数学高考试题分类汇编：数列.pdf

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1、十、数列一、选择题L (天津理4)已 知 为 等 差 数 列，其公差为-2,且%是生与%的等比中项，S“为的前项和，n e N*,则 i o 的值为A.-110 B.-9 0C.9 0 D.110【答案】D2.(四川理8)数列加 的首项为3,也 为等 差 数 列 且 一 凡(，N*).若则=一2,i o =12,则&=A.0 B.3 C.8 D.11【答案】B【解析】由已知知=2 -8,%=2 8,由叠加法(出一 )+(%4)+,+(/%)二 一 6 4 d 2+0+2+4+6 =0/=q =33.(四川理11)已知定义在 +8)上的函数/(X)满足/(x)=3/(x +2),当龙 0,2)时

2、，f(x)=-x+2x设/(x)在 2-2,2)上的最大值为%(e N*),且加)的前项和为q li mS.=1231J1 (；)3n=l,/(x)=,n=2,f(x)=-,n=3,f(x)=(-)=(-)=-=-1-34.(.卜 一海理18)设 J是各项为正数的无穷数列，4 是边长为，。川的矩形面积(i =1，2,),则 A,J 为等比数列的充要条件为A.但 是等比数列。B.，或。2，。4,，“2”是等比数列。,则 T 85 3A.3 B.2 C.2 D.2【答案】Df(x+2)=-f(x)【解析】由题意 3，在 2-2,2 上，C.”的，“2,1，和。2，。4,，均是等比数列。D.%吗，时

3、1，和。2，。4,，均是等比数列，且公比相同。【答案】D5.（全国大纲理4）设S 为等差数列%的前项和，若 4 T,公差d =2,S*+2 一 =24,贝 M =A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D6 .（江西理5）已知数列%的前n 项和S，满足：S,+S,“=S”+,，且%”那 么%。=A.1 B.9 C.10 D.55【答案】A7 .（福建理10）已知函数f（x）=e+x,对于曲线产f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断：A A B C 一定是钝角三角形4 AB C可能是直角三角形4 AB C可能是等腰三角形 A B C 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.B.

4、C.D.【答案】B二、填空题8 .（湖南 理 12）设S”是等差数列%*）,的前项和，且弓=1，4 =7,则 Sg=【答案】259 .（重庆理 1）在等差数列 J中，%+。7=3 7,则。2+。4+&+。8=【答案】7 4110.（北 京 理 11）在 等 比 数 列 a n 中，a l=2,a4=-4,则 公 比 q=；闻 +|%|+|。=。_22-【答案】211.（安徽理14）已知 B O的一个内角为i 20o,并且三边长构成公差为4 的等差数列，则 的 面 积 为【答案】15百12.（湖北理13）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容枳成等差数列，上面4 节的容积共

5、为3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为 升。67【答案】6613.（广 东 理 11）等差数列打前 9项 的和等于前4 项的和.若=1，%+%=,则k=.【答案】1014.（江 苏 13）设I 4%02 4 其中”“3，%，%成公比为q的等比数列，a2,aA,a6成公差为1 的等差数列，则 q的最小值是【答案】小三、解答题15.（江苏20）设M 部分为正整数组成的集合，数列 4 的 首 项 为=1,前 n 项和为S”，已知对任意整数k M,当整数人时，S“+*+S 1 k=2（S“+Sk）都成立（i）设=1，的=2,求牝的值;设 =朽,4,求 数 列%的通项公式本小题考查数列的

6、通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满 分 1 6 分。解：（1）由题设知，当时,5向 一S 1-=2（S“+S J,即（S,M-S“）-（S,-S,I）=2 S,从而%+an=2 a=2,又4 =2,故当 2 时=4 +2（-2）=2 n-2,所以为的值为8。（2）由 题 设 知,当 左 =3,4，且九女时,5鹏+5 1=2 5 +2 5 女且 S +i+k +S+i=2 S +2 Sk两式相减得 +i+k +an+-k=2 a+”即。+&-c in+l_k=atl+l-an+_k所以当”之8口 寸,a,，4,an+3,an+6成等差数列，且，

7、%-2，4+2，。“+6 也成等差数列从而当几之8 时,2%=。+3 +%_3 =4+6 +4-6,（*）且 4+6 +4,-6 =%+2 +4,-2，所以当 2 8时,2凡=an+2+an_2(即氏+2 一%=。“一。,一2于是当 2 9时,。,_3，。,1，。,阳,。“+3成等差数列，从而+an-3=an+。一 1,故 由(*)式知2%=%+%，即%+%=，-%当 29时，设 一当2?W 8时,加+6 2 8,从 而 由(*)式知2限=4“+-2故2篇+7 =4+1 +4+1 3,从而2(金+7 -篇+6 )=+1 一生 +(金+1 3 一品+1 2 )，于是 用一=2 d-d=d.因此，

8、-%=对任意“？2都成立，又由S +S,-2 sA=2 S*(Ae 3,4)可知(S.+-5“)一-S-)=2%故9d =2 s3且 1 6 =2 s4%=-d,从=d,%=.解得 2 2 2因此，数列S 为等差数列，由6 =1知=2.所以数列缶 的通项公式为4 =2 -L1 6.(安徽理1 8)在 数1和1 0 0之间插入个实数，使得这”+2个数构成递增的等比数列，将这+2个数的乘积记作T,再令a=尼7 ，B l.(I )求 数 列 的 通 项 公 式；(H)设=an an t an an+l,求数歹i j也J的前项和S“本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，

9、考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：设 中2,，/+2构成等比数列，其中0 =+2 =1 0，则 X并利用 储+3-i=印+2 =1(1(。+2。)=1 0 ，六%=lg，=+2,21.(I I)由题意和(I)中计算结果，知a=tan(”+2tan(+3),21.,、，、tan(k+1)-tanktan 1 =tan(伏+1)-k)=-乙-,另一方面，利用 1 +tan伙+1).tan k-1、.tan(Z:+1)-tan k,tan(k+1)-tan k=-1.得tan 1n”+2Sn=Z 4 =Z tan(Z+1)-tan k所以 E k=3它/tan(k+1)

10、-tan 氏=L(-DN tan Itan(M +3)tan 3=-n.tan I1 7.(北京理20)若数列A=q,2,，a(-2)满足an+_ f li|=l(=l,2,./2 l),数列An为E数列，记 5(4)=。1+2+4 .(I)写出一个满足4=4 =,且 s(4)0 的E 数列4；(I I)若 4=1 2,2000,证明：E 数列4是递增数列的充要条件是4 =2011；(II I)对任意给定的整数n(n 2),是否存在首项为0 的 E 数列A，使得5(4)=0?如果存在，写出一个满足条件的E 数列4；如果不存在，说明理由。解：（I）0,1,2,1,0 是一具满足条件的E 数列A5

11、。（答案不唯一，0,1,0,1,0 也是一个满足条件的E 的数列A5）（I I）必要性：因为E 数列A5是递增数列，所以 4+1 4 =1伙=1 2 ,1999).所以A 5是首项为1 2,公差为1的等差数列.所以 a2000=12+(2000 1)x 1=2011.充分性，由于a2000alOOOR,a2000al000la2all所以 a2000a 19999,即 a20000(%=1,2,1999),即A“是递增数列.综上，结论得证。(III)令 0 =4+1-4 =l 0(k =l,2 L,-l)J U h=L因为 a2=a+q +%=q +C+c2an=a,+c(+c2+C“M，所以

12、 5(4,)=/+(一 l)j+(-2)，2+(-3 鸠 +(：,1=凶 12-(1-f)(-1)+(1-c2)(n-2)+(1-cn_).因为q =1,所以l-c*为偶数(女=1,/?-1).所以*1.G)5 -I +(1-。2)(2)+(1-q )为偶数，5(4)=0,必 须 使“(一1)所以要使 2 为偶数，即 4 整除(-1),亦即=4机或=4m +(m e N*)当 =4m+l(m N*)时,E 数列A”的项满足“软+=a4k_=0,a4t._2=-1,a4k=1(火=1,2,m)时,有 q =0,S(A“)=0;。4*=1(&=1,2,一,加),。软+1=0 时，有=0，S(A.)

13、=0;当=4m+l(m e N*)时,E 数列A“的项满足,*=%*-3=。，。4*-2=T当=4 z+2或“=4 z+3(加e N)时,(L1)不能被4 整除，此时不存在E数列An,使得“1 =，S(A)=01 8.(福建理16)13已知等比数列 an 的公比q=3,前 3 项和S3=3。(I)求数列 a n 的通项公式；兀.x(H)若函数/(x)=4sin(2 x +9)(A 0,0 e p ;r)在 6处取得最大值，且最大值为a 3,求函数f(x)的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,满 分 13 分。3,邑=”得=9解：由 3 1-

14、3 31Q =.解得 31 ,q“=X 3 T =3 所以 3(I I)由 可 知 4=3-2,所 以 的=3.因为函数/(X)的最大值为3,所以A=3。_兀因为当 k 时/(X)取得最大值,sin(2 x +0)=1.所以 6,兀0夕 0,数列 J满足a l=b,a.=T(N2)a _,+2 n-2(1)求数列 /的通项公式;b，小Z T +1,(2)证明：对于一切正整数n,2”解：a b 0,知=-0,=I-由 _!+2n-2 a b b%.n 14 =一，4 =令 生，b,1 2当 n2An=b-+-b4,1 2 2n2 2 T,=I-7 H-1-r H-r Ab b2 b-bn-1 2

15、 22 2=-I +l-H-,b b2 bn-b当时，_2 b(b-2)bnb=2时,An=-.当 22,h=2an(2)当时，(欲证nb(b-2)b-2b+i4牙7?+1，只需证b+iW(J+l)b-Tb-2(2 M+h+l)bn-2b-2=(2n+l+bn+)(/-+2bL2 +.+2-)=2n+h-+2+2 hn-2+-+22n+h2n+2b2n-+2-hn+l=+*丝+./)b b2 b T 2-2 2(2+2+2)=2 2 =2n+l bb-T2)严 1+l*2b+lb=2 时,a =2 =-+1.当 2/1+,b+la W -+1.综上所述 2 川2 0.（湖北理19）已知数列“的

16、前项和为S，且满足：（叱0）,a,+=rSn（W EN*.R,r-V）（I ）求数列”的通项公式；（I I）若存在 C N*,使得&+i,&,5 及+2 成等差数歹ij,是判断:对于任意的m e N*,且加2 2,a,+i,a ，a”+2 是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满 分 13 分）解：（I）由已知凡+i=S”，可得a.+2 =S“+|,两式相减可得an+2-an+l=r（Sn+-Sn）=ran+,即 4+2=（+1）凡+i，又 生=9=加，所以-0时，数列 为：a,0,，0,；当 0,3一 1时，

17、由已知a。0,所以见 00N*）,=r+l（ne N*）于是由4+2 =（/+1）%+”可 得an+,a 2 M3,，a“+成等比数列，.当n N 2 时=r（r+l），-2a._ a n=1,综上，数列 J的 通 项 公 式 为 V（r+iy-2a,M 2（I I）对于任意的m e N*,且加2 2,a,+|,a“,a,溢 成等差数列，证明如下：=1,当 r=0 时，由（I）知，0,？2二对于任意的加e N ,且 2 2,+2 成等差数列，当r H O,r w l 时，*S#+2 =5*+。+1+%+2，1+1+田若存在k e N*,使得&+”5,Sk+2成等差数列，则 S*+i+SJI+2

18、=2 5 出,，2 5卜+2 4+i+4+2 =2 Sk，即 4+2 =一 2 4+,由 知，/，的公比r+l =-2,于是对于任意的m e N*,且机？2,川=一 2。,“，从而飙+2 =船,“，4+1+am+2=2。,“，即 4+i,a,”m+2 成等差数列,综上，对 于 任 意 的 N*,且加？2,册 a,“,a,海 成等差数歹i j。2 1.(辽宁理17)已知等差数列 a n 满足a 2=0,a 6+a 8=-10(I)求数列 a n 的通项公式；所以，当 1 时,(H)求数列“J的前n 项和.解：(I)设等差数列8”的公差为d,q =1,解得l”=-L故数列%的通项公式为4二2-.-

19、的前项和为S(I I)设 数 列 2-&=幺 +”+.+”2 2 4 2,%+d =0,由已知条件可得h%+12d =-10,.5 分S =6 Z 4-H-F ,故S =1，即 1 2 2 1S%a,=a.+2 1+2 1 2anan-=1-(5+:2 4 2-2T-2Pa,2=1-(1-12T)一2-nTnTb,S 一 ”一i所以 2n综上，数列12分22.(全国大纲理20)1设数列 4 满足4=且1一，川(I )求 的 通 项 公 式；2=上 尹,记3=加 证 明：s,L(H)设 7*=解：(I)由题设1 一牝+i即1一%是公差为1的等差数列。1 ,1-=1,故-=n.又1一%-an4所以

20、n(I I)由(I)得bn =_ V n+T-A/HVH+1 -yjn1 1n J +l ,.8 分s“=4=i L 0,故 3.由2 q+3 a 2=得 2 4+3/4 =1,所以为一.1故数列 a n 的通项式为a n=3”.(H )2 =唾 3+1。83%+”-+1叫=(1+2+71)(+1)2=-=-2(-)故或 (+1)n n+1 1 1 1、A 1、A 1、+.+=-2(1一一)+(-)+.+(-)=-%b2 b,2 2 3 n n+Y2n +l2n所 以 数 列b 的前n项 和 为“+12 4.(山东理20)等比数列 中，%分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且弓，“2，。3中

21、的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I)求数列 的通项公式;(H)若 数 列 也 满 足:“=a”+(T)lna“，求数列间的前n项和4 .解：(I)当q =3时，不合题意；当4=2时，当且仅当4=6,%=18时，符合题意；当4=1 时，不合题意。因此】=2，2=6M3 =18,所以公式q=3,故(II)因为=a，+(l)ln%=2.3-+(-1)(2=2 3 i+(-l)”ln2+(-l)ln3=2.3T+(1)”(In 2 In 3)+(1)In 3,所以52=2(l+3+-+32-|)+-l+l-l +-+(-l)2(ln2-ln3

22、)+-l+2-5 +-+(-l),Mln3,所以S,=2 x i +-l n 3当n为偶数时，1一3 2=3u+ln 3-l;1-3 n-1S=2 x -(ln2-ln3)+(-)ln3当n为奇数时，1-3 2=3”_ -12综上所述，I n 3-l n 2-l.S,尸3+：l n 3-l,为偶数2VI 13-I n 3-l n 2-l,n为奇数225.（上海理22）已知数列也和也 的通项公式分别为4 =3 +6=2+7（N*）,将集合xx=an,ne N U x|x=%e N*中的元素从小到大依次排列，构成数列C,C?,.,()求,I，02，3，。4 ；(2)求证：在数列%中.但不在数列也,

23、中的项恰为生，出“，；(3)求数列%的通项公式。解：C=9,C2=11,C3=12,C4=13；任 意 e N*,设4,1=3(2“_ 1)+6=6 +3=%=2攵+7,则k =3”一2,即a2 n-=b3,t-2 假 设“=6+6=4=2k +7/=3 寸 (矛盾)，.V也 在数列匕，中.但不在数列 2 中的项恰为。2,b3k_2 =2(3&-2)+7=6&+3=J ,“3卜1=6+5=6k+6 b3 k =6k+7.6k +3 6k +5 6k +6 6k +7.当女二时，依次有4=。1 =。,打二。2。2 =C 3,4=c 4，.6 k+3(=4左 一3)_ 6k+5(n=4k-2)6k

24、+6(n=4-1).6 k+7(=44)2 6.(四川理20)设d为非零实数,an=(Cnd+2 Cd2+-+(n-1)C；l-dn-+n Cl,d(ne N*)n(i)写出q“2，并判断 4 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由;(I I)设%=优%(N ),求 数 列 出 的前门项和S,解析：(1)ax=da2=d(d+1)%=d(d+l)2an=C：d+Cd2+Gd+c?d =d(l +d)n-lq-d)4=d +la”因为d为常数，所以缶是以d为首项，d +1为公比的等比数列。hn=n d2(l+dy-Sn=d l +d)+2 d2(l+d)1+3 d2(+d)2+nd2(

25、1 +d)-=必(1+d)。+2(1+盯+3(1+疗+n(l +d严(1)(1+J)5=J2(l +t/)+2(1+J)2+3(1+J)3+(l +4)(2)=dS“=J ,(1(1+d)“)+/(1+d)=d +(/_ d)Q +d)一 l-(l +d):.Sn=l+(dn-1)(1 +d)n2 7.(天津理20),A A,3+(1)，五 Ua 3,为 3 廿 么%+。“+|+久+W“+2=0,勿=-已知数列必工与我/满足：2,且a=2 M2 =4(I )求生，%，%的值;(I I)设&=%1+%,川，6%,证明：%是等比数列:(I B)设 耳=4 +。4+。2人，&N，证明:e N*)本小

26、题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分1 4 分.公2(I)解：由 2ne N*,b“可得i,为奇数,2,n为偶数又或。+%+|+%+1。+2=，当n=l 时,&!+a2+2 aj=0,由a1=2,a2=4,可 得 a?=3;当n=2 时，2 a2+a3+a4=0,可得=一5;当n=3时 ，a3+a4+2 a5=0,可得=4.(I I)证明：对任意 e N*,“2 -|+%“+2 a2,用=，2 a2 +a2 n+a2 n+2=，“2/I+1+a2 n+2+2 a2 +3=，加 ，得 2“=4 +3-将代入，

27、可得 2 +1 +%+3=_(%1 +。2 +1 )即 c“+i =_ c“(e N*)又 C=q +。3=-l,故 c“H 0,4 L=T,所以%因 此%是等比数列.(i n)证明：由(n)可得%&-1+2*+1 =(一 ,于是，对任意k e N*且上22,有q+%=T一(3 +%)=一1，%+%=-1,+出*-1)=-L将以上各式相加,得+(-1)%21=-(1)，即 的J=(1)*1(%+1),此式当k=l时也成立.由式得心=(T产 伙+3).从而 2*=(。2 +%)+仅6+%)+(。4*-2+4 J =此，S2k-lS2k a4k=*+3所以，对任意eN*,2 2=1%m=l 4m-

28、3 U4m-2 a4m-l U4m/2 m+2 2/n-l 2m+3 2m、,=i 2m 2m+2 2m+1 2m+3C 2 3 2加(2加+1)(2机+2)(2m+2)2/5 32x3 总2?(2，+1)(2+2)(2+3)1 e 5 33 (2 机 1)(2 机+1)(2+2)(2”+3)=-1 +-5-r(z-l-1)、+(/-1)、+(z-1-1-)V1l +-3-3 2 3 5 5 7 2 n-l 2 +1 (2 +2)(2 +3)1 5 5 1 3=-1-1-3 6 2 2/7+1 (2+2)(2+3)76对于n=l,不等式显然成立.所以，对任意S|+S2+.+$2，1+S2na

29、a2 ain-。2n-)+(1 ；-；-)H-F (1 )4 1 2-42 42-(42-1)-4 (4-1)A 1 x z 1 2 、z 1 n、J /1、1 +11-1 ,即 +1 2 所以，当时，4,(纥；当。Bn.2 9.(重庆理2 1)设实数数列“的前n项和S ,满足S +i =an+lS(e N *)(I)若 ”,2 -24成等比数列，求$2和。3；k(I I)求证：对42 3有。小 at 0且 2 0 0因2 4,由得见2 04%T_ _ _ _ v gcif,w-2 r 1，要证 3,由只要证-I +1 3即证 3 3-4(a；_ 1 -%_ +1),即(4 T 2)2 0.此式明显成立.4ak 3).因此 3一ak+=-ak,最后证%+i -%若不然 4+1ak 0,故 1,即(1 0.S“+2=Sn+4+2 =a“+2S“M得a,.。1 且S“+|=2又由“+2-1an+2因此（为+2 一仔音。，即3a-40W%+2(解得 340 A.3).因此 3%=声尸（&2 3）由 ”-1 ,得因此 为+1 4 0k 3).