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1、专题17 统计画 题 呈 现【母题来源】2 0 2 1 年高考乙卷【母题题文】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果一元2 2,五渣，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】X =1 0,y =1 0.3,=0.0 3 6,=0.()4：(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.、-9.8 +1 0.3 +1 0+1 0.2 +9.9 +9.8 +1 0 +1 0.1 +1 0.2 +9.7 1 A 试题解析(1)x =-=
2、1 0,1 0-1 0.1 +1 0.4 +1 0.1 +1 0 +1 0.1 +1 0.3 +1 0.6 +1 0.5 +1 0.4 +1 0.5 y =-=1 0.3 ,1 02 0.22+0.32+0 +0.22+0.12+0.22+0 +0.12+0.22+0.32 八 八“s：=-=0.0 3 6,1 00.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0 +0.32+0.22+0.12+0.221 0=0.0 4.(2)依题意，54=0.3 =2 x 0.1 5 =2向行=2 4 0.0 2 2 5，2 J0-0 30,0 4=2 7 0.0 0 7 6 .y _ 2AgL i，所
3、以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.-V 1 0【命题意图】1.会计算数据的平均数，方差2.考查阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.【命题方向】从近几年高考试题可以看出，本知识点越来越注重对试题的理解以及数学建模能力的考查，综合性强，多为古典概型与频率分布表、茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查.解题的关键是认真读题，读懂题意，才能利用所学数学知识来解决.【得分要点】众数、中位数、平均数、方差、标准差定义（1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数.（2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间
4、位置（或中间两个数的平均数）的数叫做这组数据的中位数.（3）平均数：如 果 个 数 X 2,，即，那么X=,X|+X 2+4）叫做这个数的平均数.（4）一组数据为，X 2,，X,用工表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为5 （七一；）=一？），1=1 1=11.（2021河南高一三模）机床生产一批参考尺寸为6.0/加7?0.3m帆的零件，从中随机抽取10个，量得其尺寸如下表（单位：?）：序号12345678910尺寸6.35.86.25.96.26.05.85.85.96.1(1)求样本零件尺寸的平均值亍与标准差s；(2)估计这批零件尺寸位于(亍-S,了 +S)的百分比.参考数据：取 J I
5、 =1.79.【答案】(1)x=6,5=0.1 79：(2)40%.【分析】(1)由平均数和标准差计算公式可直接计算求得结果；(2)由(1)可求得区间为(5.8 2 1,6.1 79),利用样本估计总体的思想可直接计算得到结果.【详解】(1)由表格数据得：x =(6.3+3 x 5.8+2 x 5.9+2 x 6.2+6.1 +6.0)4-1 0 =6,52=(O B?+3X0.12+5X 0.22+l x 02)1 0 =0.0 3 2 ,.$=V(X0 3 2 =0.1 79;(2)由(1)可知：歹 一 =5.8 2 1,亍+s =6.1 79.这1 0 件样本中，尺寸在(5.8 2 1,
6、6.1 79)内的共有4 件，以样本估计总体，则这批零件尺寸位于(5.8 2 1,6.1 79)的百分比约为 x l O O%=4 0%.2.(2 0 2 1.河南高二月考(理)在 2 0 2 1 年高考体检中，某校随机选取了 2 0 名男生，测得其身高数据如下(单位：c m)序号12345678910身高168167165186ahcd178158序号11121314151617181920号高166178175169172177182169168176由于统计时出现了失误，导致5,6,7,8 号的身高数据丢失，先 用 字 母 表 示，但是已知这4 个人的身高都在(1 60,1 8 2)之间
7、(单位:c m),且这2 0 组身高数据的平均数为元=1 7 2,标准差为s =7.(1)为了更好地研究本校男生的身高数据，决定用这2 0 个数据中在区间(5 2 s,X+2 s)以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差保留两位小数)？(2)使用统计学的观点说明，(5-2 s R +2 s)以内的数据与原数据对比，有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)?(参考公式/二：()2 Z=1【答案】(I)平均数为1 7 2,方差为32.67；(2)答案见解析.【分析】(1)由题先算出(元-2 s,亍+2s)=(158,186),故需剔除158和1 8
8、6,新数据的平均数为：P =p(1 7 2 x2 0-1 5 8-1 8 6),方差为：x20-(158-172)2-(186-172)2,化简计算即可；(2)由新数据样本数占总数据的90%可知，样本数据较集中，平均数无变化，即平均身高无变化，方差变小，即数据更集中，更具代表性【详解】(1)由条件可得区间(无-2s莞+2s)=(158,186),在区间外的数据有158和186.剔除后，剩 余 18个数据，其平均数为：？=力(172x20 158 186)=172,1 O方 差 为-2 4(s22=(72 X 20-1582-1862+1722 X 2)=32.67,18v 18(2)(万一2s
9、,三+2 s)以内的数据与原数据对比，有以下特点:(亍-2s1+2s)以内的数据的的占总数据个数的90%,说明该校90%左右的男生身高都在区间(158,186)以内；(无-2 s,亍+2 s)以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化;原数据的方差为4 9,而 口-2s*+2 s)以内的数据的方差约为32.67,方差变小了，说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性.3.(2021全国高一课时练习)某校医务室抽查了高一 10位同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求 这 10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标
10、准差；(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差.【答案】(1)平均数71、中位数71.5、方 差 11、标准差&1；(2)平均数为7 1,中位数为71.5,方差为1 1,标准差 为 而.【分析】(I)根据平均数、中位数、方差、标准差的计算公式即可求解.(2)由(1)计算的数据即可得出结果.【详解】解：(1)这 1 0 个学生体重数据的平均数为x =x(74+71 +72+68+76+73+67+70+65+74)=71.这 1 0 个学生体重数据从小到大依次为6 5,6 7,6 8,7 0,7 1,7 2,7 3,7 4,7 4,7 6,7 1+7 2位于中间的两个数是7
11、1,7 2,.这 10个学生体重数据的中位数为-=7 1.5.2这 10个学生体重数据的方差为s 2=/-x (7 4 7 1产+(7 1 7 17+(7 27 1y+(6 8 7 1尸+(7 6 7 1+(7 3 7 1户+(6 7 7 1户+(7 07 1)2+(6 5 7 1产+(7 4 7 1)2 =,这 i o 个学生体重数据的标准差为s=(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为7 1,中位数为7 1.5,方差为11,标准差 为 加.4.(2021合肥一六八中学高三其他模拟(理)2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调
12、查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到6 0条鱼，共 105 k g,称重后计算得出这6 0条鱼质量(单位k g)的平方和为200.4 1,下午进行第二次捕捞，捕捞到4 0 条鱼，共 6 6 k g.称重后计算得出这4 0条鱼质量(单位 k g)的平方和为117.(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数I和方差5 2；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布用I作为的估计值，用S 2作为川的估计值.随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在 1.21,3.21 的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了 1(X)0条鱼，若从
13、该鱼塘随机捕捞，记J为捕捞的鱼的质量在口,21,3.21 的条数，利 用(2)的结果，求J的数学期望.附：(1)数 据 小 2,4的方差卡=那)三序(2)若 随 机 变 量X服从正态分布则P(一SWX 4+5)=0.6 8 27；P(/-2S W X W M+26)=0.9 5 4 5 ；-3 6 W X W 4 +3 3)=0.9 9 7 3.【答 案】(1)三=1.7 1,？=0.25：(2)0.8 4；(3 )8 4 0.【分 析】(1)根据题目中的数据先求出平均数,再结合给出的方差公式5 2可求得方差.(2)根 据 题 意 可 得X N(1.7 1,0.25),则 P(1.21 X 3
14、.21)=P f.i-3X W/+3 S),根据题目给出的数 据，结合正态分布曲线的性质可得答案.(3)由可得鱼的质量在 1,21,3.21的概率为0.8 4，则。5(1000,0.8 4),由二项分布的数学期望公式可得答案.【详 解】的,105 +6 6 2 200.4 1+117 2解：(1)z=-=1.71,s=-1.71=0.25.6 0+4 0 100 该 鱼 塘 鱼 质 量 满 足XN(2),其 中 =1.7 1,*=0 2 5,即X N(1.7 1,0.25)则 于(_84*0)=0.6；2 7,P(OX +3 3)=TP(1.21W X 3.21)=P(4-5 W X K +3
15、 5).=p(SWX0)+P(0 X 痴=10.8-1.6x 5.5 =2,所以回归直线为y =1.6r+2；(2)由(1)值，2 =1.6 0,故 2 0 10-2 0 19年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，令 1.61+2 =34,解得f =2 0，故预测我国产业差值在2 0 2 9约为3 4 万亿元；（3）结合折线图，2 0 14 年产业差值为10.8万亿元，除去2 0 14 年（1=5时）产业差值外的9 年的产业差值的平均值为工x（10 x l 0.8 10.8）=10.8.乂 次（X 一 亍 丫 =2 11.6，故除去2 0 14 年（/=5 时）产业差值外的9 年的
16、产业差值的方差为耳 2 11.6-（10.8-I O S 7 卜 2 3.5 .6.（2 0 2 1.河南南阳市.高一月考）某地区拟举办汉字听写大赛，某校为了选拔优秀的学生参加比赛，在本校举行了3次汉字听写大赛，其中甲、乙两位同学的成绩最优异，由甲、乙两位同学的成绩绘制的茎叶图如图所示.已知甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数.甲7 8x 6 9乙91 3（1）求的值;（2）若要从甲、乙中选择一名同学参加该地区举办的汉字听写大赛，试从统计学的角度分析，选哪位同学比较合适.【答案】（1）0;（2）乙同学比较合适.【分析】（1）由乙的中位数为9 1,甲的中位数（9（）+x）小于91得解；（2）计算甲乙
17、二人三次成绩的平均数、方差等特征数据，再分析选择.【详解】（1）由茎叶图可知，乙同学成绩的中位数为91.乂由茎叶图可得甲同学成绩的中位数大于或等于90,旦甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数，所以甲同学成绩的中位数只能为9 0,故x =0.(2)甲同学成绩的平均数为g x (87+90 +96)=91,乙同学成绩的平均数为g x(89+91+93)=91,所以甲、乙成绩的平均数相等.甲同学成绩的方差 s：=g x (879iy+(90 91)2+(96-91 =14,乙同学成绩的方差 s”；x (89 9iy+(919iy+(91 93)2 =|,所以乙同学的成绩更稳定，选乙同学比较合适.7.(2
18、 02 1 全国高三专题练习)若甲、乙两台机床同时加工直径为1 0 0 m m 的零件，为了检验产品的质量，从产品中随机抽取6件进行测量，测得数据如下：(单位：m m)：甲：9 9,1 00,1 00,9 8,1 00,1 03；乙：9 9,1 00,1 02,9 9,1 00,1 00.通过计算，请你说明哪一台机床加工的零件更符合要求.【答案】乙机床加工的零件更符合要求.【分析】计算平均数以及方差，利用方差的性质进行判断.【详解】_ 9 9 +1 00+9 8 +1 00+1 00+1 03 ,9 9 +1 00+1 02+9 9 +1 00+1 00%=-=1 00,&二-二 1 0016
19、乙6吊=1X(99-100)2+3X(100-100)2+(98-100)2+(103-100)2=15=1X2X(99-100)2+3X(100-100)2+(102-100)2=1说明甲机床加工的零件波动比较大.故乙机床加工的零件更符合要求.8.(2 02 1 山东高三二模)2 02 0年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到6 0条鱼，共 1 05 k g，称重后计算得出这6 0 条鱼质量(单位k g)的平方和为2 00.4 1,下午进行第二次捕捞，捕捞
20、到4 0 条鱼，共 6 6 k g.称重后计算得出这4 0 条鱼质量(单位k g)的平方和为1 1 7.(1)请根据以上信息，求所捕捞1 00条鱼儿质量的平均数)和方差S 2;（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X服从正态分布N（,b 2）,用作为的估计值，用/作为的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在 1.2 1,2.7 1 的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了 5 000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记J为捕捞的鱼儿质量在 L2 1,2.7 1 的条数，利 用（2）的结果，求4 的数学期望.i _ 2 1(J附：(1)数据,工2，乙的方差=二”)V n i=l 3=1-2-n
21、t,（2）若随机变量X服从正态分布则 P(-bX K +b)=0.6 8 2 7；Pfj-2 c r X /+2T)=0.9 5 4 5 ；-3 b X +3 c r)=0.9 9 7 3.【答案】(1)z =1,7 1，$2=0 2 5；(2)0.8 1 8 6；(3)4 09 3.【分析】（1）利用平均数及方差公式直接得解;（2）由题知XN（1.7 1,0.2 5）,结合参考数据即可得解;（3）利用二项分布期望公式直接得解.【详解】(I):z =-1-0-5-+-6-6 =1.7 1,s 2 =-2-0-0-.-4-1-+-1-1-7-1.7 1 2=0.2 5.6 0+4 0 1 00
22、该 鱼 塘 鱼 儿 质 量X N(,c r2),其中=1.7 1,C T2=0.2 5.所以 P(L2 1 KX W 2.7 1)=P(一b W X K +2 b).一 c r X W +b)+P 卬-2(yX/Li+2 c r)0.6 8 2 7 +0.9 5 4 5 O1O.-=-=O.o l o o22(3)由题意可知7 5(5 0 0 0,0.8 1 8 6),所以自的数学期望为七（4）=5 0 0 0 x 0.8 1 8 6 =4 0 9 3.【点睛】关键点点睛：本题考查平均数与方差的计算，考查正态分布及二项分布的应用，数学二项分布X B（n,p）,则石（x）=p是解题的关键，考查学
23、生的计算能力，属于一般题.9.（2 0 2 1江苏高一课时练习）某校医务室随机抽查了高一 1 0位男同学的体重（单位：k g）如下:7 4,7 1,7 2,6 8,7 6,7 3,6 7,7 0,6 5,7 4.(1)估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；(2)高一 1 0 位男同学的体重数据中，位于G s,嚏+s 内的有几个？所占的百分比是多少？【答案】(1)答案见解析：(2)7个，7 0%.【分析】(1)直接利用平均数公式计算平均数，对 这 1 0 个数排列，位中间的两个数的平均数为中位数，利用方差公式宜接求方差，方差的算术平方根为标准差；(2)由(1)可 知/T，+S
24、 =7 1-J T T,7 1 +J T i ,从而可求得结果【详解】-1(1)这 1 0 位男同学的体重数据的平均数x=x(7 4+7 1+7 2+6 8+7 6+7 3+6 7+7 0+6 5+7 4)=7 1.将 这 1 0 位男同学的体重数据按从小到大重新排列，得 6 5,6 7,6 8,7 0,7 1,7 2,7 3,7 4,7 4,7 6,位于中间的两个数是7 1,7 2,7 1+7 2 1所以这1 0 位男同学的体重数据的中位数为-=7 1.5 ，这 1 0 位男同学的体重数据的方差s2=x(7 42 107 1)2+(7 1-7 1)2+(7 2 7 1 )2+(6 8-7 1
25、)2+(7 6-7 1)2+(7 3-7 1)2+(6 7-7 1)2+(7 0-7 1)2+(6 5-7 1)2+(7 4-7 12)J =1 I,标准差S =J =J T T(2)因为丘一s，+s =7 1 而,7 1 +疝,所以数据7 4,7 1,7 2,6 8,7 6,7 3,6 7,7 0,6 5,7 4 中，有 7个数据位于区间 7 1-而,7 1 +而 内，所占的百分比为7 0%.1 0.(2 0 2 1 江苏高一课时练习)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为5 0,其平均年龄为3 8岁，方差是2,高级职称的教师中有3人 5 8 岁，5人 4 0 岁，2人 3 8 岁，
26、求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.【答案】平均数为3 9.2 岁，方差为2 0.6 4【分析】首先计算高级职称教师的平均年龄和年龄的方差，再利用公式分别的平均数和方差公式计算总的平均数和方差.【详解】由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为元南=3 x 5 8+5 x 4 0+2 x 3 83+5+2=4 5(岁),年龄的方差为=：X3X(58-45)2+5X(40-45)2+2X(38-45)2=7 3,所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为5010 x=-X38H-50+10 50+10 x4 5=3 9.2(岁),该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2=5 X2+(
27、3839.2)2+1 0 x 7 3 +(4 5-3 9.2)2J50+10 50+10=2 0.6 4.1 1.（2 0 2 1 江苏高一课时练习）某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔3 0 分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下（单位：k g）：甲：1 0 2 1 0 1 9 9 9 8 1 0 3 9 8 9 9乙：1 1 0 1 1 5 9 0 8 5 7 5 1 1 5 1 1 0试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.【答案】甲车间的平均数为1 0 0,方差为之，乙车间的平均数为1 0 0,方差为幽，甲车间产品比较稳77
28、定.【分析】分别计算甲、乙车间的平均数和方差即可得到答案.【详解】乙的平均数各110+115+90+85+75+115+1107100,乙的方差为$2?=；(1 1 0 T 0 0+(1 1 5 -1 0 0)2+(9 0 1 0 0)2+(8 5-1 0 0+(7 5-1 0 0)2+(1 1 5-1 0 0)2+(1 1 0-1 0 0)2 =).因为用=耳，S ，所以。1,3 3所以。的可取值有：2,3,4,5,6,7,8,9,共8 个数，又因为a e 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,集合中共有10个元素,2 4所以 P（A）=1 3 =M（/）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同
29、学数学成绩的方差.（理由如下：因为漏88+92+92 272 90+91+93 274-=-=，所以33 33 3,l,32 14因为一 一9 9所以S 5)1 5.（2 0 2 1 宁夏银川市 贺兰县景博中学高二期末（文）某化肥厂甲、乙两个车间负责包装肥料，在自动包装传送带上每隔3 0 秒抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：1 0 2,1 1 1,8 9,9 8,1 0 3,9 8,9 9；乙：1 0 4,1 1 1,8 7,1 0 0,9 9,9 8,1 0 1.（I）这种抽样方法是那种抽样方法？（2）用茎叶图表示这两组数据；（3）计算这两组数据的平均数和方差，说明那个车间的
30、产品比较稳定.【答案】（1）系统抽样；（2）茎叶图答案见解析；（3）甲、乙两组数据的平均数分别为：=100,E=1（X）,甲、乙两组数据的方差分别是：S；=竿，S；=券，甲比乙较稳定.【分析】（1）根据系统抽样的特点进行判断即可；（2）用茎叶图直接表示即可；（3）用平均数和方差的定义进行运算，根据方差的意义进行判断即可.【详解】解：（1）根据系统抽样的特点是从比较多且均衡的个体中抽取一定的样本，该样本的抽取方法是系统抽样；（2）把甲乙两组数据用茎叶图表示如图所示：甲乙(3)甲组数据的平均数是=g x(89+98+98+99+102+103+111)=100.1乙组数据的平均数是 X 2=,X(87+98+99+100+101+104+111)=100；甲组数据的方差是S；=3(89-100)2+(98-100)2+(98-100)2+(99-100)2+(102-100)2+(103-100)2+(111-100)2264=-,7乙组数据的方差是 S；=gx(87 100)2+(98 100)2+(99-100)2+(100-100)2+(101-100)2+(104-100)2+(111-100)2312=；甲比乙较稳定.7