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1、6.4.36.4.3 余弦定理、正弦定理教案余弦定理、正弦定理教案第第 3 3 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】【教学目标与核心素养】课程目标课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符
2、号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解【教学重点和难点】【教学重点和难点】重点：重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】【教学过程】一、情景导入一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘
3、的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课阅读课本 48-51 页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究三、新知探究1、实际测量中的有关
4、名称、术语名称基线定义在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与仰角水平线的夹角图示在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线俯角的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于 90)方从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转位过的水平角角四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三题型一题型一测量高度问题测量高度问题例例 1 1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进 15.2 m
5、，到达B点，测得泉标顶部仰角为80.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到 1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根据正弦定理，ABABsin 6015.2sin 60.BD38.5(m)sin 60sinADBsin 20sin 20在 RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一
6、铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用跟踪训练一跟踪训练一1、乙两楼相距 200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是多少？400 3【答案】甲楼高为 200 3 m，乙楼高为 m.3【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高BD在ABC中，BC200tan 60200 3，AC200sin 30400，由题意可知ACDDAC30，ACD为等腰三角形122222222由余弦定理得ACADCD2ADCDcos 120，
7、400 ADAD2AD3AD，2400400 3400 3AD，AD.故甲楼高为 200 3 m，乙楼高为 m.33322题型二题型二测量角度问题测量角度问题例例 2 2如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3 3)n mile 的两个观测点现位于A点北偏东 45方向、B点北偏西 60方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 60且与B点相距 20 3 n mile 的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？【答案】救援船到达D点需要的时间为 1 h.【解析】由题意，知AB5(3 3)n mile，DBA906030，DAB90
8、4545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，sinDABsinADB即BDmile.又DBCDBAABC60，BC20 3 n mile，BDAB5(33)sin 45ABsinDAB5(33)sin 4510 3 nsinADBsin105sin45 cos60 cos45 sin60在DBC中，由余弦定理，得CDBD2BC22BDBCcosDBC13001 200210 320 3 30 n mile，230则救援船到达D点需要的时间为1 h.30解题技巧：(测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量
9、，需要求哪些量通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解跟踪训练二跟踪训练二1、在海岸A处，发现北偏东 45方向，距离A处(31)n mile 的B处有一艘走私船，在A处北偏西 75的方向，距离A2 n mile 的C处的缉私船奉命以 10 3 n mile 的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.【解析】设缉私船用th 在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10 3t，BD10t，在ABC中，
10、AB 31，AC2，BAC120，由余弦定理，得BCABAC2ABACcosBAC(31)2 2(31)2cos 1206，BC 6，且 sinABCsinBAC22222ACBC2632，22ABC45，BC与正北方向成 90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCDBDsinCBD10tsin 1201，CD210 3tBCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.题型三题型三测量距离问题测量距离问题例例 3 3 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，则可求出A，B两点间的距离若测得C
11、A400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长【答案】A，B两点间的距离为 200 7 m.【解析】在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB400 600 2400600cos 60280 000.AB200 7(m)即A，B两点间的距离为 200 7 m.例例 4 4 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_ m
12、.222【答案】20 6.【解析】ABC180754560，所以由正弦定理得，AB，sinCsinBABACACsinC60sin 4520 6(m)sinBsin 60即A，B两点间的距离为 20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出ACb，BCa以及ACB，利用余弦定理得：ABa2b22abcos.(2)两点间可视但不可到达(如图)：可选取与B同侧的点C，测出BCa以及ABC和ACB，先使用内角和定理求出BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两
13、点都不可到达(如图)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CDm，ACB，BCD，ADC，ADB，再在BCD中求出BC，在ADC中求出AC，最后在ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD3 km，ADBCDB30，ACD60，2ACB45，求A，B两点间的距离【答案】A，B两点间的距
14、离为6 km.4【解析】ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC3.在BCD中，DBC45，232DC6由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.sinDBCsin 454在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45 2AB33483623.242866(km)A，B两点间的距离为 km.44五、课堂小结五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计六、板书设计6.4.36.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理第第 3 3 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例概念例 1例 2例 3例 4七、作业七、作业课
15、本 51 页练习，52 页习题 6.4 中剩余题.【教学反思】【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。6.4.36.4.3 余弦定理、正弦定理导学案余弦定理、正弦定理导学案第第 3 3 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例【学习目标】【学习目标】知识目标知识目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学
16、习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.核心素养核心素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解【学习重点】【学习重点】：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；【学习难点】【学习难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图.【学习过程】【学习过程】一、预习导入阅读课本 48-51 页，填写。1、实际测量中的有
17、关名称、术语名称基线定义图示在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线在同一铅垂平面内，视线在水平线方时与水仰角平线的夹角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线俯角的夹角方从指定方向线到的水平角(指定方向线向是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)角方从正北的方向线按时针到目标方向线所转过位的水平角角小试牛刀1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边 ()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得 ()(3)方位角和方向角是一样的 ()2若P在Q的北偏东 4450方向上，则Q在P的 ()A东偏北 4510方向上B东偏北 4550方向上
18、C南偏西 4450方向上D西偏南 4550方向上3 从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为（）ABC90D1804.如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB3 km，B45，C30，则A，C两地的距离为_km.【自主探究】【自主探究】题型一题型一测量高度问题测量高度问题例例 1 1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为 60，他又沿着泉标底部方向前进 15.2 m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到 1 m)跟踪训练一
19、跟踪训练一1、乙两楼相距 200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是多少？题型二题型二测量角度问题测量角度问题例例 2 2如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3 3)n mile 的两个观测点现位于A点北偏东 45方向、B点北偏西 60方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 60且与B点相距 20 3 n mile 的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？跟踪训练二跟踪训练二1、在海岸A处，发现北偏东 45方向，距离A处(31)n mile 的B处有一艘走私船，在A处北
20、偏西 75的方向，距离A2 n mile 的C处的缉私船奉命以 10 3 n mile 的速度追截走私船此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从B处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？题型三题型三测量距离问题测量距离问题例例 3 3 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，则可求出A，B两点间的距离若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长例例 4 4 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选
21、定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_ m.跟踪训练三跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD3 km，ADBCDB30，ACD60，2ACB45，求A，B两点间的距离【达标检测】【达标检测】1已知A，B两地的距离为 1
22、0 km，B，C两地的距离为 20 km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为()A10 kmC10 5 kmB.3 kmD10 7 km2某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为，在B处测得该水塔顶端D的仰角为，已知ABa,0，则水塔CD的高度为()A.C.2asinsinsinasinsinsinB.D.asinsinsinasinsinsin3如图所示为起重机装置示意图 支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 19 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A30 mB.15 3 m2C15 3 m D45
23、 m4学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为 45，乙同学在B地测得树尖的仰角为 30，量得ABAC10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则ACB_.5如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度答案答案小试牛刀小试牛刀1.(1)(2)(3)2C.3B.4.3 2.自主探究自主探究例例 1 1【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100，故ADB1
24、80(60100)20.在ABD中，根据正弦定理，ABABsin 6015.2sin 60.BD38.5(m)sin 60sinADBsin 20sin 20在 RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.跟踪训练一跟踪训练一400 31、【答案】甲楼高为 200 3 m，乙楼高为 m.3【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高BD在ABC中，BC200tan 60200 3，AC200sin 30400，由题意可知ACDDAC30，ACD为等腰三角形122222222由余弦定理得ACADCD2ADCDcos 120，400 ADAD
25、2AD3AD，2400400 3400 3AD，AD.故甲楼高为 200 3 m，乙楼高为 m.33322例例 2 2【答案】救援船到达D点需要的时间为 1 h.【解析】由题意，知AB5(3 3)n mile，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，sinDABsinADB即BDmile.又DBCDBAABC60，BC20 3 n mile，在DBC中，由余弦定理，得BDAB5(33)sin 45ABsinDAB5(33)sin 45103 nsinADBsin105sin45 cos60 cos45 sin60CDBD2BC22BDB
26、CcosDBC13001 200210 320 3 30 n mile，230则救援船到达D点需要的时间为1 h.30跟踪训练二跟踪训练二1、【答案】缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.【解析】设缉私船用th 在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10 3t，BD10t，在ABC中，AB 31，AC2，BAC120，由余弦定理，得BCABAC2ABACcosBAC(31)2 2(31)2cos 1206，BC 6，且 sinABCsinBAC22222ACBC2632，22ABC45，BC与正北方向成 90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCDBDsinCBD10t
27、sin 1201，CD210 3tBCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.例例 3 3【答案】A，B两点间的距离为 200 7 m.【解析】在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB400 600 2400600cos 60280 000.AB200 7(m)即A，B两点间的距离为 200 7 m.例例 4 4【答案】20 6.【解析】ABC180754560，所以由正弦定理得，AB，sinCsinB222ABACACsinC60sin 4520 6(m)sinBsin 60即A，B两点间的距离为 20 6 m.跟踪训练三跟踪训练三1.【答案】A，B两
28、点间的距离为6 km.4【解析】ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC3.在BCD中，DBC45，232DC6由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.sinDBCsin 454在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45 2AB33483623.242866(km)A，B两点间的距离为 km.44当堂检测当堂检测1-3.DAB4.305【答案】电视塔的高为40 m.【解析】设电视塔AB的高为x，则在 RtABC中，由ACB45，得BCx.在 RtADB中，ADB30，BD 3x.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120，即(
29、3x)x40 2x40cos120，解得x40，所以电视塔的高为 40 m.6.4.36.4.3 余弦定理、正弦定理课后作业余弦定理、正弦定理课后作业第第 3 3 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例基础巩固基础巩固1若点P在点Q的北偏东4455方向上，则点Q在点P的（）A东偏北4510方向上C南偏西4455方向上B北偏东4550方向上D西偏南4450方向上2222若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且AC BC，则点A在点B的（）A北偏东15方向上B北偏西15方向上C北偏东10方向上D北偏西10方向上3如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车
30、，需要测量两山顶间的距离.已知山高AB 1km，CD 3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，AEC 150，则两山顶A，C之间的距离为()A2 7kmB3 3kmC4 2kmD3 5km4一海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是()A103海里B102海里C203海里D202海里5如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得ACB 45，再沿AC方向前行203 1米到达D点，测得
31、ADB30，则塔高为（）A40 3米B20 3米C40 米D20 米6已知甲船位于小岛A的南偏西30的B处，乙船位于小岛A处，AB 20千米，甲船沿同时乙船以每小时 8 千米的速度沿正东方向匀速行BA的方向以每小时 6 千米的速度行驶，驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_小时7如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD 75，并在点C测得塔顶A的仰角为30，BDC 45，CD 50 2米，则塔高AB _米.8已知海岛在海岛北偏东，相距20海里，物体甲从海岛沿着海岛北偏西以海里/小时方向以海里/小的速度沿直线向海岛时的速度移动移动，同时物体
32、乙从海岛（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离能力提升能力提升9如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km 的 C，D两点，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D 在同一平面内)，则两目标 A，B 间的距离为()km.A8 53B4 153C2 153D2510如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点可以观察到点A、C；找到一个点E，从点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD 2，CE 2 3，D 4
33、5，ACD105，则A、B两点之间的距离为_（其ACB 48.19，BCE 75，E 60，中cos48.19取近似值2）311如图，已知在东西走向上有AM,BN两座发射塔，且AM 100m，BN 200m，一辆测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了100 3m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为，且BQA，经计算，tan 2，求两发射塔顶A,B之间的距离.素养达成素养达成12国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时，就会被警告.如图，设A，B是海岸线上距离s海里的两个观察站，满足s 3d，一艘外轮在P点满足
34、BAP，ABP.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？2（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？36.4.36.4.3 余弦定理、正弦定理课后作业答案解析余弦定理、正弦定理课后作业答案解析第第 3 3 课时课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例基础巩固基础巩固1若点P在点Q的北偏东4455方向上，则点Q在点P的（）A东偏北4510方向上C南偏西4455方向上【答案】C【解析】如图所示,点Q在点P的南偏西4455方向上.B北偏东4550方向上D西偏南4450方向上故选：C2若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且
35、AC BC，则点A在点B的（）A北偏东15方向上C北偏东10方向上【答案】BB北偏西15方向上D北偏西10方向上【解析】如图所示,ACB90.又AC BC,CBA 45.30,90 45 3015.点A在点B的北偏西15方向上.故选：B3如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高AB 1km，CD 3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，AEC 150，则两山顶A，C之间的距离为()A2 7kmB3 3kmC4 2kmD3 5km【答案】A【解析】AB 1，CD 3，AEB 30，CED 60，AEC 150，AE 2AB 2，CE CD
36、3 2 3；sin6032ACE 中，由余弦定理得3AC2 AE2CE22 AECEcosAEC 412222 32 28，AC 2 7；即两山顶A，C之间的距离为2 7km故选A4一海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是()A103海里【答案】B【解析】根据已知条件可知ABC中，AB20，BAC30，ABC105，所以C45，B102海里C203海里D202海里由正弦定理，有BC20，所以BCsin30sin452022
37、12102.故选 B.5如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得ACB 45，再沿AC方向前行203 1米到达D点，测得ADB30，则塔高为（）A40 3米【答案】DB20 3米C40 米D20 米【解析】RtABC 中,设AB x,则由ACB 45可知AC x,在RtABD中,AD x203 1,ADB 30,所以xx203 1 tan30,x20 x3 13,解得x20.则塔高为 20 米.故选：D.6已知甲船位于小岛A的南偏西30的B处，乙船位于小岛A处，AB 20千米，甲船沿同时乙船以每小时 8 千米的速度沿正东方向匀速行BA的方向以每小时 6 千米的速度行驶，驶，
38、当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_小时【答案】1013【解析】如图，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为t(t 0)小时，此时甲船位于C处，乙船位于D处，则AC 206t，AD8t，由余弦定理可得：CD (20 6t)(8t)2(20 6t)8tcos120 52t280t 400=222052(t 10248001010)，故当t 时CD取最小值，故答案为131313137如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD 75，并在点C测得塔顶A的仰角为30，BDC 45，CD 50 2米，则塔高AB _米.【答案】1003【解析】因为BC
39、D 75，BDC 45，所以CBD 60，在BCD 中，根据正弦定理可知CDBC，sinCBDsinBDC10050 2BCBC 即，解得，3sin60sin45在直角ABC 中，tan30 AB，BCAB 1003100，333100100(米)故答案为.33北偏东，相距20海里，物体甲从海岛沿着海岛北偏西以海里/小时方向以海里/小所以塔高AB 8已知海岛在海岛的速度沿直线向海岛时的速度移动移动，同时物体乙从海岛（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离【答案】（1）2010 3小时；（2）20 21海里7【解析】（1）设经过t(
40、0 t 5)小时，物体甲在物体乙的正东方向 如图所示，物体甲与海岛A的距离为AE 102t海里，物体乙与海岛A距离为AF 4t海里，EAF 60,AFE 75,AEF 45，AEF中，由正弦定理得：则t 2010 3AEAF202t4t，即，sinAFEsinAEFsin75sin45（2）由（1）题设，AE 202t，AF 4t，由余弦定理得：EF2 AE2 AF22AE AF cosEAF1(202t)2(4t)22(202t)4t2 28t2160t 400,0t 5，当t 2020 21时，EFmin海里77能力提升能力提升9如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边
41、取相距4km 的 C，D两点，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D 在同一平面内)，则两目标 A，B 间的距离为()km.A8 53B4 153C2 153D25【答案】B【解析】由已知，ACD中，CAD30，ACD120，CDAD，sinCADsinACDCDsinACD4?sin120 4 3，所以AD sinCADsin30由正弦定理，在BCD中，CBD60，CDBD，sinCBDsinBCDCDsinBCD4sin4546，所以BD sinCBDsin603由正弦定理，ADB 在ABD中，由余弦定理，AB AD BD 2AD?BD22280，解得：3AB
42、4 1534 15.3所以A与B的距离AB 故选 B10如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点可以观察到点A、C；找到一个点E，从点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD 2，CE 2 3，D 45，ACD105，则A、B两点之间的距离为_（其ACB 48.19，BCE 75，E 60，中cos48.19取近似值2）3【答案】AB10【解析】由题意知,在ACD 中,A30.由正弦定理得AC CDsin45 2 2.sin30CEsin60 3 2.sin45在BCE 中,CBE 45,由正弦定理得BC 在ABC 中,由余
43、弦定理得AB2 AC2 BC2 2ACBCcosACB 10，AB 10.11如图，已知在东西走向上有AM,BN两座发射塔，且AM 100m，BN 200m，一辆测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了100 3m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为，且BQA，经计算，tan 2，求两发射塔顶A,B之间的距离.【答案】100 5m.【解析】在 RtAMP 中，APM 30，AM 100m，PM 100 3m，连接QM，在PQM 中，QPM 60，又PQ 100 3m，PQM 为等边三角形，QM 100 3m，在 RtAMQ 中，由AQ
44、 AM QM，得AQ 200m，在 RtBNQ 中，tan 2，BN 200m，QN 100m，BQ 100 5m，cos222225，52在BQA 中，由余弦定理得BA BQ AQ 2BQ AQcos，BA 100 5m，两发射塔顶A,B之间的距离是100 5m素养达成素养达成12国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时，就会被警告.如图，设A，B是海岸线上距离s海里的两个观察站，满足s 3d，一艘外轮在P点满足BAP，ABP.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？2（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？3【答案】（1）sin
45、sin3（2）,6 2sin()3【解析】（1）设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里，在ABP中，sinAPBsinsin，ssinBPABBP 由正弦定理得，所以，sinsinPABsinAPB在RtBPQ中，x PQ BPsin BPsinssinsin，sin当x d，即sinsinsind3时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.s32（2）当时，331sinsin2 3 22 3sincossinsinsin322sin332 33122 331cos2sincossinsin243223433，sin2366要使不被警告，则sinsind3333，即，sin2sins33663解得sin2152k 2 2k，所以kZ，62666即k6 k2kZ，又因为0,23，所以.62当,时可以避免使外轮进入被警告区域.62