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1、第一章极限和连续第一章极限和连续第一节极限第一节极限 复习考试要求复习考试要求 等形式的描述不作要1.了解极限的概念对极限定义求。会求函数在一点处的左极限及右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四那么运算法那么。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量及无穷大量的关系。会进展无穷小量阶的比拟高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性第二节函数的连续性 复习考试要求复习考试要求 1.理解函数在一点处连续及连续的概念，理解函数在一点处连续及极限存在之间的关系，掌握
2、判断函数含分段函数在一点处连续性的方法。2.会求函数的连续点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学第二章一元函数微分学第一节导数及微分第一节导数及微分 复习考试要求复习考试要求 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性及连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程及法线方程。3.熟练掌握导数的根本公式、四那么运算法那么以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法及对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6.理解微分的
3、概念，掌握微分法那么，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用第二节导数的应用 复习考试要求复习考试要求“0、“-型未定式的1.熟练掌握用洛必达法那么求极限的方法。2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值及最小值的方法，会解简单的应用题。4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5.会求曲线的水平渐近线及铅直渐近线第三章一元函数积分学第三章一元函数积分学第一节不定积分第一节不定积分 复习考试要求复习考试要求 1.理解原函数及不定积分的概念及其关系，掌握不定积
4、分的性质。2.熟练掌握不定积分的根本公式。3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法仅限三角代换及简单的根式代换。4.熟练掌握不定积分的分部积分法。5.掌握简单有理函数不定积分的计算。第二节定积分及其应用第二节定积分及其应用 复习考试要求复习考试要求 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2.掌握定积分的根本性质3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4.熟练掌握牛顿莱布尼茨公式。5.掌握定积分的换元积分法及分部积分法。6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体
5、的体积。第四章多元函数微分学第四章多元函数微分学 复习考试要求复习考试要求 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限及连续的概念。3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4.掌握复合函数及隐函数的一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步第五章概率论初步 复习考试要求复习考试要求 1.了解随机现象、随机试验的根本特点；理解根本领件、样本空间、随机事件的概念。2.掌
6、握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并和、交积、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的根本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6.了解随机变量的概念及其分布函数。7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续第一章极限和连续第一节极限第一节极限 复习考试要求复习考试要求 等形式的描述不作要1.了解极限的概念对极限定义求。会求函数在一点处的左极限及右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.
7、了解极限的有关性质，掌握极限的四那么运算法那么。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量及无穷大量的关系。会进展无穷小量阶的比拟高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容主要知识内容 一数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作xn，数列中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn为数列的一般项或通项，例如11，3，5，2n-1，等差数列2 等比数列3 递增数列41，0，1，0，震荡数列都是数列。它们的一般项分别为2n-1,。对于每一个正整数 n，都有一个 xn及之对应，所以说数
8、列xn可看作自变量 n 的函数 xn=fn，它的定义域是全体正整数，当自变量 n依次取 1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1,x2,x3,.xn,。2.2.数列的极限数列的极限定义对于数列xn，如果当 n时，xn无限地趋于一个确定的常数A，那么称当 n 趋于无穷大时，数列xn以常数 A 为极限，或称数列收敛于 A，记作比方：无限的趋向 0，无限的趋向 1否那么，对于数列xn，如果当 n时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列xn没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比方：1，3，5，2n-1，1，0，1
9、，0，依次用数轴上的点数列极限的几何意义：将常数 A 及数列的项表示，假设数列xn以 A 为极限，就表示当 n 趋于无穷大时，点 xn可以无限靠近点 A，即点 xn及点 A 之间的距离|xn-A|趋于 0。比方：无限的趋向 0无限的趋向 1二数列极限的性质及运算法那么二数列极限的性质及运算法那么1.1.数列极限的性质数列极限的性质定理 1.1惟一性假设数列xn收敛，那么其极限值必定惟一。定理 1.2有界性假设数列xn收敛，那么它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比方：1，0，1，0，有界：0，12.2.数列极限的存在准那么数列极限的存在准那么定理 1.3两面夹
10、准那么假设数列xn,yn,zn满足以下条件：，1，那么2定理 1.4 假设数列xn单调有界，那么它必有极限。3.3.数列极限的四那么运算定理数列极限的四那么运算定理。定理 1.512时，3当三函数极限的概念三函数极限的概念1.当 xx0时函数 fx的极限1当 xx0时 fx的极限定义对于函数 y=fx，如果当 x 无限地趋于 x0时，函数 fx无限地趋于一个常数 A，那么称当 xx0时，函数 fx的极限是 A，记作或 fxA当 xx0时例 y=fx=2x+1x1,fx?x1x12左极限当 xx0时 fx的左极限定义对于函数 y=fx，如果当 x 从 x0的左边无限地趋于 x0时，函数 fx无限
11、地趋于一个常数 A，那么称当 xx0时，函数 fx的左极限是 A，记作或 fx0-0=A3右极限当 xx0时，fx的右极限定义对于函数 y=fx，如果当 x 从 x0的右边无限地趋于 x0时，函数 fx无限地趋于一个常数 A，那么称当 xx0时，函数 fx的右极限是 A，记作或 fx0+0=A例子：分段函数，求解：当 x 从 0 的左边无限地趋于 0 时 fx无限地趋于一个常数 1。我们称当 x0 时，fx的左极限是 1，即有当 x 从 0 的右边无限地趋于 0 时，fx无限地趋于一个常数-1。我们称当 x0 时，fx的右极限是-1，即有之间有以下关及函数的极限右极限显然，函数的左极限系：定理
12、 1.6 当 xx0时，函数 fx的极限等于 A 的必要充分条件是。反之，如果左、右极限都等于 A，那么必有x1 时 f(x)?x1x1f(x)2对于函数，当 x1 时，fx的左极限是 2，右极限也是 2。2.当 x时，函数 fx的极限1当 x时，函数 fx的极限y=f(x)xf(x)?y=f(x)=1+1 xf(x)=1+定义对于函数 y=fx，如果当 x时，fx无限地趋于一个常数 A，那么称当 x时，函数 fx的极限是 A，记作或 fxA当 x时2当 x+时，函数 fx的极限定义对于函数 y=fx，如果当 x+时，fx无限地趋于一个常数 A，那么称当 x+时，函数 fx的极限是 A，记作这
13、个定义及数列极限的定义根本上一样，数列极限的定义中 n+的 n 是正整数；而在这个定义中，那么要明确写出 x+，且其中的 x 不一定是正整数，而为任意实数。y=f(x)x+f(x)x？2 x+，f(x)=2+例：函数 fx=2+e-x，当 x+时，fx？，解：fx=2+e-x=2+2 x+，fx=2+所以3当 x-时，函数 fx的极限定义对于函数 y=fx，如果当 x-时，fx无限地趋于一个常数 A，那么称当 x-时，fx的极限是 A，记作x-f(x)？(x0)那么 f(x)=2+x-,-x+2f(x)=2+例：函数，当 x-时，fx？解：当 x-时，-x+2，即有由上述 x，x+，x-时，函
14、数 fx极限的定义，不难看出：x时 fx的极限是 A 充分必要条件是当 x+以及 x-时，函数 fx有一样的极限 A。例如函数，当 x-时，fx无限地趋于常数 1，当 x+时，fx也无限地趋于同一个常数 1，因此称当 x时的极限是 1，记作其几何意义如图 3 所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。但是对函数 y=arctanx 来讲，因为有即虽然当 x-时，fx的极限存在，当 x+时，fx的极限也存在，但这两个极限不一样，我们只能说，当 x时，y=arctanx 的极限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是对函数 y=arctanx 来讲，因为有即虽然当 x-时，fx的极限存
15、在，当 x+时，fx的极限也存在，但这两个极限不一样，我们只能说，当 x时，y=arctanx 的极限不存在。四函数极限的定理存在，那么极限值必定惟一。定理 1.7惟一性定理如果可除 的某个邻域内 在点定理 1.8两面夹定理设函数外满足条件：，21。那么有也成立。注意：上述定理 1.7 及定理 1.8 对下面我们给出函数极限的四那么运算定理那么定理 1.9 如果12时，时，3当上述运算法那么可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：123用极限的运算法那么求极限时，必须注意：这些法那么要求每个参及运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。的情形也都成立。另外，
16、上述极限的运算法那么对于五无穷小量和无穷大量1.无穷小量简称无穷小的极限，如果自变量 x 在某个变化过程中，函数定义对于函数为无穷小量，一般记作为零，那么称在该变化过程中，来表示无穷小量。常用希腊字母以 A 为极限的必要充分条件是：定理 1.10 函数可表示为 A 及一个无穷小量之和。注意：1无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。2要把无穷小量及很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。3一个变量是否为无穷小量是及自变量的变化趋势严密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽一样。例如：振荡型发散4越变越小的
17、变量也不一定是无穷小量，例如当 x 越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。5无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个。数，这是因为2.无穷大量简称无穷大的绝对值可以变得充分大或时，定义；如果当自变量为无穷大量。记也即无限地增大，那么称在该变化过程中，。作注意：无穷大不是一个数值，“是一个记号，绝不能写。或成3.无穷小量及无穷大量的关系无穷小量及无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。为无穷大量，那么为无穷小定理 1.11 在同一变化过程中，如果，那么为无穷大量。为无穷小量，且量；反之，如果无穷大当无穷小为无穷小当无穷大4.无穷小量的根本性质性质 1 有限个无穷小量的代数和
18、仍是无穷小量；性质 2 有界函数变量及无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量及无穷小量的乘积是无穷小量。性质 3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质 4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比拟。是同一变化过程中的无穷小量，即定义设；高阶的无穷小量，记作 是比拟 1如果那么称为同阶的无穷小量；及 2如果那么称；为等价无穷小量，记为 及 3如果那么称低价的无穷小量。当 是比拟 4如果那么称等价无穷小量代换定理：且存在，那么。均为无穷小量，又有，如果当时均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算
19、中使用。常用的等价无穷小量代换有：时，当sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;六两个重要极限1.重要极限重要极限是指下面的求极限公式令型的极限问题。这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的其构造式为：2.重要极限重要极限是指下面的公式：其中 e 是个常数银行家常数，叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045其构造式为：型的未 型的未定型式，重要极限是属于“重要极限是属于定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。七求极限的方法：1.利用极限的四那么运算法那么求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；
20、4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法那么求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。根本极限公式234例 1.无穷小量的有关概念19601以下变量在给定变化过程中为无穷小量的是A.B.D.答CC.A.发散D.及 x 比拟是时，20202当A.高阶的无穷小量 B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量 D.低阶的无穷小量答B及 x 是,解:当极限的运算：0611解：答案-1型因式分解约分求极限 例 2.答10208解:20621计算答解:型有理化约分求极限 例 3.10316计算 答解:29516 答解:型的极限答 时求例 4.当10308一般地，有例 5.用重要极限求极限1960
21、3以下极限中，成立的是A.B.C.D.答B答20006解:例 6.用重要极限求极限10416计算 答解析解一：令解二：0306060120118计算 答解:例 7.用函数的连续性求极限答00407解:，例 8.用等价无穷小代换定理求极限0317答0解:当例 9.求分段函数在分段点处的极限10307设的左极限在那么答1解析答120406设,那么解析例 10.求极限的反问题1那么常数.，得，即解析解法一：，解法二：令.得，解得解法三：洛必达法那么.，得即2假设求 a,b 的值.型未定式.解析.时，当令.，得于是，即.所以04020017，那么 k=_.答:ln2解析前面我们讲的内容：极限的概念；极
22、限的性质；极限的运算法那么；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比拟。第二节函数的连续性第二节函数的连续性 复习考试要求复习考试要求 1.理解函数在一点处连续及连续的概念，理解函数在一点处连续及极限存在之间的关系，掌握判断函数含分段函数在一点处连续性的方法。2.会求函数的连续点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容主要知识内容 一函数连续的概念1.函数在点 x0处连续定义 1 设函数 y=fx在点 x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量x初值为 x0趋近于
23、0 时，相应的函数的改变量y 也趋近于 0，即那么称函数 y=fx在点 x0处连续。函数 y=fx在点 x0连续也可作如下定义：定义 2 设函数 y=fx在点 x0的某个邻域内有定义，如果当 xx0时，函数 y=fx的极限值存在，且等于 x0处的函数值 fx0，即，那么称函数 fx在点 x0处定义 3 设函数 y=fx，如果，那么称函数 fx在点 x0处右连续。由上述左连续；如果定义 2 可知如果函数 y=fx在点 x0处连续，那么 fx在点 x0处左连续也右连续。2.函数在区间a，b上连续定义如果函数 fx在闭区间a，b上的每一点x处都连续，那么称fx在闭区间a，b上连续，并称 fx为a，b
24、上的连续函数。，在右端点 b这里，fx在左端点 a 连续，是指满足关系：，即 fx在左端点 a 处是右连续，在连续，是指满足关系：右端点 b 处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3.函数的连续点定义如果函数 fx在点 x0处不连续那么称点 x0为 fx一个连续点。由函数在某点连续的定义可知，假设 fx在点 x0处有以下三种情况之一：1在点 x0处，fx没有定义；2在点 x0处，fx的极限不存在；存在，但3虽然在点 x0处 fx有定义，且，那么点 x0是 fx一个连续点。，那么 fx在A.x=0,x=1 处都连续 B.x=0,x=1 处都连续C.x=0 处连续，x=1 处连续D
25、.x=0 处连续，x=1 处连续解：x=0 处，f0=0f0-0f0+0 x=0 为 fx的连续点x=1 处，f1=1f1-0=f1+0=f1fx在 x=1 处连续答案C9703设，在 x=0 处连续，那么 k 等于D.2C.A.0B.分析：f0=k答案B例 30209设在 x=0 处连续，那么 a=解：f0=e0=1f0=f0-0=f0+0a=1答案1二函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法那么，可以得到以下连续函数的性质。定理 1.12四那么运算设函数 fx，gx在 x0处均连续，那么1fxgx在 x0处连续2fxgx在 x0处连续在 x0处连续。3假
26、设 gx00，那么定理 1.13复合函数的连续性设函数 u=gx在 x=x0处连续，y=fu在 u0=gx0处连续，那么复合函数 y=fgx在 x=x0处连续。在求复合函数的极限时，如果 u=gx，在 x0处极限存在，又 y=f处连续，那么极限符号可以及函数符号交换。即u在对应的定理 1.14反函数的连续性设函数 y=fx在某区间上连续，且严格单调增加或严格单调减少，那么它的反函数 x=f-1y也在对应区间上连续，且严格单调增加或严格单调减少。三闭区间上连续函数的性质在闭区间a，b上连续的函数 fx，有以下几个根本性质，这些性质以后都要用到。定理 1.15有界性定理如果函数 fx在闭区间a，b
27、上连续，那么 fx必在a，b上有界。定理 1.16最大值和最小值定理如果函数 fx在闭区间a，b上连续，那么在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理 1.17介值定理如果函数 fx在闭区间a，b上连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m，那么对于介于 m 和 M 之间的任何实数 C，在a，b上至少存在一个，使得推论零点定理如果函数 fx在闭区间a，b上连续，且 fa及 fb异号，那么在a，b内至少存在一个点，使得f=0四初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四那么运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于根本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到以下
28、重要结论。定理 1.18 初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知：如果 fx是初等函数，且 x0是定义区间内的点，那么fx在 x0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。04070611例 1.证明三次代数方程 x3-5x+1=0 在区间0,1内至少有一个实根.证：设 fx=x3-5x+1fx在0，1上连续f0=1f1=-3由零点定理可知，至少存在一点0，1使得 f=0，3-5+1=0即方程在0，1内至少有一个实根。本章小结本章小结函数、极限及连续是微积分中最根本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最根本的运算之
29、一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的根底。这一章的内容在考试中约占 15%，约为 22 分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下：一、概念局部重点：极限概念，无穷小量及等价无穷小量的概念，连续的概念。极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。函数在一点连续性的三个根本要素：1fx在点 x0有定义。存在。2。3常用的是 fx0-0=fx0+0=fx0。二、运算局部重点：求极限，函数的点连续性的判定。1.求函数极限的常用方法主要有：1利用极限的四那么运算法那么求极限；型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。对于“2利用两个重要极限求极限；3利用无穷小量的性质求极限；4利用函数的连续性求极限；假设 fx在 x0处连续，那么