对称假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(x)(x),那么函数f(x)叫做偶函数1利用定义要先推断定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于y轴对称假设函数为奇函数，且在处有定义，那么奇函数在轴两侧相对称的区间增减性一样，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数或奇函数的和或差仍是偶函数或奇函
14、数，两个偶函数或奇函数的积或商是偶函数，一个偶函数及一个奇函数的积或商是奇函数补充学问函数的图象1作图利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式；探讨函数的性质奇偶性、单调性； 画出函数的图象利用根本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象平移变换伸缩变换 对称变换 2识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、改变趋势、对称性等方面探讨函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，留意图象及函数解析式中参数的关系3用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为探讨数量关系问题供应了“形的直观性，它是探求解题
15、途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章 根本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数及指数幂的运算1根式的概念假如，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为随意实数；当为偶数时，根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， 2分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义 留意口诀：底数取倒数，指数取相反数3分数指数幂的运算性质 【2.1
16、.2】指数函数及其性质4指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低2.2对数函数【2.2.1】对数及对数运算（1） 对数的定义 假设，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数对数式及指数式的互化：2几个重要的对数恒等式，3常用对数及自然对数常用对数：，即；自然对数：，即其中4对数的运算性质 假如，那么加法： 减法：数乘： 换底公式：【2.2.2】对数函数及其性质5对数函数函数名称对数函数定
17、义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的改变状况改变对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子假如对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成7反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域8反函数的性质 原函数及反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域假设在原函数
18、的图象上，那么在反函数的图象上一般地，函数要有反函数那么它必需为单调函数2.3幂函数1幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数2幂函数的图象3幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：假如，那么幂函数的图象过原点，并且在上为增函数假如，那么幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴及轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶
19、数时，幂函数为偶函数当其中互质，和，假设为奇数为奇数时，那么是奇函数，假设为奇数为偶数时，那么是偶函数，假设为偶数为奇数时，那么是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，假设，其图象在直线下方，假设，其图象在直线上方，当时，假设，其图象在直线上方，假设，其图象在直线下方补充学问二次函数1二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：两根式：2求二次函数解析式的方法三个点坐标时，宜用一般式抛物线的顶点坐标或及对称轴有关或及最大小值有关时，常运用顶点式假设抛物线及轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求更便利3二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是当时，抛物线开口向上，函数在上
20、递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，二次函数当时，图象及轴有两个交点4一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分学问在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完好，且解决的方法侧重于二次方程根的判别式和根及系数关系定理韦达定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号 kx1x2 x1x2k x1kx2 (k)0 k1x1x2k2 有且仅有一个根x1或x2满意k1x1或x2k2 f(k1)f
21、(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种状况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可干脆由推出 5二次函数在闭区间上的最值 设在区间上的最大值为，最小值为，令当时开口向上假设，那么 假设，那么 假设，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)假设，那么 ，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()当时(开口向下)假设，那么 假设，那么 假设，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0
22、aOabx2-=pqf(p)f(q)假设，那么 ，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0 L AB公理1作用：推断直线是否在平面内CBA2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的根据。3公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。PL符号表示为：P =，且PL公理3作用：断定两个平面是否相交的根据2.1.2 空间中直线及直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面
23、内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=acabcb强调：公理4本质上是说平行具有传递性，在平面、空间这特性质都适用。公理4作用：推断空间两条直线平行的根据。3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 留意点： a及b所成的角的大小只由a、b的互相位置来确定，及O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直及异面垂
24、直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线及平面、平面及平面之间的位置关系1、直线及平面有三种位置关系：1直线在平面内 有多数个公共点2直线及平面相交 有且只有一个公共点3直线在平面平行 没有公共点指出：直线及平面相交或平行的状况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a a2.2.直线、平面平行的断定及其性质2.2.1 直线及平面平行的断定1、直线及平面平行的断定定理：平面外一条直线及此平面内的一条直线平行，那么该直线及此平面平行。简记为：线线平行，那么线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面及平面平行的断定1、
25、两个平面平行的断定定理：一个平面内的两条交直线及另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、推断两平面平行的方法有三种：1用定义；2断定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线及平面、平面及平面平行的性质1、定理：一条直线及一个平面平行，那么过这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行。简记为：线面平行那么线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：假如两个平面同时及第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面及平面平行得出直线及直线平行2.3直线、平面垂
26、直的断定及其性质1、定义假如直线L及平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线L及平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线及平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、断定定理：一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直。留意点： a)定理中的“两条相交直线这一条件不行无视；b)定理表达了“直线及平面垂直及“直线及直线垂直互相转化的数学思想。1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角或3、两个平面互相垂直的断定定理：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。2. 2
27、.、平面及平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直。本章学问构造框图平面公理1、公理2、公理3、公理4空间直线、平面的位置关系直线及直线的位置关系平面及平面的位置关系直线及平面的位置关系第三章 直线及方程1、直线的倾斜角的概念：当直线l及x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向及直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特殊地,当直线l及x轴平行或重合时, 规定= 0.2、 倾斜角的取值范围： 0180. 当直线l及x轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的
28、斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = 当直线l及x轴平行或重合时, =0, k = 0=0;当直线l及x轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角肯定存在,但是斜率k不肯定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x11)2(x22)1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: 2121 1、两条直线都有斜率而且不重合，假如它们平行，那么它们的斜率相等；反之，假如它们的斜率相等，那么它们平行，即留意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即假如k12, 那么肯定有L1L22、两条直线都有斜率，假如它们互
29、相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，假如它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为 2、直线的斜截式方程：直线的斜率为，且及轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：两点其中 12122、直线的截距式方程：直线及轴的交点为A，及轴的交点为B，其中3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程A，B不同时为02、各种直线方程之间的互化。1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：342=0 L1：2 +2=0 解：解方程组 得 2，2所以L1及L2的交点坐标为M-2，23.3.2 两点间
30、间隔 两点间的间隔 公式3.3.3 点到直线的间隔 公式1点到直线间隔 公式：点到直线的间隔 为：2、两平行线间的间隔 公式：两条平行线直线和的一般式方程为：，那么及的间隔 为第四章 圆及方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：圆心为A(),半径为r的圆的方程2、点及圆的关系的推断方法：1，点在圆外 2=，点在圆上3，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程： 2、圆的一般方程的特点： (1)x2和y2的系数一样，不等于0没有这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、及圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方
31、程，代数特征明显，圆的标准方程那么指出了圆心坐标及半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆及圆的位置关系1、用点到直线的间隔 来推断直线及圆的位置关系设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的间隔 为，那么判别直线及圆的位置关系的根据有以下几点：1当时，直线及圆相离；2当时，直线及圆相切；3当时，直线及圆相交；4.2.2 圆及圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为，那么判别圆及圆的位置关系的根据有以下几点：1当时，圆及圆相离；2当时，圆及圆外切；3当时，圆及圆相交；4当时，圆及圆内切；5当时，圆及圆内含；4.2.3 直线及圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线及圆的位置关系；2、过程
32、及方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译成几何结论1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、分别是P、Q、R在、轴上的坐标2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中随意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。1、空间中随意一点到点之间的间隔 公式高中数学 必修3学问点第一章 算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必需是明确和有效的，而且可以在有限步之内完成.2. 算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必需在有限操作之后停顿，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应当是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而