马文蔚第五版大学物理答案.docx

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1、第一章 质点运动学1-1 质 点 作 曲 线 运 动,在 时 刻 t 质 点 的 位 矢 为 r,速 度 为 v,速率 为 v,t 至(t t)时 间 内 的 位 移 为 r,路 程 为 s,位 矢 大 小 的 变 化量 为 r(或 称 r),平 均 速 度 为v,平 均 速 率 为v(1)根 据 上 述 情 况,则 必 有()(A)r=s=r(B)r s r,当 t 0 时 有 d r=d s d r(C)r r s,当 t 0 时 有 d r=d r d s(D)r s r,当 t 0 时 有 d r=d r=d s(2)根 据 上 述 情 况,则 必 有()(A)v=v,v=v(B)v

2、v,v v(C)v=v,v v(D)v v,v=v分 析 与 解(1)质 点 在 t 至(t t)时 间 内 沿 曲 线 从 P 点 运 动到 P 点,各 量 关 系 如 图 所 示,其 中 路 程 s P P,位 移 大 小 r P P,而 r r-r 表 示 质 点 位 矢 大 小 的 变 化 量,三 个量 的 物 理 含 义 不 同,在 曲 线 运 动 中 大 小 也 不 相 等(注：在 直 线 运 动 中 有相 等 的 可 能)但 当 t 0 时,点 P 无 限 趋 近 P 点,则 有 d r d s,但 却 不 等 于 d r 故 选(B)(2)由 于 r s,故tst r,即 v

3、v但 由 于 d r d s,故tst ddddr,即 v v 由 此 可 见,应 选(C)1-2 一 运 动 质 点 在 某 瞬 时 位 于 位 矢 r(x,y)的 端 点 处,对 其 速 度的 大 小 有 四 种 意 见,即(1)trdd；(2)t dd r；(3)tsdd；(4)2 2ddddtytx下 述 判 断 正 确 的 是()(A)只 有(1)(2)正 确(B)只 有(2)正 确(C)只 有(2)(3)正 确(D)只 有(3)(4)正 确分 析 与 解trdd表 示 质 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 随 时 间 的 变 化 率,在 极坐 标 系 中 叫 径 向 速 率 通

4、常 用 符 号 vr表 示,这 是 速 度 矢 量 在 位 矢 方 向上 的 一 个 分 量；t dd r表 示 速 度 矢 量；在 自 然 坐 标 系 中 速 度 大 小 可 用 公式tsdd v计 算,在 直 角 坐 标 系 中 则 可 由 公 式2 2ddddtytxv求 解 故选(D)1-3 质 点 作 曲 线 运 动,r 表 示 位 置 矢 量,v 表 示 速 度,a 表 示 加速 度,s 表 示 路 程,a表 示 切 向 加 速 度 对 下 列 表 达 式,即(1)d v/d t a；(2)d r/d t v；(3)d s/d t v；(4)d v/d t a下 述 判 断 正 确

5、 的 是()(A)只 有(1)、(4)是 对 的(B)只 有(2)、(4)是 对 的(C)只 有(2)是 对 的(D)只 有(3)是 对 的分 析 与 解t ddv表 示 切 向 加 速 度 a,它 表 示 速 度 大 小 随 时 间 的 变化 率,是 加 速 度 矢 量 沿 速 度 方 向 的 一 个 分 量,起 改 变 速 度 大 小 的 作 用；trdd在 极 坐 标 系 中 表 示 径 向 速 率 vr(如 题 1-2 所 述)；tsdd在 自 然 坐 标系 中 表 示 质 点 的 速 率 v；而t ddv表 示 加 速 度 的 大 小 而 不 是 切 向 加 速 度a 因 此 只 有

6、(3)式 表 达 是 正 确 的 故 选(D)1-4 一 个 质 点 在 做 圆 周 运 动 时,则 有()(A)切 向 加 速 度 一 定 改 变,法 向 加 速 度 也 改 变(B)切 向 加 速 度 可 能 不 变,法 向 加 速 度 一 定 改 变(C)切 向 加 速 度 可 能 不 变,法 向 加 速 度 不 变(D)切 向 加 速 度 一 定 改 变,法 向 加 速 度 不 变分 析 与 解 加 速 度 的 切 向 分 量 a起 改 变 速 度 大 小 的 作 用,而 法向 分 量 an起 改 变 速 度 方 向 的 作 用 质 点 作 圆 周 运 动 时,由 于 速 度 方向 不

7、 断 改 变,相 应 法 向 加 速 度 的 方 向 也 在 不 断 改 变,因 而 法 向 加 速 度 是一 定 改 变 的 至 于 a是 否 改 变,则 要 视 质 点 的 速 率 情 况 而 定 质 点作 匀 速 率 圆 周 运 动 时,a恒 为 零；质 点 作 匀 变 速 率 圆 周 运 动 时,a为一 不 为 零 的 恒 量,当 a改 变 时,质 点 则 作 一 般 的 变 速 率 圆 周 运 动 由此 可 见,应 选(B)*1-5 如 图 所 示,湖 中 有 一 小 船,有 人 用 绳 绕 过 岸 上 一 定 高 度 处的 定 滑 轮 拉 湖 中 的 船 向 岸 边 运 动 设 该

8、 人 以 匀 速 率 v 0 收 绳,绳 不 伸长 且 湖 水 静 止,小 船 的 速 率 为 v,则 小 船 作()(A)匀 加 速 运 动,cos0vv(B)匀 减 速 运 动,cos0v v(C)变 加 速 运 动,cos0vv(D)变 减 速 运 动,cos0v v(E)匀 速 直 线 运 动,0v v 分 析 与 解 本 题 关 键 是 先 求 得 小 船 速 度 表 达 式,进 而 判 断 运 动 性质 为 此 建 立 如 图 所 示 坐 标 系,设 定 滑 轮 距 水 面 高 度 为 h,t 时 刻 定 滑轮 距 小 船 的 绳 长 为 l,则 小 船 的 运 动 方 程 为2

9、2h l x,其 中 绳 长 l 随时 间 t 而 变 化 小 船 速 度2 2ddddh ltlltx v,式 中tldd表 示 绳 长 l 随 时 间的 变 化 率,其 大 小 即 为 v0,代 入 整 理 后 为l h lcos/02 20v vv,方 向 沿 x轴 负 向 由 速 度 表 达 式,可 判 断 小 船 作 变 加 速 运 动 故 选(C)讨 论 有 人 会 将 绳 子 速 率 v0按 x、y 两 个 方 向 分 解,则 小 船 速 度 cos0v v,这 样 做 对 吗？1-6 已 知 质 点 沿 x 轴 作 直 线 运 动,其 运 动 方 程 为3 22 6 2 t t

10、 x,式 中 x 的 单 位 为 m,t 的 单 位 为 s 求：(1)质 点 在 运 动 开 始 后 4.0 s 内 的 位 移 的 大 小；(2)质 点 在 该 时 间 内 所 通 过 的 路 程；(3)t 4 s 时 质 点 的 速 度 与 加 速 度 分 析 位 移 与 路 程 是 两 个 完 全 不 同 的 概 念 只 有 当 质 点 作 直 线运 动 且 运 动 方 向 不 改 变 时,位 移 的 大 小 才 会 与 路 程 相 等 质 点 在 t 时间 内 的 位 移 x 的 大 小 可 直 接 由 运 动 方 程 得 到：0 x x xt,而 在 求 路程 时,就 必 须 注

11、意 到 质 点 在 运 动 过 程 中 可 能 改 变 运 动 方 向,此 时,位 移的 大 小 与 路 程 就 不 同 了 为 此,需 根 据0ddtx来 确 定 其 运 动 方 向 改 变的 时 刻 tp,求 出 0 tp与 tp t 内 的 位 移 大 小 x1、x2,则 t 时 间内 的 路 程2 1x x s,如 图 所 示,至 于 t 4.0 s 时 质 点 速 度 与 加 速度 可 用txdd与22ddtx两 式 计 算 解(1)质 点 在 4.0 s 内 位 移 的 大 小(2)由0ddtx得 知 质 点 的 换 向 时 刻 为s 2 pt(t 0 不 合 题 意)则所 以,质

12、 点 在 4.0 s 时 间 间 隔 内 的 路 程 为(3)t 4.0 s 时1-7 一 质 点 沿 x 轴 方 向 作 直 线 运 动,其 速 度 与 时 间 的 关 系 如 图(a)所 示 设 t 0 时,x 0 试 根 据 已 知 的 v-t 图,画 出 a-t 图 以 及x-t 图 分 析 根 据 加 速 度 的 定 义 可 知,在 直 线 运 动 中 v-t 曲 线 的 斜 率 为加 速 度 的 大 小(图 中 A B、C D 段 斜 率 为 定 值,即 匀 变 速 直 线 运 动；而线 段 B C 的 斜 率 为 0,加 速 度 为 零,即 匀 速 直 线 运 动)加 速 度 为

13、 恒 量,在 a-t 图 上 是 平 行 于 t 轴 的 直 线,由 v-t 图 中 求 出 各 段 的 斜 率,即 可作 出 a-t 图 线 又 由 速 度 的 定 义 可 知,x-t 曲 线 的 斜 率 为 速 度 的 大小 因 此,匀 速 直 线 运 动 所 对 应 的 x-t 图 应 是 一 直 线,而 匀 变 速 直 线运 动 所 对 应 的 x t 图 为 t 的 二 次 曲 线 根 据 各 段 时 间 内 的 运 动 方程 x x(t),求 出 不 同 时 刻 t 的 位 置 x,采 用 描 数 据 点 的 方 法,可 作 出 x-t 图 解 将 曲 线 分 为 A B、B C、

14、C D 三 个 过 程,它 们 对 应 的 加 速 度 值分 别 为2s m 20 A BA BA Bt tav v(匀 加 速 直 线 运 动)0 B Ca(匀 速 直 线 运 动)2s m 10 C DC DC Dt tav v(匀 减 速 直 线 运 动)根 据 上 述 结 果 即 可 作 出 质 点 的 a-t 图 图(B)在 匀 变 速 直 线 运 动 中,有由 此,可 计 算 在 0 2 与 4 6 时 间 间 隔 内 各 时 刻 的 位 置 分 别为用 描 数 据 点 的 作 图 方 法,由 表 中 数 据 可 作 0 2 与 4 6 时 间内 的 x-t 图 在 2 4 时 间

15、 内,质 点 是 作1s m 20 v的 匀 速 直 线 运动,其 x-t 图 是 斜 率 k 2 0 的 一 段 直 线 图(c)1-8 已 知 质 点 的 运 动 方 程 为j i r)2(22t t,式 中 r 的 单 位 为m,t 的 单 位 为 求：(1)质 点 的 运 动 轨 迹；(2)t 0 及 t 2 时,质 点 的 位 矢；(3)由 t 0 到 t 2 内 质 点 的 位 移 r 与 径 向 增 量 r；*(4)2 内 质 点 所 走 过 的 路 程 s 分 析 质 点 的 轨 迹 方 程 为 y f(x),可 由 运 动 方 程 的 两 个 分 量 式x(t)与 y(t)中

16、 消 去 t 即 可 得 到 对 于 r、r、r、s 来 说,物 理 含 义不 同,可 根 据 其 定 义 计 算 其 中 对 s 的 求 解 用 到 积 分 方 法,先 在 轨 迹 上任 取 一 段 微 元 d s,则2 2)d()d(d y x s,最 后 用 s s d积 分 求 解(1)由 x(t)与 y(t)中 消 去 t 后 得 质 点 轨 迹 方 程 为这 是 一 个 抛 物 线 方 程,轨 迹 如 图(a)所 示(2)将 t 0 与 t 2 分 别 代 入 运 动 方 程,可 得 相 应 位 矢 分 别为图(a)中 的 P、Q 两 点,即 为 t 0 与 t 2 时 质 点 所

17、 在 位 置(3)由 位 移 表 达 式,得其 中 位 移 大 小m 66.5)()(2 2 y x r而 径 向 增 量m 47.2 20202222 0 2 y x y x r r r r*(4)如 图(B)所 示,所 求 s 即 为 图 中 P Q 段 长 度,先 在 其 间 任 意处 取 A B 微 元 d s,则2 2)d()d(d y x s,由 轨 道 方 程 可 得x x y d21d,代入 d s,则 2 内 路 程 为1-9 质 点 的 运 动 方 程 为式 中 x,y 的 单 位 为 m,t 的 单 位 为 试 求：(1)初 速 度 的 大 小 与 方 向；(2)加 速

18、度 的 大 小 与 方 向 分 析 由 运 动 方 程 的 分 量 式 可 分 别 求 出 速 度、加 速 度 的 分 量,再由 运 动 合 成 算 出 速 度 与 加 速 度 的 大 小 与 方 向 解(1)速 度 的 分 量 式 为当 t 0 时,vo x-1 0 m-1,vo y 1 5 m-1,则 初 速 度大 小 为设 vo与 x 轴 的 夹 角 为,则 1 2 3 4 1(2)加 速 度 的 分 量 式 为则 加 速 度 的 大 小 为设 a 与 x 轴 的 夹 角 为,则-3 3 4 1(或 3 2 6 1 9)1-1 0 一 升 降 机 以 加 速 度 1.2 2 m-2上 升

19、,当 上 升 速 度 为2.4 4 m-1时,有 一 螺 丝 自 升 降 机 的 天 花 板 上 松 脱,天 花 板 与 升 降机 的 底 面 相 距 2.7 4 m 计 算：(1)螺 丝 从 天 花 板 落 到 底 面 所 需 要 的时 间；(2)螺 丝 相 对 升 降 机 外 固 定 柱 子 的 下 降 距 离 分 析 在 升 降 机 与 螺 丝 之 间 有 相 对 运 动 的 情 况 下,一 种 处 理 方 法是 取 地 面 为 参 考 系,分 别 讨 论 升 降 机 竖 直 向 上 的 匀 加 速 度 运 动 与 初 速不 为 零 的 螺 丝 的 自 由 落 体 运 动,列 出 这 两

20、 种 运 动 在 同 一 坐 标 系 中 的 运动 方 程 y1 y1(t)与 y2 y2(t),并 考 虑 它 们 相 遇,即 位 矢 相 同 这 一 条件,问 题 即 可 解；另 一 种 方 法 是 取 升 降 机(或 螺 丝)为 参 考 系,这 时,螺 丝(或 升 降 机)相 对 它 作 匀 加 速 运 动,但 是,此 加 速 度 应 该 是 相 对 加 速度 升 降 机 厢 的 高 度 就 是 螺 丝(或 升 降 机)运 动 的 路 程 解 1(1)以 地 面 为 参 考 系,取 如 图 所 示 的 坐 标 系,升 降 机 与 螺 丝的 运 动 方 程 分 别 为当 螺 丝 落 至 底

21、 面 时,有 y1 y2,即(2)螺 丝 相 对 升 降 机 外 固 定 柱 子 下 降 的 距 离 为解 2(1)以 升 降 机 为 参 考 系,此 时,螺 丝 相 对 它 的 加 速 度 大 小 a g a,螺 丝 落 至 底 面 时,有(2)由 于 升 降 机 在 t 时 间 内 上 升 的 高 度 为则m 716.0 h h d1-1 1 一 质 点 P 沿 半 径 R 3.0 m 的 圆 周 作 匀 速 率 运 动,运动 一 周 所 需 时 间 为 2 0.0,设 t 0 时,质 点 位 于 O 点 按(a)图 中所 示 O x y 坐 标 系,求(1)质 点 P 在 任 意 时 刻

22、 的 位 矢；(2)5 时 的 速度 与 加 速 度 分 析 该 题 属 于 运 动 学 的 第 一 类 问 题,即 已 知 运 动 方 程 r r(t)求质 点 运 动 的 一 切 信 息(如 位 置 矢 量、位 移、速 度、加 速 度)在 确 定 运动 方 程 时,若 取 以 点(0,3)为 原 点 的 O x y 坐 标 系,并 采 用 参 数 方程 x x(t)与 y y(t)来 表 示 圆 周 运 动 是 比 较 方 便 的 然 后,运 用 坐 标 变 换 x x 0 x 与 y y 0 y,将 所 得 参 数 方 程 转 换至 O x y 坐 标 系 中,即 得 O x y 坐 标

23、 系 中 质 点 P 在 任 意 时 刻 的 位矢 采 用 对运 动 方 程 求导 的 方 法 可得 速 度 与 加速 度 解(1)如 图(B)所 示,在O x y 坐标 系 中,因tT 2,则 质 点 P 的 参 数 方 程 为坐 标 变 换 后,在 O x y 坐 标 系 中 有则 质 点 P 的 位 矢 方 程 为(2)5 时 的 速 度 与 加 速 度 分 别 为j j ir)s m 3.0(2sin 2 2cos 2dd1 tT TR tT TRtvEMBED Equation.3i j ira)s m 03.0(2cos)2(2sin)2(dd2 2 2 222 tT TR tT

24、TRt1-1 2 地面 上 垂 直 竖 立 一 高 2 0.0 m 的 旗 杆,已 知 正 午 时 分 太 阳 在 旗 杆 的 正 上方,求 在 下 午 2 0 0 时,杆 顶 在 地 面 上 的 影 子 的 速 度 的 大 小 在 何 时刻 杆 影 伸 展 至 2 0.0 m？分 析 为 求 杆 顶 在 地 面 上 影 子 速 度 的 大 小,必 须 建 立 影 长 与 时 间的 函 数 关 系,即 影 子 端 点 的 位 矢 方 程 根 据 几 何 关 系,影 长 可 通 过 太 阳光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 求 得 由 于 运 动 的 相 对 性,太 阳 光 线 对 地 转

25、动的 角 速 度 也 就 是 地 球 自 转 的 角 速 度 这 样,影 子 端 点 的 位 矢 方 程 与 速度 均 可 求 得 解 设 太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 为,从 正 午 时 分 开 始 计 时,则杆 的 影 长 为 s h t g t,下 午 2 0 0 时,杆 顶 在 地 面 上 影 子 的 速 度 大 小为当 杆 长 等 于 影 长 时,即 s h,则即 为 下 午 3 0 0 时 1-1 3 质 点 沿 直 线 运 动,加 速 度 a 4-t2,式 中 a 的 单 位 为m-2,t 的 单 位 为 如 果 当 t 3 时,x 9 m,v 2 m-1,求

26、质 点 的 运 动 方 程 分 析 本 题 属 于 运 动 学 第 二 类 问 题,即 已 知 加 速 度 求 速 度 与 运 动方 程,必 须 在 给 定 条 件 下 用 积 分 方 法 解 决 由taddv与txdd v可 得t ad d v与t x d d v 如 a a(t)或 v v(t),则 可 两 边 直 接 积 分 如 果a 或 v 不 是 时 间 t 的 显 函 数,则 应 经 过 诸 如 分 离 变 量 或 变 量 代 换 等 数学 操 作 后 再 做 积 分 解 由 分 析 知,应 有得03314 v v t t(1)由 t xxt x0d d0v得0 04 21212

27、x t t t x v(2)将 t 3 时,x 9 m,v 2 m-1代 入(1)(2)得 v0-1m-1,x0 0.7 5 m 于 是 可 得 质 点 运 动 方 程 为1-1 4 一 石 子 从 空 中 由 静 止 下 落,由 于 空 气 阻 力,石 子 并 非 作 自由 落 体 运 动,现 测 得 其 加 速 度 a A-B v,式 中 A、B 为 正 恒 量,求 石 子下 落 的 速 度 与 运 动 方 程 分 析 本 题 亦 属 于 运 动 学 第 二 类 问 题,与 上 题 不 同 之 处 在 于 加 速度 是 速 度 v 的 函 数,因 此,需 将 式 d v a(v)d t 分

28、 离 变 量 为tad)(dvv后再 两 边 积 分 解 选 取 石 子 下 落 方 向 为 y 轴 正 向,下 落 起 点 为 坐 标 原 点(1)由 题 意 知vvB Ata dd(1)用 分 离 变 量 法 把 式(1)改 写 为tB Add vv(2)将 式(2)两 边 积 分 并 考 虑 初 始 条 件,有得 石 子 速 度)1(B teBA v由 此 可 知 当,t 时,BA v为 一 常 量,通 常 称 为 极 限 速 度 或 收 尾速 度(2)再 由)1(ddB teBAty v并 考 虑 初 始 条 件 有得 石 子 运 动 方 程1-1 5 一 质 点 具 有 恒 定 加

29、速 度 a 6 i 4 j,式 中 a 的 单 位 为m-2 在 t 0 时,其 速 度 为 零,位 置 矢 量 r0 1 0 m i 求：(1)在 任 意 时 刻 的 速 度 与 位 置 矢 量；(2)质 点 在 O x y 平 面 上 的 轨 迹 方 程,并 画 出 轨 迹 的 示 意 图 分 析 与 上 两 题 不 同 处 在 于 质 点 作 平 面 曲 线 运 动,根 据 叠 加 原 理,求 解 时 需 根 据 加 速 度 的 两 个 分 量 ax与 ay分 别 积 分,从 而 得 到 运 动 方程 r 的 两 个 分 量 式 x(t)与 y(t)由 于 本 题 中 质 点 加 速 度

30、 为 恒 矢 量,故两 次 积 分 后 所 得 运 动 方 程 为 固 定 形 式,即20 021t a t x xx x v与20 021t a t y yy y v,两 个 分 运 动 均 为 匀 变 速 直 线 运 动 读 者 不 妨 自 己验 证 一 下 解 由 加 速 度 定 义 式,根 据 初 始 条 件 t0 0 时 v0 0,积 分 可 得又 由t dd r v及 初 始 条 件 t 0 时,r0(1 0 m)i,积 分 可 得由 上 述 结 果 可 得 质 点 运 动 方 程 的 分 量 式,即x 1 0 3 t2y 2 t2消 去 参 数 t,可 得 运 动 的 轨 迹 方

31、 程3 y 2 x-2 0 m这 是 一 个 直 线 方 程 直 线 斜 率32tandd xyk,3 3 4 1 轨 迹 如 图 所 示 1-1 6 一 质 点 在 半 径 为 R 的 圆 周 上 以 恒 定 的 速 率 运 动,质 点 由位 置 A 运 动 到 位 置 B,O A 与 O B 所 对 的 圆 心 角 为(1)试 证 位置 A 与 B 之 间 的 平 均 加 速 度 为)(/)cos 1(22 R a v；(2)当 分 别 等 于 9 0、3 0、1 0 与 1 时,平 均 加 速 度 各 为 多 少？并 对结 果 加 以 讨 论 分 析 瞬 时 加 速 度 与 平 均 加

32、速 度 的 物 理 含 义 不 同,它 们 分 别 表 示为t ddv a与t v a 在 匀 速 率 圆 周 运 动 中,它 们 的 大 小 分 别 为Ran2v,tav,式 中 v 可 由 图(B)中 的 几 何 关 系 得 到,而 t 可 由转 过 的 角 度 求 出 由 计 算 结 果 能 清 楚 地 看 到 两 者 之 间 的 关 系,即 瞬 时 加 速 度 是 平 均加 速 度 在 t 0 时 的 极 限 值 解(1)由 图(b)可 看 到 v v2-v1,故而所 以(2)将 9 0,3 0,1 0,1 分 别 代 入 上 式,得以 上 结 果 表 明,当 0 时,匀 速 率 圆

33、周 运 动 的 平 均 加 速 度 趋 近于 一 极 限 值,该 值 即 为 法 向 加 速 度R2v1-1 7 质 点 在 O x y 平 面 内 运 动,其 运 动 方 程 为 r 2.0 t i(1 9.0-2.0 t2)j,式 中 r 的 单 位 为 m,t 的 单 位 为 s 求：(1)质 点 的 轨迹 方 程；(2)在 t1 1.0 s 到 t2 2.0 s 时 间 内 的 平 均 速 度；(3)t1 1.0 时 的 速 度 及 切 向 与 法 向 加 速 度；(4)t 1.0 s 时 质 点 所 在 处轨 道 的 曲 率 半 径 分 析 根 据 运 动 方 程 可 直 接 写 出

34、 其 分 量 式 x x(t)与 y y(t),从 中 消 去 参 数 t,即 得 质 点 的 轨 迹 方 程 平 均 速 度 是 反 映 质 点 在 一 段时 间 内 位 置 的 变 化 率,即t r v,它 与 时 间 间 隔 t 的 大 小 有 关,当 t 0 时,平 均 速 度 的 极 限 即 瞬 时 速 度t dd r v 切 向 与 法 向 加 速 度 是指 在 自 然 坐 标 下 的 分 矢 量 a与 an,前 者 只 反 映 质 点 在 切 线 方 向 速度 大 小 的 变 化 率,即ttte addv,后 者 只 反 映 质 点 速 度 方 向 的 变 化,它 可 由总 加

35、速 度 a 与 a得 到 在 求 得 t1时 刻 质 点 的 速 度 与 法 向 加 速 度的 大 小 后,可 由 公 式an2v求 解(1)由 参 数 方 程x 2.0 t,y 1 9.0-2.0 t2消 去 t 得 质 点 的 轨 迹 方 程：y 1 9.0-0.5 0 x2(2)在 t1 1.0 0 到 t2 2.0 时 间 内 的 平 均 速 度(3)质 点 在 任 意 时 刻 的 速 度 与 加 速 度 分 别 为则 t 1 1.0 0 时 的 速 度v(t)t 1 2.0 i-4.0 j切 向 与 法 向 加 速 度 分 别 为(4)t 1.0 质 点 的 速 度 大 小 为则m

36、17.112 nav1-1 8 飞 机 以 1 0 0 m-1的 速 度 沿 水 平 直 线 飞 行,在 离 地 面高 为 1 0 0 m 时,驾 驶 员 要 把 物 品 空 投 到 前 方 某 一 地 面 目 标 处,问：(1)此 时 目 标 在 飞 机 正 下 方 位 置 的 前 面 多 远？(2)投 放 物 品 时,驾 驶 员 看目 标 的 视 线 与 水 平 线 成 何 角 度？(3)物 品 投 出 2.0 后,它 的 法 向 加速 度 与 切 向 加 速 度 各 为 多 少？分 析 物 品 空 投 后 作 平 抛 运 动 忽 略 空 气 阻 力 的 条 件 下,由 运 动独 立 性

37、原 理 知,物 品 在 空 中 沿 水 平 方 向 作 匀 速 直 线 运 动,在 竖 直 方 向 作自 由 落 体 运 动 到 达 地 面 目 标 时,两 方 向 上 运 动 时 间 是 相 同 的 因 此,分 别 列 出 其 运 动 方 程,运 用 时 间 相 等 的 条 件,即 可 求 解 此 外,平 抛 物 体 在 运 动 过 程 中 只 存 在 竖 直 向 下 的 重 力 加 速 度 为求 特 定 时 刻 t 时 物 体 的 切 向 加 速 度 与 法 向 加 速 度,只 需 求 出 该 时 刻 它们 与 重 力 加 速 度 之 间 的 夹 角 或 由 图 可 知,在 特 定 时 刻

38、 t,物 体 的 切向 加 速 度 与 水 平 线 之 间 的 夹 角,可 由 此 时 刻 的 两 速 度 分 量 vx、vy求出,这 样,也 就 可 将 重 力 加 速 度 g 的 切 向 与 法 向 分 量 求 得 解(1)取 如 图 所 示 的 坐 标,物 品 下 落 时 在 水 平 与 竖 直 方 向 的 运动 方 程 分 别 为x v t,y 1/2 g t2飞 机 水 平 飞 行 速 度 v 1 0 0 m s-1,飞 机 离 地 面 的 高 度 y 1 0 0m,由 上 述 两 式 可 得 目 标 在 飞 机 正 下 方 前 的 距 离(2)视 线 与 水 平 线 的 夹 角 为

39、(3)在 任 意 时 刻 物 品 的 速 度 与 水 平 轴 的 夹 角 为取 自 然 坐 标,物 品 在 抛 出 2 s 时,重 力 加 速 度 的 切 向 分 量 与 法 向 分量 分 别 为1-1 9 如 图(a)所 示,一 小 型 迫 击 炮 架 设 在 一 斜 坡 的 底 端 O 处,已 知 斜 坡 倾 角 为,炮 身 与 斜 坡 的 夹 角 为,炮 弹 的 出 口 速 度 为 v0,忽 略空 气 阻 力 求：(1)炮 弹 落 地 点 P 与 点 O 的 距 离 O P；(2)欲 使 炮 弹能 垂 直 击 中 坡 面 证 明 与 必 须 满 足tan 21tan 并 与 v0无 关

40、分 析 这 是 一 个 斜 上 抛 运 动,看 似 简 单,但 针 对 题 目 所 问,如 不 能灵 活 运 用 叠 加 原 理,建 立 一 个 恰 当 的 坐 标 系,将 运 动 分 解 的 话,求 解 起来 并 不 容 易 现 建 立 如 图(a)所 示 坐 标 系,则 炮 弹 在 x 与 y 两 个 方 向的 分 运 动 均 为 匀 减 速 直 线 运 动,其 初 速 度 分 别 为 v0c o s 与 v0s i n,其加 速 度 分 别 为 g s i n 与 g c o s 在 此 坐 标 系 中 炮 弹 落 地 时,应 有 y 0,则 x O P 如 欲 使 炮 弹 垂 直 击

41、中 坡 面,则 应 满 足 vx 0,直 接 列 出有 关 运 动 方 程 与 速 度 方 程,即 可 求 解 由 于 本 题 中 加 速 度 g 为 恒 矢量 故 第 一 问 也 可 由 运 动 方 程 的 矢 量 式 计 算,即20g21t t v r,做 出 炮弹 落 地 时 的 矢 量 图 如 图(B)所 示,由 图 中 所 示 几 何 关 系 也 可 求 得O P(即 图 中 的 r 矢 量)(1)解 1 由 分 析 知,炮 弹 在 图(a)所 示 坐 标 系 中 两 个 分 运 动 方 程 为 gt t x sin21cos20 v(1)gt t y cos21sin20 v(2)

42、令 y 0 求 得 时 间 t 后 再 代 入 式(1)得解 2 做 出 炮 弹 的 运 动 矢 量 图,如 图(b)所 示,并 利 用 正 弦 定 理,有从 中 消 去 t 后 也 可 得 到 同 样 结 果(2)由 分 析 知,如 炮 弹 垂 直 击 中 坡 面 应 满 足 y 0 与 vx 0,则0 sin cos0 gt xv v(3)由(2)(3)两 式 消 去 t 后 得由 此 可 知 只 要 角 与 满 足 上 式,炮 弹 就 能 垂 直 击 中 坡 面,而 与v0的 大 小 无 关 讨 论 如 将 炮 弹 的 运 动 按 水 平 与 竖 直 两 个 方 向 分 解,求 解 本

43、题 将会 比 较 困 难,有 兴 趣 读 者 不 妨 自 己 体 验 一 下 1-2 0 一 直 立 的 雨 伞,张 开 后 其 边 缘 圆 周 的 半 径 为 R,离 地 面 的高 度 为 h,(1)当 伞 绕 伞 柄 以 匀 角 速 旋 转 时,求 证 水 滴 沿 边 缘 飞 出 后落 在 地 面 上 半 径 为g h R r/2 12 的 圆 周 上；(2)读 者 能 否 由 此 定 性构 想 一 种 草 坪 上 或 农 田 灌 溉 用 的 旋 转 式 洒 水 器 的 方 案？分 析 选 定 伞 边 缘 O 处 的 雨 滴 为 研 究 对 象,当 伞 以 角 速 度 旋 转时,雨 滴 将

44、 以 速 度 v 沿 切 线 方 向 飞 出,并 作 平 抛 运 动 建 立 如 图(a)所示 坐 标 系,列 出 雨 滴 的 运 动 方 程 并 考 虑 图 中 所 示 几 何 关 系,即 可 求证 由 此 可 以 想 像 如 果 让 水 从 一 个 旋 转 的 有 很 多 小 孔 的 喷 头 中 飞 出,从 不 同 小 孔 中 飞 出 的 水 滴 将 会 落 在 半 径 不 同 的 圆 周 上,为 保 证 均 匀 喷洒 对 喷 头 上 小 孔 的 分 布 还 要 给 予 精 心 的 考 虑 解(1)如 图(a)所 示 坐 标 系 中,雨 滴 落 地 的 运 动 方 程 为t R t x v

45、(1)h gt y 221(2)由 式(1)(2)可 得gh Rx2 222由 图(a)所 示 几 何 关 系 得 雨 滴 落 地 处 圆 周 的 半 径 为(2)常 用 草 坪 喷 水 器 采 用 如 图(b)所 示 的 球 面 喷 头(0 4 5)其上 有 大 量 小 孔 喷 头 旋 转 时,水 滴 以 初 速 度 v0从 各 个 小 孔 中 喷 出,并作 斜 上 抛 运 动,通 常 喷 头 表 面 基 本 上 与 草 坪 处 在 同 一 水 平 面 上 则 以 角 喷 射 的 水 柱 射 程 为为 使 喷 头 周 围 的 草 坪 能 被 均 匀 喷 洒,喷 头 上 的 小 孔 数 不 但

46、 很 多,而且 还 不 能 均 匀 分 布,这 是 喷 头 设 计 中 的 一 个 关 键 问 题 1-2 1 一 足 球 运 动 员 在 正 对 球 门 前 2 5.0 m 处 以 2 0.0m-1的 初 速 率 罚 任 意 球,已 知 球 门 高 为 3.4 4 m 若 要 在 垂 直 于球 门 的 竖 直 平 面 内 将 足 球 直 接 踢 进 球 门,问 他 应 在 与 地 面 成 什 么 角 度的 范 围 内 踢 出 足 球？(足 球 可 视 为 质 点)分 析 被 踢 出 后 的 足 球,在 空 中 作 斜 抛 运 动,其 轨 迹 方 程 可 由 质 点在 竖 直 平 面 内 的

47、运 动 方 程 得 到 由 于 水 平 距 离 x 已 知,球 门 高 度 又 限定 了 在 y 方 向 的 范 围,故 只 需 将 x、y 值 代 入 即 可 求 出 解 取 图 示 坐 标 系 O x y,由 运 动 方 程消 去 t 得 轨 迹 方 程以 x 2 5.0 m,v 2 0.0 m-1及 3.4 4 m y 0 代 入 后,可 解 得7 1 1 1 1 6 9 9 2 2 7 9 2 2 1 8 8 9 如 何 理 解 上 述 角 度 的 范 围？在 初 速 一 定 的 条 件 下,球 击 中 球 门 底线 或 球 门 上 缘 都 将 对 应 有 两 个 不 同 的 投 射

48、倾 角(如 图 所 示)如 果 以 7 1 1 1 或 1 8.8 9 踢 出 足 球,都 将 因 射 程 不 足 而 不 能 直 接射 入 球 门；由 于 球 门 高 度 的 限 制,角 也 并 非 能 取 7 1.1 1 与1 8.8 9 之 间 的 任 何 值 当 倾 角 取 值 为 2 7.9 2 6 9 9 2 时,踢 出 的 足 球 将 越 过 门 缘 而 离 去,这 时 球 也 不 能 射 入 球 门 因 此 可 取 的角 度 范 围 只 能 是 解 中 的 结 果 1-2 2 一 质 点 沿 半 径 为 R 的 圆 周 按 规 律2021bt t s v运 动,v0、b 都 是

49、 常 量(1)求 t 时 刻 质 点 的 总 加 速 度；(2)t 为 何 值 时 总 加 速度 在 数 值 上 等 于 b？(3)当 加 速 度 达 到 b 时,质 点 已 沿 圆 周 运 行 了 多少 圈？分 析 在 自 然 坐 标 中,s 表 示 圆 周 上 从 某 一 点 开 始 的 曲 线 坐标 由 给 定 的 运 动 方 程 s s(t),对 时 间 t 求 一 阶、二 阶 导 数,即 是 沿曲 线 运 动 的 速 度 v 与 加 速 度 的 切 向 分 量 a,而 加 速 度 的 法 向 分 量 为an v2/R 这 样,总 加 速 度 为 a ae anen 至 于 质 点 在

50、 t 时 间内 通 过 的 路 程,即 为 曲 线 坐 标 的 改 变 量 s st-s0 因 圆 周 长 为 2 R,质 点 所 转 过 的 圈 数 自 然 可 求 得 解(1)质 点 作 圆 周 运 动 的 速 率 为其 加 速 度 的 切 向 分 量 与 法 向 分 量 分 别 为故 加 速 度 的 大 小 为其 方 向 与 切 线 之 间 的 夹 角 为(2)要 使 a b,由b bt b RR 402 2)(1v可 得(3)从 t 0 开 始 到 t v0/b 时,质 点 经 过 的 路 程 为因 此 质 点 运 行 的 圈 数 为1-2 3 一 半 径 为 0.5 0 m 的 飞