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1、专题1 1空间几何体考 情 解 读1.以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2.以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等.3.几何体的三视图与表（侧）面积、体积计算结合；重 点 知 识 梳 理1.柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱有两个面互相平行（底面可以是任意多边形）；其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥有一个面是多边形（底面）；其余各面是有公共顶点的三角形.棱台
2、底面互相平行；所有侧棱延长后交于一点（即原棱锥的顶点）圆柱有两个互相平行的圆面（底面）；有一个侧面是曲面（母线绕轴旋转一周形成的），且母线与底面垂直圆台底面互相平行；有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球有一个曲面是球面；有一个球心和一条半径长R.球是一个几何体（包括内部），可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V板 柱=S（5 为底面积，为高）S棱 柱=2 S 底 面+S 恻 曲棱锥1V梭 锥=S（S 为底面积，为高）S 棱 惟=S 底 而+S 侧 面棱台“马（S+每+）（5、S 为底面积，。为高）S枝 台=5
3、 上底+S下 底+S恻 面圆柱V 圆柱=7T h（r 为底面半径，h 为高）S 圆柱=2兀日+2兀 r2（r 为底面半径，1为母线长）圆锥V 圆锥=1兀 自 10为底面半径，h 为高）S 圆锥=兀日+兀1*2（1 为底面半径，1为母线长）圆台V 圆台=?兀 h（/+r f+产）（、-为底面半径，h 为高）s 圆台=兀0*+/）1+兀/+兀/球4V 球=1兀R3（R为球的半径）S 球=47tR2（R 为球的半径）3.空间几何体的三视图和直观图（1）空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正
4、、高平齐、宽相等（2）空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法.用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45。（或135）,平行长不变,垂直长减半4.几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【误区警示】1 .识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线.2.注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算.要弄清增加和减少的部分.3.展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系.高 频 考 点 突 破高 频
5、 考 点 一 三 视图、直观图例 1.（2 0 1 8年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为侧（左）视图A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P-A B C D,在四棱锥P-A BCD中，PD=2,A D=2,CD=2,A B=1,由勾股定理可知：PA =2 ,PC=2 ,PB=3,BC=6 则在四棱锥中，直角三角形有：PA D,A PCD,A PA B共三个，故选C【变式探究】【2 0 1 7课 标 1】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的
6、各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面枳之和为A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2x（2+4）x2xg=1 2,故选B.【变式探究】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）【答案】C24万(C)28乃(D)32万【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为S=2兀24=16兀，圆锥的侧面积为邑=冗24=8兀，圆柱的底面面积为5=兀-22=4兀，故该几何体的表面积为S=H+S?+3=28兀，故选C.【变式探究】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表
7、面积是（）正(主)视 图侧(左)视 图俯视图A.2+小 B.4+5 C.2+2小 D.5【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过。作交 B C 于 E,连接A E,则 BC=2,EC=1,A D=f ED=2,CS 表=SCo+(S“C+SaA8D 1 1 r 1 r i r r+S“BC=2X2x2+2Xq5xl+2xq5xl+2X2x75=2+245.【答案】c高频考点二几何体的表面积例 2.(2019高考全国卷HI)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCO-AIBIG G挖去四棱锥O-E FG H 后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H 分别
8、为所在棱的中点，AB=BC=6cm,441=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cn/.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_ _ _ _ _ _ _ g.【解析】由题易得长方体A B C D-A Q D i的体积为6x6x4=144(cm3),四边形E F G H为平行四边形，如图所示，连接GE,H F,易知四边形EFG”的面积为矩形8CG所面积的一半，即 x6x4=I2(cn?),所以V3x3x 12=12(cm3),所以该模型的体积为144-12=132(cm,所以制作该模型所需原料的质量为 132x0.9=118.8(g).【答案】118.8【举一反三】（2018高考全国
9、卷II）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为W，SA与圆锥底面所成角为45。.若ASAB的面积为5匹，则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.1【解析】如图所示，设 S 在底面的射影为S,连接AS,SS.AS48的面积为了SA S8sin/4S8=2-SA2-yj 1 -co s2ZA5B=iP-SA2=5y75,所以副2=80,54=4小.因为 SA 与底面所成的角为 45。，所以/巫 ISAS=45。，忐=5490$45。=4 4*与=2回.所以底面周长/=2TTAS，=45 M 所以圆锥的侧面积为办4小x4-/7O7r=4（）/5 兀【答案】4 0 6 兀【变式探究】（1）已知
10、某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）正视图 侧视图俯视图A.20+2小 B.18+2小C.18+小 D.20+小（2）己知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（）C.2 D.4【解析】(1)如图所示，是棱长为2的正方体，根据三视图，还原几何体的直观图为图中多面体AB 8-4C B,其表面积为S,+S 正方形人皿4+S 正方形ocm+SAABA1+SA1C1DI+亚厂SA/+SA.=4+4+4+2+2+2+4、8=1 8+2 仍，故选 B.oCC|A25C(2)由三视图知，该几何体为圆锥挖掉%圆台后剩余部分，其表面积S&=Z 兀
11、1 2+方 11 (_ (l+2)x 小 3 97t +x 4 x 2 兀 x 1 J x 2+2 x 2=+3 审.故选 A.【答案】B(2)A【变式探究】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()俯视图A.3 7t B.4 7t C.2 兀+4 D.3 无+4【解析】由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1,高为2,则表面积为:1、1S=2 x 勿 x l2+，x 2 兀 x l x 2+2 x 2=兀+2 兀+4=3 兀+4.【答案】D高频考点三几何体的体积例 3.（2 0 1 8年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为4【答案】-3【解析
12、】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形的边长等1 4于&,所以该多面体的体积为2乂-、1 （物 2 =3【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）左视图1A.+兀2B.3+兀1C.3+2T T2D.3+2 兀【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,V=2T TX 12X2+3X2X 1 x2)x 1=n+3 选 A.【答案】A【变式探究】已知一所有棱长都是娘的三棱锥，则该三棱 锥 的 体 积 为.【解析】记所有棱长都是啦的三楂锥为P-A 8C,如图所示，取 的 中 点 O,连接A O,P D,作 P O L亚 l型 1 1 3A D于
13、点O,则 P OL 平 面A B C,且O P=33，故三棱锥P-A B C的体积丫=秒”叱 0。=方 4X（巾）2x半=3.高频考点四与球有关的切、接问题例 4.（2019高考全国卷I）已知三棱锥P-A2C的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是边长为2 的正三角形，E,尸分别是外，4 8 的中点，N C E F=9 0。,则球。的体积为（）A.8、尼 兀 B.4、历 兀C.2y6n D.y/6n【答案】D【解析】因为点E,尸分别为以，A 8的中点，所以EF/PB,因为NCEF=90。，所以 EF_LCE,所以尸8J_CE.取 AC的中点。，连接BO,P D,易证A C,平面B
14、OP,所以 P8_L 4C,又 4CHCE=C,AC,CEu平面/M C,所以 P8_L平面用C,所以P8J_%，PBA.PC,因为H1=PB=PC,AABC为正三角形，所 以 以，尸 C,即 附，PB,PC 两两垂宜，将三棱锥P-A8C放在正方体中如图所示.因为4 8=2,所以该正方体的棱长为啦，所以该正方体的体对角线长为加，所以三棱锥P-4 8 c的外接球的半径/?=乎，所以球O 的体积V=3TI1=3 2 ）=,兀，故选D.【举一反三】（2018高考全国卷HI）设 4,B,C,O 是同一个半径为4 的球的球面上四点，4 A B e 为等边三角形且其面积为9V5,则三棱锥。-A8C体积的最
15、大值为（）A.12小 B.18/3C.24小 D.54小【答案】B【解析】设等边三角形A 8C的边长为x,则云I n 60。=9V5,得 x=6.设/18 c 的外接圆半径为广，则6 _,-=-2厂=而 乔，解得r=2小，所以球心到AASC所在平面的距离1=442（2小）2=2,则点。到平面ABC的1 1最大距离4=d+4=6,所以三棱锥O-ABC体 积 的 最 大 值%=会“g 6=方,且 P=2 a,若在这个四棱锥内放一个球，则 该 球 半 径 的 最 大 值 为.【解析】方法一：由题意知，球内切于四棱锥R4BCO时半径最大，设该四棱锥的内切球的球心为0,1半径为 r,连接 0 At OB
16、,OC,OD,0 P,则 VP-ABCD=VO-ABCD VO-PAD VO-PAB VO-PBC VO-PCDF 即3X2X2X2=Wx（4/+2x2x2 x2a+2x，x2ax2W）x r,解得 r=（2啦）a方法二：易知当球内切于四棱锥P-A5CD,即与四棱锥P-A8C。各个面均相切时，球的半径最大，作出1 1相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r,则2x2ax2a=永（2+2“+2正小厂，解得r=（2&）a.【答案】（2一啦）a真题感悟1.【2019年高考全国I卷理数】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,iABC是边长为2的正三角形，E
17、,P分别是孙，4 2的中点，NCEF=90。,则球。的体积为A.8A/6K B.4671C.2指兀 D.&兀【答案】D【解析】解法一：/%=0 3=。,3。为边长为2的等边三角形，尸-4 8。为正三棱锥，P B L A C,又E,尸分别为 PA，AB 的中点，.：/*3,；.E/L A C,又 E F L C E ,C E A C =C,二 EFJ平面 PAC,.PB，平面 PAC,r.ZA 依=90,./M=PB=PC=血，二尸ABC为正方体的一部分，2/?=，2+2+2=而 即R=逅，,V =&兀/?3=士述=倔，2 3 3 8故选D.解法二：设PA=PB=PC=2x,E,尸分别为PA A
18、 8的中点，.阶尸B.且=2ABC为边长为2的等边三角形，=6，X ZC F=90,C E =l3-x2,A E =-P A =x,2AAC中，由余弦定理可得cosZEAC=+（3一）2x2xx作 POLAC 于。，PA=PC,。为 AC 的中点，cosNE4C=,PA 2x%2+4-3+%2 _ 14x 2x2%2+1=2,炉=,x=，PA=PB=PC=,2 2又 AB=BC=AC=2,.PA,PB,PC 两两垂直，.2A=6+2+2 =指，2：.V=nR3=7ix=y/6n 故选 D.3 3 82.【2019年高考浙江卷】祖唯是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“基势既同，则积不容异”称
19、为祖瞄原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱 体=助，其中S 是柱体的底面积，/?是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：co?）是俯视图A.158 B.162C.182 D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4,卜底为6,高为3,另一个的上底为2,卜底为6,高为3,则该棱柱的体枳为2+6 4+6 4-x3+-x3 x6=162.2 2)故选B.3.【2019年高考全国HI卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABC。4 4 G A挖去四棱锥。一EFG
20、”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所在棱的中点，A B B C =6 c m,A A=4cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cn?,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _g.【答案】118.81【解析】由题意得，S 9E FG H=4x6-4x-x2x3=12cm-,1%.四棱锥 o-EFG”的高为 3cm,VnV Z FFCjHn=-x 12x3=12cm3.又长方体A B C D-A gG A的体积为K=4x6x6=144cm所以该模型体积为 V=%=144-12=132cm3,其质量为 0.9xl32=118.8
21、g.4.【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱M P D A -NQC.B,之后余下的几何体，则几何体的体积丫 =43-gx(2+4)x2x4=40.5.【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为正的正方形，侧棱长均为行.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为71【答案】-4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为0的正方
22、形，侧棱长均 为 逐，借助勾股定理，可知四棱锥的高为J 1斤=2.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，个底面的圆心为四棱锥底面的Ir 、2中心，故圆柱的高为1,圆柱的底面半径为一，故圆柱的体积为兀x l =-.2 l 2 j 46.【2 0 1 9 年高考江苏卷】如图，长方体ABCD 44G。的体积是1 2 0,E为C C；的中点，则三棱锥E-B C D的 体 积 是.【答案】1 0【解析】因为长方体ABQD-A4G。的体积为1 2 0,所以AB/CCG=1 2 0,因为E为CG的中点，所以C E =g cq,由长方体的性质知CG，底面A B C。，所以CE是三棱锥E BCD的底面
23、BCD上的高,所以三棱锥 E B C D 的体积 V =!X!A8 B C-C E =LXLAB 8 C-，C G =X1 2 0 =1 0.3 2 3 2 2 1 21.（2 0 1 8 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为C.3 D.4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P-A B C D，在四棱锥P-A B C D 中，P D =2,A D =2,C D =2,A B =1,由勾股定理可知：P A =2 S，P C =2 ,P B =3,B C =6 则在四棱锥中，直角三角形有：A P A D.A F C D A P A B 共三个，故选C 2.（2
24、 0 1 8 年全国H I 卷）中国古建筑借助樟卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫樟头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是样头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【解析】观擦图形图可知，俯视图为,故答案为A.3.（2 0 1 8 年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的体积（单位：c n?）是A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2,底面为直角梯形，上下底分别为1,2,梯形的高为2,因此几何体的体积为;x（1 +2）x 2 x 2=6,选 C.4.（2018
25、年浙江卷）已知四棱锥S-A8C。的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是 线 段 上 的 点（不含端点），设 SE与 BC所成的角为仇，SE与平面A8C。所成的角为仇，二面角S-A 8-C的平面角为仇，则A.仇 B.他 够 仇 C.仇S仇 D.0263 0 M,所以tan%ta n-tan%即久 2%2%选 D.5.（2018年全国I 卷）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为34 2/3啦 百-D.L/4-3 4 2【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD-ABCD中，平面ABQ1与线AAAB
26、,AiDi所成的角是相等的，所以平面ABQi与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面CRD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB】Di与CBD中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为上，2所以其面积为S=6 x。（导=苧，故选A.6.（2018年全国I 卷）某圆柱的高为2,底面周长为1 6,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为BA.2所 B.2小C.3 D.2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确
27、定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度 为 其 3=2而，故选B.7.（2018年全国HI卷）设A.B.C,D是同一个半径为4 的球的球面上四点，AABC为等边三角形且其面积为95，则三棱锥D-ABC体积的最大值为A.12布 B.18#C.24下 D.54有【答案】B【解析】如图所示，点 M 为三角形ABC的重心，E 为 A C中点，当DM 1 平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大此时，OD=OB=R=4vSAABC=yAB-=9 AB=6,点 M 为三角形ABC的重心2B M ；B E-2 由 R t A
28、BC 中，有OM=JOB2-BM2=2.D M =O D +OM=4 +2 =6（VD.ABC）-9*6 0 1 8故选B.8.（2 0 1 8 年全国U卷）在长方体A B C D-A B C D i 中，A B =B C=1.A A 祗，则异面直线A D 1 与D B 1 所成角的余弦值为1 而 有 也A.-B.C.D.5 6 5 2【答案】C【解析】以 D为坐标原点，D A,D C,D D|为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则口（0,0,0）人（1,0,0）3 （1,1,我 2 1（0,0,3）,所 以 疝 1 =（-1,0,小），加 1 =（1,1，扬，因为c o s =所以异面直线
29、A D】与D B i 所成角的余弦值为L,选 C.|附|叫 2人小 5 59.（2 0 1 8 年天津卷）已知正方体A B C D-A i B g i D i 的棱长为1,除面A B C D 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F,G,H,M（如图），则四棱锥M-E F G H 的体积为.【答案】-1 2【解析】由题意可得，底面四边形E F G H 为边长为9的正方形，其面积SEFGH=（）2=；顶点M 5 U 底面四边形E F G H 的距离为d =L2由四棱锥的体积公式可得：VM_E F G H=x l x l =l.1 0.（2 0 1 8 年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2,以其所
30、有面的中心为顶点的多面体的体积为（第10题）4【答案】3【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形的边长等I4于亚,，所以该多面体的体积为2-乂1“物2=111.（2018年全国I I卷）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为I SA与圆锥底面所成8角为45。，若aSAB的面积为5折，则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.【答案】40同【解析】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.因为母线5，S3所成角的余弦值为，所以母线幺，SB所成角的正弦值为 巨，因为ASAB2 8的面积为5 石，设
31、母线长为所以三x N x巨=5丫石二尸=8 0,因为SA与圆锥底面所成角为45。，所以底2 Q面半径为2cosm=因此圆锥的侧面积为E =-nl2=40y,In.1.12017课 标1,理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14 D.16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如卜图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2 x（2 +4）x 2 x g =1 2,故选B.2.1 2 0
32、1 7 课标H,理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱，其体积K=x32x4=3 6 4，上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半，其体积%=；x（万x 3?x 6）=2 7 万，故该组合体的体积V =K+%=3 6 +2 7 =6 3 .故选B.3.【2 0 1 7 北京，理 7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为正（主）视图侧（左）视图俯视图（A）3 夜【答案】B（B）2 0（C）2
33、 7 2（D）2【解析】几何体是四棱锥P-ABC。，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度/=在万方=2 6，故选B.4.1 2 0 1 7 山东，理 1 3】由一个长方体和两个圆柱体构成的儿何体的三视图如右图，则该几何体的体4积 为 一.71【答案】2 +-【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,I,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以12_-C Y Y C 兀 X _ 7TV 2 x l x l +2 x-x 1 =2 H 4 25.【2 0 1 7课 标1,理1 6 如图，圆形纸片的圆心为。，半径为5 c m,该纸片上的等边三角形A 8 C的中心为
34、0.0、石、尸为圆0上的点，&DBC,EC 4,项8分别是以BC,CA,A 8为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,A B为 折 痕 折 起AECA,AFAB,使得、E、F重合，得至U三棱锥.当a ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：c n?)的 最 大 值 为.【答案】4而【解析】如下图，连接力。交8 c于点G,设。，E,尸重合于S点，正三角形的边长为x(x 0),则0Gx旦=旦3 2 6FG=SG=5-x6设(%)=5/-一 ，X 0，则 力=2 0。|一 4,令(x)=0,即4/三=0,得 =46，易知(x)在x =4后 处 取得最大值.二嗑L 普 x48xF Z=4
35、 V 5【考点】简单几何体的体积1、【2016高考新课标1卷】如图，某几何体的三视图是三个半彳至相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半28万径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（）3(A)17%(B)18万 (C)204(D)28乃【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示:是28万3=-，解得R=2，所以它的表面积是7-的球面面积和三个扇形面积之和87 0 1 0S=x4万x2+3x 万x 2=171故选 A.8 42.(2016高考新课标2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A)20 (B)24万 (C)28乃 (D)32万【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧
36、面积为耳=2兀 2-4=16兀，圆锥的侧面积为52=兀 2-4=8兀，圆柱的底面面积为邑=人22=4兀，故该几何体的表面积为5=4+52+53=28兀，故选C.3.【2016年高考北京】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()ffll(5)视图【答案】A1C.-D.12B其体积V=故选A.3 2 64.1 2 0 1 6高考新课标3】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则（A）1 8 +3 6石 （B）5 4 +1 8石 （C）9 0 （D）8 1【答案】B【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积5 =2 x 3 x 6+2 x 3 x 3+2 x 3 x 3 6 =5 4+1 8 6，故选 B.5.2 0 1 6高考山东】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）(A)-+T T (B)1 +T T (C)1+T T(D)1 +n3 3 3 3 3 6 6【答案】C【解析】由三视图可知，上面是半径为 正 的 半球,体积为K=l*9 兀、（农）3=也 兀，下面是底面积为2 2 3 2 61,高 为 1的四棱锥，体积 匕=2 x 1X1=故选c.3 3