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1、专 题 16.12二次根式计算100题（培优篇）（专项练习）1.计算：（3厄-6,+7 48)-2 7 32.计算:(2)(2-夜)2 x (6+4点).3.计 算(1)3J(-2)2+5/2 x 7 6 -V 32 ；丫7 2(2)(2 6-i y +(正+2)(正-2)-4.（1）计算：2岳-3后+石（2）计算：（6）2_*xg,25.（1）计算：+居+；（2）计算：（指 +6 .计算：（有+2广（6一2户+后（1一6）7 .计算(1)2 5/1 2(2)(7 2 +1)(1-)+(+2)0+|2 -4|-(/3-1)28.计算:(1)j|-3 屈+i o 扃;(2)(正一1)(逐+1)_
2、(_力+闽 _(乃 _2)。+*9.解下列各题计算：(1)2M-7；(2)y/8 x J 1 2 t-J3；2（3）（乃 一3）+（：尸一而X6|逐一2|；（4）（6 +忘）（6-逝）一（有-1）2.1.已知、=公 万 二段万.（1）求/+卢 孙 的 值；（2）若x的小数部分是”，y的小数部分是，求（加+”）2 -师茄7的值.1 1 .阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如 3+2 应=（1 +0?,善于思考的小明进行了以下探索，若设“+方y1 2 =（m +n /2）2=m2+2 n2+2 m n-j2（其中，a,b,m,均为整数）,则有 a=?+2
3、 2,h 2 n m,这样小明就找到一种把类似“+血的式子化为平方式的方法.请你依照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若a+by/1 =（m +n-f j）2,当 a,Z?,?，n均为整数时，用含，n的式子分别表示a,b,得：a,b.（2）若+6 石+,当 小 机，均为正整数时，求 的值.（3）化简：小 7-4代 和 由+2 .1 2 .观察下列规律：（后+1）（应-1）=2-1 =1=0 _卜/尸=下一血.V 2 +1 6 +或1；1（2）+1 +；（3）利用上面的规律计算：（百I卡 瓦丁百丁+&0 20）（领+D1 3.计算：（1）石(2)(3)（一+应）伸 一 回;(4)2 7 1 2
4、+37 48 :(5)+/2 8-/7 00；(6)73 2-3 +.1 4.计算：(1)37 2 x 2 7 3；(2)7 i 2 x -5;(正+1；(4)(7 1 3+3)(7 1 3-3)；舟炳(6)j=.7 21 5.计算：舟(4)(2 7 3-1)2；(7)3石-厉;7 1 2 x 7 6(3)(1 +(2-;(4)+回-M.(6)1 7.计算:(1)A*哥回1 8.计算：(1)g一 岛(2)x 而；1 9 .计算：工工a-b a-b/、./+6。+9 。+3(2)1-+-；a2-4 a+2(3)J l 2+8+1 5/3 2 1；(4)2屈+3.+病;(5)(应-舟+限 2 百；
5、(6)解方程：=+1 =-x-2 2-x2 0.计算：(1)5/+g闻-国 君+2)；(2)如+6-2+同一(壶一道(3)(2 _ 如广(2 +行 广 _ 2 悍 _12 1 .计算：(1)底乂近-5；(2)(小+R )(7 5-7 6 );(3)7 1 2-7 05-4-7 1 8 ；(4)4-1=4-|1-5/2|;*眄+&(4)J +/i(j8-/i 2 .(2)痘-布+/；(4)2界+瓜-历.W-(1 -V2)2计算：一j -6(6+指)+*(5)(舟 )+2 2.2 3.已知x =2-y=2 +5求代数式V+2 x y +y 2 的值.2 4.计算：（6-1）一卷-7?7 3-2 5
6、.计算:(1)厄产(2)(X/3+V 2)(-7 2)2 6.计算：(，)舟行(2)(3y/2 -y/3)(四+2 退).2 7 .像J 2&，J 屈-倔这样的根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：小4-26=5/3-2 5/3+1 =7（/3）2-2X/3+12=J（T）2 =逐 一 1 ;再如：7 5+2 5/6 =3+2娓+2 =7（）2+2X/6 +（7 2）2=&6+点）2=&日请用上述方法探索并解决下列问题：（1）化简：1 1 +2屈=，4 2 4-6屈=；（2）若。+6 有=（,+后?）2,且“，加，”为正整数，求 a的值.2 8 .计算下列
7、算式：（1）（7 1-3）+|-2|-（5-6）2；（2）屈+1嗜-应+；屈.1 1 x（0）厂 12 9 .阅读下面式子：=（向;）民旷应“及友1x（右一五）（正+2）（6-2）73-1 _ 1x(逐一2)75+2(有+2)(括-2)=75-2.根据以上解法，试求:（1）-77=（为正整数）的值;，+1 +7n(2)产+7=7=+r=尸+-?=7=+i=r=I H W1 +72 y/2 +/3 币+币 回+回 /99+V W 0 J3 0.阅读题(1)观察、发现：-二广&7=f j=母-1应+1 (V2+1)(72-1)(V2)2-1 2-1试化简:-；直接写出：I-7=_：W +1 +5?
8、直接写出 /=+i=7=+-5=7=+1 1 3=V2+1 6+应 4+逐 V ioo+-(2)已知在R A 8C 中，A 8=8,A C =6,8C =10.如 图（一）A D VB C,求 AD的长.可以运用“等面积法”解答如下:解.V S A R C=-AB AC=-BC AD.AB A C 8x6 24 A D =-=-=B C 10 5 如 图（二），在斜边3 c 上有一点。，D E 1A B,D F 1A C；若D E =D F,求。石的长.解：设 D E =D F =xE图（二）如图（三），在 2AA8C 内有一点 ,DE A.AB,DF AC,DG 1 BC,若 DE=求。E的
9、长.解：设 DE=DF=DG=h=DG,图（三）31.观察下列各式：上3f 飞地一0衣片3-6（1）请根据以上规律，写出第4个式子：；（2）请根据以上规律，写出第个式子：；根据以上规律计算：卷+心+小+砺出前 的 值.32.计算（1）（乃-3）+76X-|V 2-2|；（2）+（应-4）（应 +.33.计算：看-.8-#）+（iS.3 已 知 号 万 =号 万 求。”+加的值.35.（1）倔+6 +5乂 疝 一 依（2）（5/3-2 -7 6）x2-73+57236.（1）计 算:旧-）后；（2）计算：（正+1）（正37.我们将（而 +扬）,（&-扬）称为一对“对偶式”，因为（G+扬）（-扬）
10、=（血？-（扬）2=。-所以构造 对偶式”再将其相乘可以有效地将（G+扬）和（6-扬）中 的 去 掉.例 如：3+石 _(3+6)(3+拘 _(3+后 _ 12+6733-6 -(3-6)(3+扬 -32-(后 一 6=2+6.像 这 样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题.CAB1 .0*I v/2（1）分 母 有 理 化 芈 担 的 值 为；V2-1（2）如图所示，数轴上表示1,0 的点分别为A,a 点 B关于点A的对称点为C,设点。表 示 的 数 为-求 x+42的值.X38.计 算：(1)0|+舛+(20
11、 20 4)+(；尸；（厄-噂 一 （3/(2)-2屈）；(3)(-712)x(5/48+718)；(4)+f b)+yfb).3 9.下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务:彳+回+（近一+/28 H-(T7第一步+J28 +J28 7=第二步2V72不+2-第三步+2-1 4第四步2=也 一 1 2第五步2(1)二 次 根 式 旧，底，币,宕 中，属于最简二次根式的是(2)以上第一步的化简中由“后 化 为“今所依据的数学公式是(3)第 步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果.40.计算：而+（一：尸+|1 一 也|（n2）.41 .如图,一只蚂蚁从点A 沿数轴向右
12、爬行2个单位长度到达点B,点A 所表示的数为-女,设点B 所表示的数为“H0（1）求机的值;（2）求-1|+（2-夜）（4-机）的值.4 2.计算:（1）如+（2 万）-石+卜一虚|(2)(1 0屈-6历+4疫)+#4 3.计算:（1）2 M x 疝-724；（2）族3-义 历 十 而，4 4.（娓-符-底.4 5.计算:（1）亚 乂 屈+指；46.阅读下列解题过程，并解答问题.小 1 _ 1x（旨-0）_ 6-逝 _ r 万-2=（6+应）（有-伪 一（逐 产-（应 产 71 旧-M=C=（a-邛（乃加）1 ix（VH+M）(VTT+Vio)-(i)直接写出结果十 一 =_.，+1+7 n(
13、?)化简 F=+l 1 r-+F 7=+.+-?=,=w J,V 2+1 指+应7 ioo+,(3)比较大小：J 20 17-J 20 16 与 J 20 16-J 20 15 .4 7.计算:(1)(1+舟(2-布);(2)(祗+此 x；(3)A+3 6 +R(4)瓜 24 8.化简：S x2y x y -24 9.计算：（1）2厄-66+3 屈（2）（2布-伪 25 0.先化简，再求值：上叁（2 一/“）,其中4=2+6,b=2-拒.a a5 1.计 算：,2 制+（4 1）“一/+（-1）”.5 2.计算(1)718+72(2)2 y/3+y/2 7-(3)(-7 7)(7 5+7 7)
14、+2(4)4(6 +)。+5 3.计算：712+727/T（2）（6-伪 2（3）（#-2）x G-6（4）而5 4.观察下列等式：1 V 2 1 r-百 二（向=，分 =0一.有+0 一研+旬（召 旬 一1 -6 （耶+叫（_ 的=回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：卡：了=.（2）,=.（为正整数）（3）利用上面所揭示的规律计算：-1-1-I 1-I-1 -1 -_|-1-l +/2-j2+4 3 小+R 0 0 16 +J 20 17 J 20 17+J 20 185 5 .已 知 x =6 +&,y=y/3-y/2 ,求（x-）+孙的值.5 6 .计算或化简：I+质 _（指
15、_ 1）。；（2）（豉-3&7/）+祗5 7 .先观察下列等式，再回答问题e I.i i,i i,ii4-L =1-L.3 3 +1 12（1）请你根据上面三个等式提供的信息,/2加、3 /3/t、2 t n n(2)(-)-()-3 p p(2)5 24-7 27 .(4)2 6+3-5/483用x 2 丛=6；7（应用）（1）化简：;3币-&3 +7 2（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 的式子表示的等式（为正整数）.5 8.计算与化简(1)20 14-7(1-7 2)*3 2-()2(3)(a-2 b)(a+2 b)-(a-2 b)25 9.(1)5-厨-(-心/；6 0.已
16、知=6 +L y =石一L求*+3个+J?2的值.6 1.观察与计算：(6+1)(6-1)=2；3 x(_g 近)=；(2 6+伪(2百-伪=象上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式.当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的E4,-包 2 2 巾 2 书 6 6 3垃 3近有理化因式进仃化简.例如：=（6）?=.3；=2近=（0 2 =22 _ 2(市-1)万 J6+1 -(6+1)(-（2）化简：反至+行后+向 二 后 十+而 而 二 万 而6 2.计算或化简下列各题（1）M-底+五；（2）-厢|+（-1严 6 3
17、.（阅读材料）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2忘=（1+女产.善于思考的小明进行了以下探索：若设“+&=（m+n垃）2=m2+2 n2+2 m n y/2（其中 a、b、m、均为整数），则有 a=2+22,bh n n.这样小明就找到了一种把类似血的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（问题解决）（1）若 a+%=（，”+正）2,当 、机、均为整数时，则=,b.（均用含，、”的式子表示）（2）若犬+4=（m+n小）2,且 X、胆、”均为正整数，分别求出X、，、”的值.（拓展延伸）（3）化简加+2#=.6 4.己知x=a-1
18、_ V 2+1直 +1。_ 7 2-1求 年 W3的值x+y65 .计算：(1)弧 =6-g x而(2)历 X g+(也 _ j；(3)炳-卜 卜 白;(4)(3-4)-r yjyi；(5)+V 2 /6 y 5/2-,j3+/6 j.66.观察下面的变形规律：-7=-=7 2-1 ,厂1 厂=耳一屈,3=贬-邪V 2+1 V 3+V 2 V 4 +V 3解答下面的问题：（1）若 n为正整数，请你猜想r=；(2)计算：(f=+7=7=+7=7=+I-1-)x(,2018+1 )/2+1 /3+/2 v4+5 5/2018+5/20176 7.小明在解方程/2 4-x-/7 =2 时运用了下面的
19、方法：由(J24-x-J g-x)(J24-x+J8-x)=(/24-x)-(J8-x)=(2 4-x)-(8-x)=16,又由/2 4-x-/T =2 可得/24-x+/7 =8,将这两式相加可得 j2 4-x =5,将 j2 4-x =5两边平方可解得x=-1,经检验x=-1 是原方程的解.请你参考小明的方法，解下列方程：(1)7X2+4 2+7X2+1 0=1 6;-JAX2+6X-5 +x2-2x-5=4x-y&+x 6Xy/y+y4x y4x-X yfy70.计算：1 _ 12+忘 3忘+2 6 4员3 4 100 辆+99/i而71.已知丁-3+1=0,求x 的值.72.已知=退+
20、1,求（+）一 4（a+，）+4 的值.73.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如金,岛磊一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5 5 x 6-73 0 W 3(2=23 76V -V3x3：2=2x(V 3-l)_ 2(6 1)布+西+D电 7)一 (回以上这种化简的步骤叫做分母有理化.（1）化简：M-；息-；3=（2）化简：/=-7=7=+/=7=-；y/3+1 y/5+3 V 7+V 5 J 201 9 +J 201 7/“、口”A/5 5/3 5/5 +y/3 4 y,AA/士（3）已知x=r=-尸，y=i=广，求一 十 一的值.V 5+V 3
21、 行-G 工 y7 4 .已知=&+1，求。3一/一3 +201 8 的值.7 5 .阅读下列解题过程：1 1 x（7 5-7 4）小-R 片（小+向#-希，后-（屈=小-4=小 一 21 1 x（瓜-小）网-小 R+小-函+&函-6 （后 一（府 a请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果./I,=。（2）利用上面提供的信息请化简：W?+寻正+石片+一 J 2O O 7：J 2O O 8 的值.7 6.已知三女=2-?且。+6=2,请化简并求值：甘a b J x+1 +J x VX+1-VA-7 7 .已知 y=小-x +4 x-5+9 ,|_ y-2x|-Jy2-2 y+l
22、 -J5 x y.7 8 .观察下列各式：（1）第个式子为；（2）第 n-1 个式子为：（3）证明你所得的结论.7 9.计算:a-b a+b-2-Jab4 a-4 b y/a-y/b80.先阅读下列解答过程，然后再解答:形如/n +2G的化简，只要我们找到两个正数。泊，使a+6=加，也,使得(G T +(扬)2 =m ,4 a+4 b=n 那么便有：Jm 2册=士加了=&扬(”1)例如：化简j7 +45/J解：首先把g+4石 化 为 g +2至，这里?=7,=12，由于4+3=7,4x3=1 2,即：(尸+(6 尸=7,7 4 x =712,所以加+4币=小+2至 =(+6丫=2+6 o问题：
23、填 空：1 4 +2布=，9+4下=：化 简：719-4715(请写出计算过程)81.已知：x=3 二1,丫=避1,求下列各式的值：2 2(1)x2-xy+y2；y x(2)上 +2%y8 2.如果记y=f(x),并且八4)表示当x=J 时y 的值，即/(码=出 =；表示当x=0 时 y 的值，即/(应)=；卜 示 当 x=A时y 的值，即(1)计算下列各式的值:(2)当为正整数时，猜想/()+/的结果并说明理由;(3)的值.8 3.如图，五边形 ABCDE 中，AB=a,BC=b,ZB=9 0.且从=V a2-6 4+V 6 4-a2+36.a +8（1）求4-b 的平方根；（2）请在C O
24、的延长线上找一点G ,使得四边形A 8 C G 的面积与五边形ABCO E 的面积相等;（说明找到G点的方法）（3）已知点尸在A C 上，F H”AB交 BC于 H,若 FH=6,贝.8 4.观察下列等式：2 =2（6-1）=2（6-1）=2（百-1）=6_ 1括+1 -（6+1）第-1）-函）2-1 2 .3-1 -一2 =2（小-邪）=2（正-册=2（4-月=有 _ 石正+逐 一#+B函-6 函）。呵 一 5-3 回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：不：后2（2）化简：-j=f=.j2 n +yJ2 n-、2 2 2 2（3）计算：及T瓦耳+存存+岳+历。8 5.仔细阅读以下内容
25、解决问题：第 2 4届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为。，b,则面积为;而，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2 2 a b,当且仅当a =人时取等号.在/+/2 2 ab 中，若。0,。0,用 4 c i、6 代 替。,b f#,a+b 2 ab,即而（*）,我 们 把（*）式称为基本不等式.利用基本不等式我们可以求函数的最r2-k 4大最小值.我们以“已知X GR,求），=下=的最小直 为例给同学们介绍.V x2+1解：由题知产白詈=行+品号 .y /77i +-jJ=2lj 7 7 i-jJ=2 y/3,当且仅当=时取等号,J f +i 、J f+i ，r +l即当
26、x =土正时，函数的最小值为2 后.总结：利 用 基 本 不 等 式 审 *必（。0/0）求最值，若M为定值，则a+6 有最小值.请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值.2（1）若x0,求函数y =2%+一的最小值;x（2）若x2,求丁=工+一1 的最小值；x-2(3)g x 0,求函数y =X+4 yf x+1 3yf x+2的最小值.8 6.先阅读，再解答:由（君+曲）（4-6）=（百-（括=2 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
27、1 5/3 2 /r r rE 5=（国（6 一 码 小 一 应，请完成下列问题：的有理化因式是；3化去式子分母中的根号：=后=.（直接写结果）(3)5/2 0 1 9-5/2 0 18 _ _ _ _ _ _ V 2 0 18-V 2 0 17 (填 或 2-0,2 y/3 5 2 ,5/5 2 y/h y/5 )根据以上规律可知：V 2 0 17-V 2 0 16_ _ _ _J 2 0 18 -,2 0 17 (填或=)(2)观察下列式子的化简过程：1 =应 T =5标_ 阳1)晔尸 1 =f i-Ji忑飞飞有+邱=一追=r-_ r z4 +6一(4+6)(口 6)根据观察，请写出式子，
28、(应2)的化简过程.yln+ln-i(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式:1 _ 1 _ _ 1 _ 1 _ I I_ 1 _ 1 _I _V2+1 逐+&y/3+42/+G|5+逐 /5+74|/l()0 4-5/99 71014-50089.计算：（1）*+6 -0 1 （2）（括-2）（2+君）-卜白）+.90.先阅读材料，然后回答问题.（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简由-2#.经过思考，小张解决这个问题的过程如下：$-2 =J 2-2 T +W =J（0）2 -2 0 x 6 +（逐）2 =应一6）。=2 y/3 在上述化简过程中，第 步出现了错
29、误，化简的正确结果为（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化 简 仙-2便.58+4 5川.已知：所 忑 七 万 =忑匕92.计 算:求。2 -+的值.(2)(2 6-1)(2 3+1卜(1+可(1-可94.（1）若实数m、n 满足等式|，“一 2|+/n-4=0,求 2m+3n的平方根;(2)y-Jx-24+/24-x-8,求 也-5y 的值.9 5.计算:(1+(2 V 3 6x V 12炳-而+（4）3 必唯顺9 6.先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简，7 +46 中发现:首先把小+4 小 化 为 小+2 n，由于4 +3 =7,4 x 3 =12,即：（衣尸+（招尸=7
30、,网 x 币=岳,所以小+46=J 7 +2 疝=芯/野+2/+（我 2 =（4/+府=2 +6问题：（）填空：5/4 +2 5/3 =-，y）5 2 6=-；（2）进一步研究发现：形如J m 2 6的化简,只要我们找到两个正数，h （a b）,使a+b=m,ab=，即（）2 +（加）2 =m ,y/ax y/b=y/n ，那么便有：小 n 2 =.（3）化简：1 4-岳（请写出化简过程）9 7 .阅 读下列解题过程：卡+口（7 5+7 4）（7 5-7 4）（互 _（可 1x（小为 瓜-小_而 石娓+书（#+4）（而-司（南-（国请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出/:;（2）利
31、用上面的解法请化简：m 万+至 上 万+不、+而 舟 嬴+耳 前 念 说 r（3）厄-j n 和加-尼的值哪个较大，请说明理由.9 8.已知x=f，丁 =。+省，求*+*的值.j 3 +y/2 V 3-V 2 丫 x9 9.阅读下列解题过程:1 -6-1-7 2 +1 （近+1）（应-1）1 _ y/3-42币+五一（6+&）（6-应）耳-；忑旨=诉木条F=-后=2-6；解答下列各题：1(1);(2)观察下面的解题过程，请直接写出 式 子,=.(3)利用这一规律计算：(卷+心+出+的:的”(领+1 0 0.已知x =3 +2五，求：/+二+6*+9+7 的值.参考答案1.4【分析】先利用二次根
32、式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则进行求解即可.【详解】解：(3厄-6.+屈)+2 6=(66-26+4 6)+2。=8石+2有=4.【点拨】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则.2.(1)2；(2)4【分析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；(2)根据完全平方公式以及平方差公式计算即可.【详解】解：(1)原式=亚叵-4=逑-4小=6-4=2；(2)原式=(4-4,/2+2)x(6+472)=(6 -4 7 2)x(6+4近)=36-32=4.【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解本题
33、的关键.3.(1)6+6-4应；(2)23-4石【分析】(1)直接化简二次根式进而计算得出答案；(2)直接利用乘法公式，零指数嘉以及二次根式的混合运算法则计算得出答案.【详解】解：3卜2)2+5应x而 辰 一=3x2+56-V1 6x2-3x/=6+5x2 退-4 G 3X3 6=6+1 0 痒 4氏9 有=6+6-4 忘.=2 0 -4正+1 +(6+2卜1-正=2 3-4忖【点 拨】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键.4.(1)26：(2)立 一1 34【分 析】(1)先分别化简二次根式，再 合 并 同 类：次根式即可得到答案；(2)先计算乘方，同时化简二次根式，将
34、除法化为乘法，计算乘除法，再化简结果.【详 解】解：2岳 3旧+百=106-9耳+百(2)(旧-限二3一2后40+用暂=3 7 6 +典/斗5 4小及1 3-1J.4【点拨】此题考查二次根式的加减法计算法则，及混合运算的计算法则，正确掌握二次根式的加减法法则、混合运算的法则、二次根式的化简方法是解题的关键.5.(1)6 7 6 ；(2)3 +6【分 析】(1)根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可;(2)先根据平方差公式计算，同时分母有理化，进而根据实数的混合运算进行计算即可【详 解】(I )3加+后x3.6=3、，/x 6丫4 3 3=3 x 6 xI=6瓜(2)+2(+1)r r=5 3+
35、,.,r =5 3 +V 3 +1 =3 +V 3(G)(退+i)【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键.6.273-7【分析】根据（布-2）2 0 2 2=（石-2广 （石-2）可得（7 3 +2户（石-2户=便+2）（布-2）广（6_ 2）,然后利用平方差公式和有理数的乘方以及二次根式的混合计算法则进行求解即可.【详解】解：原式=(6+2户(6-2广 (石-2)+360-6)=(7 3 +2)(-2)2 0 2(-2)+3-9=(-1 严(6_2)+30-9=-7 3 +2 +3 7 3-9=2 7 3-7.【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，同底数
36、暴乘法的逆运算，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则.7.（1）4；（2）0【分析】（1）先算括号里面的，再算括号外面的，利用二次根式的性质计算即可；（2）根据平方差公式、零指数事和绝对值的性质计算即可；【详解】(1)2 厄+0屈+嗜-3 用J=4 以(84+26-9 =4 昌网=4；(2)(应+1)(1-应)+(6+2)+|2 石-4 卜(百-1=1-2+1 +4-2 7 3-(3-2 7 3 +1)=0；【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，结合平方差公式，零指数某，绝对值的性质，完全平方公式计算是解题的关键.8.(1)(2)-7+3&【分析】(1)先把各二次根式化为最
37、特意二次根式，再合并即可得到答案；(2)分别根据平方差公式、负整数指数基的运算法则，绝对值的代数意义，零指数基的运算法则以及二次根式的性质代简各项后再合并即可得到答案.【详解】解：(I)形-3屈+1 0血？=限6加+如2 4 7 1 0；=5-1-9+7 2-1-1 +2=-7 +3 忘【点拨】本题主要考查了二次根式的加减以及实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.1 79.(1)I 五；(2)8 7 2 ;(3)2 +2 应：(4)2 7 5-5.【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可得到答案；(2)原式从左向右依次计算即可得到答案；(3)原式根据零指数基、负整
38、数指数 累、二次根式的乘法以及绝对值的意义代简各项后，再外挂；(4)原式利用平方差分工和完全平方公式进行计算即可得到答案.【详解】解：(1)2M-7=6应-N应44日4(2)5 x 7 1 2 4-T 32=廊 道=2.7 3 2=8&；(3)U-3)0+(1)-7 6 x 7 3-1 7 2-2|=1 +3-3 应+a-2=2 +2 近；(4)(6+伪(6一 伪-函-I-=3-2-(5-2 7 5+1)=3 -2 -6+2 /5=5.【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运算顺序以及灵活运用乘法公式是解答本题的关键.1 0.(1)3 5；(2)4 7 2-4.【分析】(1)
39、先分母有理化求得小y、x+y、3，的值，再对(+卡+与，变形，利用整体代入法求解即可；(2)求出，、的值，代入求出即可.【详解】解：户 直宗=3-2形，产 工/=3 +2区，%+)=6,x y=,./+卢 孙=(x+y)2-x y=62-1=3 5；(2)V 1 2 2.2 5,1 忘 1.5,则 2 V 2正 3,/.0 /2 h 5 3+2&a=3+2应-5=2在-2,.,.m+n=3-2&+2 4 2-2=1,m-n=3-2垃-2 4 2+2=5-4 0，(m +n)2 02-1(?-)3 =1-(5-4 4)=4 2-4 .【点拨】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，
40、能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键.1 1.(1)m-+h r,2 i：(2)a=2 8 或(3)4-4币=2-瓜力5 +2娓=0+石【分析】(1)仿照例题计算即可得；(2)仿照例题计算即可得；(3)先计算(2-道)2 =7-46，(应+g?=5+2#,再计算即可.【详解】解：(1)：a+h-Jl =(m +n )2,.a+b-Jl =m2+2 m n-/7+7 n2(.a,b,m,“均为整数),/.a=加+7/,b=2 m n,故答案为：及+7/，2 m n；(2)：a+6 6 =(m +n币Y ,/.a+6y/3=m+lnrnJ3+3n2(a,b,m,均为整数)，a=於+3 2,
41、2mn=6,mn=3f m=1,H=3,a=28,m=3,n=l,a=12,综上所述：a=28或 12；(3),(2-而 2 =4-2 x 2 x 6+3=7-4 5(y/2+y/3)2=2+2/+1)-(而故答案为：Jn+1-五;(3)原 工。=(返-1 +6一应+4一6+.+,2021 j2020)(j2021+1)=(72021-1)(72021+1)=(12021)2-1=2021-1=2 0 2 0.【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的方法，明确平方差公式的结构特点.W 71 3.(1)1；(2)5；(3)I；
42、(4)1 6 6;(5)-一；(6):班7 2【分析】(I)先利用二次根式的性质化简，然后进行约分即可得到答案；(2)先利用二次根式的性质化简，然后进行约分即可得到答案；(3)利用平方差公式求解即可；(4)先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可得到答案：(5)先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可得到答案；(6)先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可得到答案.【详解】解：(1)回 一22 6+1、=-/=-23小、飞=3-2=1;L)-2 6+3右5 5;(3)(石+/)(地一夜)亭 +2 -1 0=3-2=1;(4)2 7 1 2+3 7 4 8=46+1
43、 2G=1 6 5/3 ：(5)+y/2 8-y/700“尹：(6)y/32-3J+y/2=4艰 一 逑+近2苧【点拨】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握利用二次根式的性质化简.1 4.(1)6 7 6 ；(2)1：(3)6 +2有；(4)4；(5)5；(6)5.【分析】(1)根据二次根式的乘法运算法则进行计算；(2)根据二次根式的乘法运算法则进行计算；(3)利用完全平方公式进行计算；(4)利用平方差公式进行计算；(5)根据二次根式的乘法运算法则进行计算；(6)根据二次根式的除法运算法则进行计算；【详解】解：(1)3x 2-7 3 =3 x 2 x
44、 7 2 x 3=6 5/6 !(2)7 1 2 x 7 3-5 =7 1 2 x 3-5 =-5=6-5 =1 ；(3)即+1=(司+2君+/=5 +2乔+1 =6 +2 6；(4)(713+3)(VB-3)=(A3)2-32=13-9=4;(5)V 12-x=V 1 2 x -J 1 x =6-5/r =6-l =5 ；(6)半+半=+百=2 +3 =5.【点拨】本题考查二次根式的乘除法，理 解：次根式的性质，掌握二次根式乘除运算法则是解题关键.31 01 5.(1)|；(2)2#;(3)币-1；(4)1 3-4 6 (5)1 0；(6)1；(7)-2。(8)-.【分析】（1）直接利用二次
45、根式的乘法法则计算即可；（2）直接利用二次根式的乘除法法则计算即可;（3）直接利用平方差公式计算即可；（4）直接利用完全平方公式计算即可；（5）利用乘法分配律计算即可；（6）直接利用二次根式的混合运算计算即可；（7）利用二次根式的减法法则计算即可；（8）利用乘法分配律计算即可；(3)(1 +(2-7 5)=2-6+2 6-3 =6-1；(4)(2 6-1)2 =1 2-4 5 +1 =1 3-4 6；(5)x /3=V2 7 x 3 +J p 3 =9+1 =1 0“、旧-疵 36-26 6,(6)厂1二1厂 二 用 口；(7)3痒后=3退-5退=-2 6；窿 一 芈 x2G逑x 2 a一 逑
46、x 2应=一9(丫2 3 J 2 3 3【点拨】本题考查/二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键.1 6.(I)-/6 ；(2)y/2；(3)V2 ；(4)+3A/T T6 4 6 2【分析】(1)根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案；(2)根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案；(3)根据二次根式除法和加减法运算的性质计算，即可得到答案；(4)根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案.【详解】(2)炳-&+A =/-/?7 +后=3应-2 /?+；应 =：/I；=后 地 _6+6=J 2
47、 4+3 -J；3(4)十 回-屈信+标-同=*氏3而-3点2=立+3布.2【点拨】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、二次根式混合运算的性质，从而完成求解.1 7.(I)空；一？后+亚；(3)7 3；(4)逑+4有.7 5 6 3 2【分析】(1)先由二次根式的性质进行化简，然后再计算减法运算即可；(2)先由二次根式的性质进行化简，然后再计算减法运算即可；(3)先由二次根式的性质进行化简，然后再计算乘法运算即可；(4)先由二次根式的性质进行化简，然后再计算加减法运算即可.【详解】解:国-J二2一 平(4)杉+=咚+6小-26=逑 +4 32【点拨】本题考查了二次根式的
48、性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则,正确的进行化简.1 8.(I)巫；(2):右；(3)1 0：(4)7。+2五.1 0 3【分析】(1)先根据二次根式的性质分母有理化，再相减即可；(2)先根据二次根式的性质化简，再加减；(3)先根据二次根式的性质化简，再利用乘法分配律展开，再计算乘法即可;(4)先根据二次根式的性质化简，再相加减即可.【详解】(，)那 悠=匹一叵V 52 V1 02=海4加,(2)y/1 2-y/3 +.l3=2石 _6+163=衿(3)屈-Jgx瓜,12应)x 2近,=3氏2近&2 0,2=1 2-2,=1 0；(4)2屏+通-厉，=1 0 7 3 +2 7
49、 2-3.7 3 ,=7 6+2形.【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化的方法，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.1 9.(1)3；(2)-、：(3)小；(4)6 五+4赤；(5)5 +2 而；(6)分式方程无解.a-2【分析】(1)利用同分母分式的加减法计算即可；(2)原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；(3)分别对绝时值、立方根、二次根式进行运算即可；(4)先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果；(5)利用完全平方公式和二次根式的乘法则计算，再合并即可得到结果；(6)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程
50、的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】解：用 丁 当a-b a-b3a-3ba-b=3；,2 1 a2+6 a+9 a+3(2)l-+-a-4 a+2I (a+3户 a+2(a+2)(a-2)+3i Q+3=1-a-2_ a-2 a+3a-2 a-2_ a-2-a 3a-2-5-.a-2 ,(3)/1 2 +/8+1 2 1=2 +-2+2-上=6(4)2屈+3+炳=6 应+3 x 且+3 63=6忘+6+3退=6 2 +46；(5)(点-石f+*x 2 6=2 +3-2#+2 旧=5-2#+4#=5 +2-7 6 ：(6)B 1+T去分母得：x-3+x-2=-l,移项合并得：2