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1、赵小灿上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚2.本试卷共有22道题目，满 分 150分.考试时间120分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上一.填 空 题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分.1.已知集合A=-1,3,2加一 1 ,集合6=3,/.若 8=4,则实数“=2.已知圆f _ 4x-4+2=0 的圆心是点P,则点P到直线x y-1 =0 的距离是3.若函数/（x）=ax（a0,且a H 1）的反函数的图像过点（2,1）,则a=C34.计算：l i m-=_“-8
2、n+15.若复数z 同时满足z z=2i,z=iz（i 为虚数单位）.则z=.6.如果cosa=（,且 a 是第四象限的角，那么cos（a+g=.7.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（-2百,0）,且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是.7T 57r8.在极坐标系中，O 是极点，设点4 4 上）,6（5,土 匕）.则 O A8的面积是_ _ _ _ _.3 69.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每 卷 1本，共 8 本.将它们任意地排成一排,左边4 本 恰 好 都 属 于 同 部 小 说 的 概 率 是 （结果用分数表示）.10.如果一条直线与个平面垂直，那么，称此直线与
3、平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.11.若曲线/=国+1与直线y=依+6 没有公共点，则 左/分 别 应 满 足 的 条 件 是.12.三个同学对问题“关于x 的不等式X?+25+,-5/上 av在 1,12 上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.丙说：“把不等式两边看成关于尤的函数，作出函数图像”.参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的 取 值 范 围
4、是.二、选 择 题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.1 3.如图，在平行四边形4 B C O中，卜.列结论中错误的是（A）A B=D C（B）A D +A B=A C -y（C）A B-X D =B D（D）A D +C 5 =0 /J1 4.若空间中有四个点，则 这四个点中有三点在同一条直线上”是这四个点在同 个平面上的 答（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）
5、既非充分又非必要条件1 5.若关于x的不等式（1 +公 口6 4 4+4的解集是加，则对任意实常数女，总 有（答（）（A）2 G M,OwM（B）2 纪 M,0 定 M（C）2 M,0 史 M（D）2 5?M,0 M1 6 .如图，平面中两条直线h和b相交于点0,对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线h和L的距离，则称有序非负数实数对（P，幻 是点M的“距离坐标”.已知常数p0,q 2 0给出下列三个命题：若p=q =0,则“距离坐标”为（0,0）的点有且仅有1个.）、“伊,若pq =0,且p+qxO,则“距离坐标”为（p,4）的点有且仅有2个.若p qwO,则“距离坐标”为（p,q）的
6、点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是 答(A)0三.解 答 题（本大题满分8 6分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.1 7 .（本题 满 分1 2分）1 8 .（本 题 满 分1 2分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距2 0海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西3 0 ,相 距1 0海 里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处 救 援（角度精确到1 ）?B1 9.（本题满分14分）本题共有2 个小题，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分.在四棱锥PABCD中，底面是边长为2 的菱形.NDA
7、B=60,对角线AC与 BD 相交于点0,P0_L平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60.（1 ）求四棱锥PABCD的体积；（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线DE与 PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.20（本题满分14分）本题共有2 个小题，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分.在平面直角坐标系xoy中，直线/与抛物线J/=2 无相交于A、B 两点.（1）求 证“如果直线/过点T（3,0）,那 么 面 丽=3”是真命题；（2）写 出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.2 1.（本题满分16分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分4 分，
8、第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6分.已 知有穷数列%共 有 2 k 项（整数女2 2）,首 项 =2.设该数列的前项和为S“，且an+l=（a-1）5,+2（n=l,2,2k-l）,其中常数a 1.（1）求证：数列”“是等比数列；_2_,3+-万区4,求上的值.2 2.（本题满分1 8 分）本题共有3个小题，第 1 小题满分3分，第 2小题满分6 分，第 3小题满分9分.已知函数丫=乂+q有如下性质：如果常数a 0,那么该函数在（0,&上是减函数，在、后,+8）x上是增函数.2b（1）如果函数,=尤+（x 0）的值域为 6,+o o）,求 b的值；x（2）研究函数y =x?+二（常数
9、c 0）在定义域内的单调性，并说明理由；X（3）对函数），=x +和），=/+彳（常数。0）作 出 推 广,使它们都是你所推广的函数X X的 特 例.研 究 推 广 后 的 函 数 的 单 调 性（只 须 写 出 结 论，不 必 证 明），并 求 函 数/）=2+!）+（乙+制 （n 是正整数）在区间七,2 上的最大值和最小值（可利用你的研究结x x 2论）填空1、12、根 2/23、1/24、1/65、-1+i6、2 根 6/57、xA2/16+yA2/4=l8、59、1/3510、3611、k=0,b 在(-1,1)12、a=10选择CAAD简答17、值域-2,21=派18、71 度19、
10、体积为2 异面直线所成角为arccos(根2/4)20、略假命题过(-1,0)这个点斜率绝对值小于1 且不等于零的时候也成立21、略 bn=(n-1)/(2k-l)+1(n=l,2,2 k)当 k=2,3,4,5,6,7 时原不等式成立22、b=log 以 2 为底的 9 m 各当 x=1/2 或 2 时有 MAX=(9/2)An+(9/4)An当 x=l 时有 MIN=2A(n+l)2007年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)考生注意：i .答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满 分 150分.考 试 时 间 120分钟
11、.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一.填空题(本大题满分4 4分)本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函 数 川=馆(4一二)的定义域是_.x 32.若 直 线 小 21+2)，+1 =0 与直线/2：y=3 x-l平行，则加=3.函 数/(乃=一的反函数/T(x)=_.x-14.方 程 9V-63乂-7=0 的解是.5.若x,y e R+,且 +4y=l,则的最大值是.6.函数y=sin x+)sin(x+)的最小正周期T=.7.在五个数字1,2,3,4,5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）.2 28
12、 .以双曲线-二=1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是4 59.对于非零实数a,b,以下四个命题都成立：a +wO；（a +b）2-a2+2ab+b2；a 若|a|=|b|,则a =b；若/=，则。=匕.那么，对于非零复数a,，仍然成立的命题的所有序号是.1 0 .在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重 合 三 种.已 知 e,6是两个相交平面，空间两条直线小 在。上 的 射 影 是 直 线S?,卜4在 p 上的射影是直 线 布t2.用邑与邑，人与，2 的位置关系，面直线的充分条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 1 .已 知
13、 P为 圆x2+（y -I）2=1 上 任意一点。除 外），直 线 O P的 倾 斜 角 为。弧 度，记 d =|O P|.在d的 坐 标 系 中，画 出 以（&d）为 坐 标 的 点 的 轨 迹 的 大 致 图 形 为写出一个总能确定4与 4是异9 右 侧点（原选 择 题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.1 2 .已知a,b e R,且2 +a i,b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程
14、+p x +q=O的两个根，那么p,g 的值分别是（）A .p=4,q=5 B .p=-4,q=3C.p=4,q=5 D p=4,q=31 3 .设。，b 是非零实数，若a b,则下列不等式成立的是（）A.a2 b2 B .ah2 a2h C.D .ah a b a b1 4.直角坐标系x O y中，7,了分别是与x,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形A 8C中，若 茄=2：+工就=3：+/J,则上的可能值个数是()A.1 B.2 C.3 D.41 5 .设/(x)是定义在正整数集上的函数，且/(x)满足：“当/()/成立时，总可推出/出+1)(&+1)2成立”.那么，下列命题总成立的是(
15、)A.若/(3)2 9成立，则当出21时，均有成立B.若/(5)N 2 5成立，则当W5时，均有/(k)/成立C.若7)4 9成立，则当k 2 8时，均有/(左)0,bc0.如图，点五,%乃 是相应椭圆的焦点，A，A 2和 可，层 分别是“果圆”与x,y轴的交(1)若/；耳心是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程;(2)当|4阕 幽 见 时，求，的取值范围；(3)连 接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数k,使斜率为左的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由.2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷
16、（理工农医类）答案要点一、填 空 题（第 1 题至第11题）21.x L 平面 NA8G是直线48与平面B B G C所成的角.B C、=QCC：+B C?=V 5 ,:.t a n Z A,B C-,贝 U Z AB Ct=a r c t a n -.8G J 5 5即 直 线 与 平 面 BB|GC所成角的大小为a r c t a n g.解法二：由题意，可得体积V =C C,=C G|A C BC=；C G =1,/.C C j =2 ,如图，建立空间直角坐标系.得点8(0,1,0),G(0,0,2),4(1,0,2).则谦=(一 1,1,一 2),平面B B C的法向量为n =(L 0
17、,0).设直线aB与平面B与G。所成的角为。，淳 与 的夹角为夕,则 COS 9 =AB nI啊问s i n。=|c o s 夕|=,0=a r c s i n ,V 6即直线A8与平面B BtCC所成角的大小为a r c s i n 手.1 7 .解：由题意，得 c o s B =3 2,B为锐角，s i n B =4，5 5 .z .C 3n 7-7 2s i n A=s i n(n-B-C)=s i n l -B 1=,由正弦定理得 c =,S =ac s i n B =x2 x x=.7 2 2 7 5 71 8 .解：(1)由已知得2 0 0 3,2 0 0 4,2 0 0 5,2
18、0 0 6 年太阳电池的年生产量的增长率依次为3 6%,3 8%,4 0%,4 2%.则 2 0 0 6 年全球太阳电池的年生产量为6 7 0 xl.3 6 xl.3 8 xl.4 0 x 1.4 2 a 2 4 9 9.8 (兆瓦).(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为X,则1420(1+.4 2 9 5%.2 4 9 9.8(1+4 2%)4解得x2 0.6 1 5 .因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到6 1.5%.1 9.解：(1)当 a =0 时，/(x)=X2,对任意x e(-8,0)U(0，+8),/(-x)=(-X)2=x2=f(x),/.f(x)为偶函数
19、.当。W 0 时，/(%)=x2+巴(工0,x 工0),x取 1=1,得/(-1)+/(1)=2 0,/(-l)-/(l)=-2 a 0,函数/*)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)解法一：设2 4%冗 2，2 a 2 a(X i/(xi)_/(x2)=X +-X2-=-tXX2(X+工2)一。Lxx x2 XxX2要 使 函 数 在 X 2,+8)上为增函数，必须/(七)一 )0 恒成立.,Xx-X2 4 ,即4 4 ,/.x1x2(x1+x2)1 6 .。的取值范围是(8,1 6 .解法二：当。=0时，/(x)=%2,显然在 2,+0 0)为增函数.当。0时、同解法一.2 0.解：设 仇
20、的公差为d,则 为=4+3d=2+3 d=l l,解 得d=3,：.数列 为 2,5,8,11,8,5,2.2*-l=C|+c2+C j +Ck+q+1+,2 1=2(c*+c*+|+C 2 1)-4，S2k_1=4(1 3)2+4x1 325 0，当女=1 3 时，S 21 取得最大值.S2k_ i的最大值为62 6.(3)所有可能的“对称数列”是:勺2 千”-2 一2 0 1/,/、乙,，乙,1；1,2,22,-,2*2,2-,2-,2 2,，2 2,2,1；乙*)1 、乙 c乙,11,Nc,1 c，-2;2/n-,2m2,-,22,2,1,1,2,22,-,2T,2W-1.对于，当加2
21、2 0 0 8 时，52 0 0 8=1 +2 +22+-+22M 1=2 2 0 0 8-1当 15 0 0 mW 2 0 0 7 时，S2 0 0 8=1 +2 +-+2m2+2m +2 2+22,M-2 0 0 92 小 _ +2”-i 2 2w-2 o o 92，+2，“T _ 2 2版-2 0 0 9 _ 对于，当mN 2 0 0 8 时，S2 0 0 8=2 2 0 0 8-1 .当 15 0 0 /nW 2 0 0 7 时，S2 0 0 8=2m+_ 2 2?-2 0 0 8 _ 对于，当 m22 0 0 8 时，S2 0 0 g=2 -2-2 m当 15 0 0 c m (2
22、0 0 7 时，S2 0 0 8=2m+22 0 0 9-r a对于，当m22 0 0 8 时，占 =2-2 L20 8当 15 0 0 小 2b,即 Jq2 一 方2 2 b-a .(2b)2 b2+c2=a2a2-b2 (2 b-a V，得2 c2=a2-b2,b21CT 2h-eaf V2 4 1 2 5；2 2 2 1 设“果圆”C的方程为*+亲=1(*0),营+=1 (x WO).记平行弦的斜率为k .v-2 v2当k=0时，直线y =f(-6Wf W6)与半椭圆*+方=1(x 2 0)的交点是v2 2,与半椭圆方+=1(x WO)的交点是。P,0的中点M (x,y)满足y=t,a-
23、ca 0时，以 上 为 斜 率 过 用 的 直 线/与 半 椭 圆=+2=1 (x0)的 交 点 是矿 b(2ka2b k2a2b-b3 k +b2 k2a2+b2,A2由此，在直线/右侧，以Z为斜率的平行弦的中点轨迹在直线)，=-力上，即不在某一椭圆上.当出 0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.2008年全国普通高等学校招生统一考试(上海)数学(理工农医类)全解全析 填 空(4，XI I)1.不等式|工一1|1的解集是.【答案】(0,2)【解析】由l x l l=0 x 2.2 .若集合人=国1 z =-=l +i.1+z4.若函数f(x)的反函数为了/(x)=x2(x 0)
24、,则/(4)=.【答案】2【解析】令/(4)=t=/T(f)=4n r=4。0)=，=2.5 .若向量了、了满足/|=1,|百=2,且/与 7的夹角为则/+由=.【答案】V7【解析】a+b=(a+b)(a+b)=a a+b b +2ab=a+b+2|c osg =7=|a+B|=7.6.函数/(x)=#s in x +s i畤+x)的最大值是.【答案】2【解析】由/(x)=V 3 s inx +co s x =2 s in(x +)=f(x)m a x=2.67 .在平面直角坐标系中,从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(l,l)D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能
25、构 成 三 角 形 的 概 率 是 (结果用分数表示).3【答案】-4【解析】已知A、C、E、F共 线；B、C、D共 线；六个无共线的点生成三角形总数为：C：；可构成三角形的个数为：C?=1 5,所以所求概率为：金 二 (=日；0 6 48 .设函数/(X)是定义在R 上的奇函数，若当x G(0,+8)时，/(x)=lgx,则满足/(x)0 的x的取值范围是.【答案】(-1,0)U(l,+0 0)【解析】当 x0 时,/(x)0=xl ；/(x)0=0 x l ；由/(x)为奇函数得:当 x 0 o-1 x 0；f（x）0 o x -1 n 结 论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3
26、,3,7,a,b,1 2,1 3.7,1 8.3,2 0,且总体的中位数为1 0.5,若要使该总体的方差最小，则。、。的取值分别是.【答案】=1 0.5,/?=1 0.5【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须a =1 0.5/=1 0.5 时，总体方差最小;1 0.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2 a,短轴长为幼的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为加、左，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得 甲、乙 导 航 灯 的 仰 角 分 别 为。1、e 2,那 么 船 只
27、 已 进 入 该 浅 水 区 的 判 别 条 件是.【答案】/?）cot 0X+h2-cot 02 2a【解析】依题意，+区2 an h、cot q+%2 ,cot 022a；1 1 .方程1=0 的解可视为函数=）他 的 图 像 与 函 数 的 图 像 交 点 的 横 坐 标，若 f+a x 44=0 的各个实根X 1，X 2，4 （左 0 一22a0或 炉+Q (-8,-6)U(6,+8)；x 0 =6 0 4 分在C。中，COZ+OOZZCD-O O.COSG O OMOC?6 分即，5 0 02+（r-30 0）2-2x 5 0 0 x（r-30 0）x1 9 分解 得 厂=49 0丝
28、02 445 （米）11答：该扇形的半径OA的长约为445米.13分 解法二连接AC,作。_L AC,交AC于 ，2分由题意，得C O =5 0 0 （米），A D=30 0 （米），N C D 4 =120 4 分在 C D O中，A C2 C D2+AD2-2 C D-A D-co sl200O5002+30()2+2 x 500 x 300 x 工=7 0 Q21：.AC=700(米).2 6分2-A C-A D14在直角 A O中，A =350(米)，co s Z H AO =14O AAH4900 445(米).cos Z H AO 11答：该扇形的半径OA的长约为445米.13分9
29、分18.（6+9）已知双曲线C:早 一 产0，p为。上的任意点。（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3坐）,求|P川的最小值；【解析】（1）设尸（国,弘）是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x-2 y =0和x+2y=0.2分点 尸（内,当）到两条渐近线的距离分别是和丐科4分它 们 的 乘 积 是 庄 浮 丐件=5%1 =?点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.6分（2）设的坐标为（x,y）,则 PA l=(x-3)2+y2 8 分=(x-3)2+-1 =-(%-)2+-11 分4 4 5 5V|x|2,13分1?4当x 时，
30、I 2 4 的最小值为1,2 R即|PA|的 最 小 值 为 工.15分1 9.(8+8)已知函数/(x)=2-由(1)若/(x)=2,求 x的值(2)若 2/(2。+1 1 1/(，)0 对于，1,2 恒成立，求实数m 的取值范围【解析】(1)当 x 0 x =l og 2(1 +V 2).8 分(2)当r e l,2 时，2(22-)+/(2 7)0 1 0 分即z Q 1)2(2*1),V 22,-l 0,/.m -(22，+l)1 3 分V re l,2,/.-(22,+1)G-1 7,-5故小的取值范围是-5,+8)1 6分20.(3+5+8)设 P(a,b)(b#0)是平面直角坐标
31、系x O y 中的点，/是经过原点与点(1,方的直线，记Q是直线/与抛物线x 2=2py (p H O)的异于原点的交点(1)若。=1,b=2,p=2,求点Q的坐标21(2)若点P(a,b)(HW 0)在椭圆彳+)?=1 上，p=病，求证：点 Q落在双曲线4/一4丫 2=1 上 若动点P(a,b)满足abWO,0=志，若点Q始终落在条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由【解析】(1)当。=1,。=2,p=2 时，x2=4y x =8解方程组 )得 ,即点Q的坐标为(8,1 6)y=2x y =1 63 分(2)【证明】由方程组，=益)、得，a y b x y=
32、-a即点。的坐标为(4,2)5 分a a产时椭圆上的点，即 三+/=1 4(1)2-4(-)2=4(1-2)=1 ，4a a a因此点。落在双曲线4/一 4)，=1 上 8 分(3)设。所在的抛物线方程为y 2=2q(x c),q/0 1 0 分1 A A2 1将。(士，上)代入方程，得 =2q(一c)，b2=2qa-2qca2 1 2 分a a a a当c=0时，b2=2qa,此时点P的轨迹落在抛物线上;1 1 ,1当 gc=一 时，(a-)2+b=-T2 2c 4c2此时点尸的轨迹落在圆上;当qc 0 且q c。g 时,+=L 此时点P的轨迹落在椭圆上;q2c(”一；)2当q c 0时产-
33、4?此时点P的轨迹落在双曲线上;1 6分“+c,an321.(3+7+8)己知以c“为首项的数列 小 满足：斯”=马d，%3 3(1)当 0 1 =1,c=L d=3 时,求数列%的通项公式(2)当 0 VQ V1,C=1,d=3 时,试用i表示数列 斯 的前1 0 0 项的和Sw o 当 O V QI V、(m 是正整数)，C=A，d2 3 m 时，求证：数 列。2 A，3m+2-，6m+2 、，的m+2 5 成等比数列当且仅当d=3m【解析】1,n =3k 2(1)由题意得=2,=3左一l,(k$Z+)3 分3,=3Z(2)当O v q 1 时,。2=%+1，%=。+2,%=+3,%=+1
34、 ,6=+2,%=-4-F 3c ,.a,.a,.a _ 八/3,7 a3、kK-1 =3u弘 一 1+1，a、3kK =i t i +2,生/+=-TF T+3.6 分 3KI +l 3KI S o。=ax+(4+。3+*)+(%+。6+a6-(0 9 8+。9 9 +。1 0。)=q+(3q+6)4-(4+6)+(j+6)+.+(方 +6)=4+。(3+1 +.+33)+6x 33=；。1 一击+1 9 8(3)当d=3加时，。2=4十一m 3m-1 1 _ _ 与 a3 m =4+=%+3 3 。+3=3m+，m m1 0 分=ay+1；3m ma,1 -a1 八-+33 +3m 3m1
35、=-a,-11 6 m+2 八 2 ym m41 1 “c qT+3 3 -49m m 9m-A_+l27m m.1 _ 1 _ a I _ a.1 _ a%-=%a3m+2-二 丁，a6m+2-=T *9 计2-=m m 3m m ym m 2/m综上所述，当 d=3加时，数列 a2-,a3m+2-，a6m+2 一 -a9ni+2 一 -m m m m是公比为二一的等比数列 1 3分3m当d 2 3m+1 时，/什 2 =丁 M G|0,a m由 于 a3m+2 -0m m m故 数 歹I。2 一 L。3加+2 一 ,，6团+2 一 -，。9 什2 一 L不是等比数列m m m m所以，数列
36、a2-,a3m+2-，a 6 M+2-，a9m+2-，成等比数列m m m m当且仅当d=3 m1 8分2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（立刻答案及详解）1.【答案】ia b=【解析】设2=2+历，则(a+bi)(1+i)=l-i,即 ab+(a+b)i=li,由 ,解得 aa+b=-1=0,b=1,所以 z=i,z=i2.【答案】aW l【解析】因为A U B=R,画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有aW l。3.【答案】x -3,8【解析】依题意，得：（-1）2X（9X-24）0,解得：x -4.【答案】y =2x,x l【解析】当x l时，有y=x-2
37、,当x/5,所以，/A DB =ar c t an /5。6.【答案】l-JI【解析】/(x)=c o s 2 x +s in2 x +1 =V 2 s in(2 x +-)+1,所以最小值为：1-647.【答案】-7【解析】J可取0,1,2,因此P (f=0)=CV2 =U1 0,P(4 =1)=cc =吧1 0加 2 1 2 1P=2)=与C；121=OX1 2 +1X+2X478、【答案】拇+2厄=3百s【解析】3=4 成：，g=2品&,同理：叵=2&R2 医=2&R、,即 R|=j L,R229.【答案】3由凡+2R2=3%得脚+2病=3病I PF,+PF2=2a【解析】依题意，有|P
38、g|PF2 k 18,可得4c2+36=4a2,即 a?一j PF2+PF22=4C2C2=9,故有 b=3。10、【答案】上二84【解析】化为普通方程，分别为：y=0,y=J x,x+y=l,画出三条直线的图象如右图，可求得A(立 二 L 三8),B(1,0),三角形AOB的面积为：，x lx 三82 2 2 211、【答案】kWl【解 析】作 出 必=sin万 与 乃=履 的 图 象，7TYsin3 2 区 成立，由图可知须kW h2要 使 不 等 式12.【答案】14【解析】函数/(x)=sinx+tanx在(一 ,)是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为+/7 =。2 +
39、。26=2%4，所以/(6)+/(。27)=/(%)+/(%6)=/(%4)=0,所以当我=14 时，/(J =0.13.【答案】(3,3)【解析】设 发 行 站 的 位 置 为(x,y),零 售 点 到 发 行 站 的 距 离 为z=2 x +2 +y-2 +2 x-3+y-l+y-4 +y-3 +x-4 +y-5 +x-6 +y-6 ,这六个p-/n n t J.AA.-r-2 +3 +3 2 +4 +6 2 +1 +4 +3 +5 +6 7 y点的横纵坐标的平均值为=2 ,二，记6 6 27A (2,-),画出图形可知，发行站的位置应该在点A 附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，2在(
40、3,3)处 z 取得最小值。21 4.【答案】ar c t an 3【解析】由 y =j4 +6x /2 得:(x-3)2+(y+2)2=1 3,(x e 0,6),它的图象是以(3,2)为圆心，旧 为 半 径 的 段 圆 弧,设过原点且与曲线C相切的直线为y=k x,当 0=0 时，k=L o c32的点3此时直线的倾斜角为B,即 t a n B=,当切线与y轴重合时，曲线上满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为3 290 P ,则 t a n (9 0 B ),即 0 =a rc t a n 2 31 5、【答案】A【解析】=。2 4 0 时
41、，-2 。2,因为“一 2 4。4 2 是 的 必 要 不 充 分 条 件,故选A。1 6、【答案】B【解析】P(E1 E)=P(E)P(F)=(X;=A1 7、【答案】D【解析】根据信息可知，连 续 1 0 天内，每天的新增疑似病例不能有超过7 的数，选 项 A 中，中位数为4,可能存在大于7 的数；同理，在选项C中也有可能；选 项 B中的总体方差大于0,叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7 的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7 的数存在，那么方差不会为3,故答案选D.1 8、【答案】B【解析】由已知,得：sm”,第 I I,I V 部分的面定值，所以，S,，S 为定值，即为定
42、值，当 直 线 A B圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一积 是绕 着条，故选B。1 9,【解】如图，建立空间直角坐标系则 A (2,0,0)、C (0,2,0)A l(2,0,2),B l(0,0,2)、C l(0,2,2).2 分设 A C 的中点为 M,V B M A C,B M 1 C C 1;平面A 1 C 1 C,B|J B M=(1,1,0)是平面A 1 C 1 C的一个法向量。5分设平面A4G的一个法向量是n =(x,y,z)=(x,y,z),AC=(-2,2,-2),A4=(-2,0,0)7分/.n-A B=-2x=0,-A,C =-2x+2y-2z=0,
43、令 z=1,解得 x =0,y =1=(0,1,1).1 0分设法向量 与 两 的 夹角为e，二面角片一4。G的 大 小 为 显 然 夕 为锐角c o s6=|c o s 同加.西同两4解得”71.1 4分二面角4-4。的大小为工0 42 0.证 明(1)当x N 7时，/(x +l)-/(x)=-(x-3)(x-4)而当x N 7时,函 数y =(x 3)(x 4)单调递增，且(x 3)(x 4)0.3分故/(x +l)/(x)单调递减.当X N 7时，掌握程度的增长量/(x +l)/(x)总是下降.6分(2)由题意可知0.1+1 51 n 一=0.8 5.9分a 6整理得，一=e 0 sa
44、-60.05解得a=F6=2 0.50 x 6=1 2 3.0,1 2 3.0 e(1 2 1,1 2 7.1 3 分e 1由此可知，该学科是乙学科.1 4分2 1.(1)双曲线C的渐近线a:x正+y/2y=02分，直线1的方程x J i y +3收=0.6分直线1与m的距离=#.8分V1+2(2)设过原点且平行与1的直线力：-丁=0则直线1与b的距离d=2网71+P当人 时，d 4 62又双曲线C的渐近线为x&y =0.双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C右支上的任意点到直线I的距离为V6。故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线/的距离为V6。证法二双曲线C的右支上存在点。(%,%)
45、到直线/的距离为逐，则;|/一2%=2,(2)由(1)得%=Ho +y/b y/l+k*2,设 t=3 0 k 土瓜 J l+3 25 _ _ _ _当 k ,f=3后左士加 J l +2 2 0.1 3 分2将 0 =+/代 入(2)得(1-2%2濡 一4虹%2(产+1)=0 (*)0,4 N 0,-2(r +1)0的解集是_x +42 .若复数z=l-2 i (i 为虚数单位)，贝 i j z,z +z=3.动点P到点尸(2,0)的距离与它到直线x+2=0 的距离相等，则点P的轨迹方程为.4.行列式8 s g.7 Cs in7的值是_7 Tcos一65.圆 C:x2+J,2-2 x-4 y
46、+4=0 的圆心到直线 3x+4 y+4=0 的距离 d-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.6.随机变量J的概率分布由下表给出：则该随机变量)的均值是 一7891 0P（g=x）0.30.350.20.1 57 .2 0 1 0 年上海世博会园区每天9:0 0 开园，2 0:0 0 停止入园.在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，。表示整点报道前1 个小时内入园人数，则 空 白 的 执 行 框 内 应 填 入.8.对于不等于1 的正数”，函数式x)=l o&(x+3)的反函数的图像都经过点P,则点尸的坐标为.9 .从一副混合后的扑克牌(5 2 张)中
47、，随机抽取1 张，事件4为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P(AU B)=(结果用最简分数表示).1 2 31 0.在“行列矩阵2 3 43 4 5、“1 2n-2-1、;中，记位于第i 行第j 列的数为n-3 n-2 n-当 =9 时 a1 1+0 2 2+33+*,+99=.1 1 .将直线/：x+y-=0、/?：x+n y-n=0(neN*)x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为S ，则 limS.=.1 2 .如图所示，在边长为4的正方形纸片A B C Q 中，A C与 相 交 于 点。，剪去4 4 0 8,将剩余部分沿O C。折叠，使。4、重合，则以A(8)、C、D、0
48、为 顶 点 的 四 面 体 的 体 积 是.1 3.如图所示，直线x =2 与 双 曲 线 丁 =的渐近线交于居、心两点，记西=1,因=或，任取双曲线上的点P,若 丽=a&+房（a,be R）,则 、6满足的一个等式是.1 4.从集合 =4）,0,目的子集中选出4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）0,U 都要选出；（2）对选出的任意两个子集4 利 8,必有A B或 4 皂8.那么，共有 种不同的选择.二、选 择 题（本大题满分2 0 分，每小题5分）1 5 .a x=2k 7r+-（k e Zy,是“t a nx=l”成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既
49、不充分也不必要条件1 6 .直线/的参数方程是F=，2%e R）,则/的方向向量2可以是A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)1 7 .若配是方程（；）=）的解，则无。属于区间（）1 8.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是上、-则此人将（）1 3 1 1 5A.不能作出满足要求的三角形 B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形三、解 答 题（本大题满分7 4 分）1 9 .（本题满分1 2 分）已知0 x/0),点、P的坐标为(-。/).a 6(1)若直角坐标平面上的点M、A(0,-6)、8(4,0)满 足 丽 =：(港+A 万)，
50、求点M 的坐标；h2(2)设宜线h y=k i x+p交椭圆于 C、。两点，交直线/2)=税 于 点 E.若收=,证明：EQ为CD的中点；(3)对于椭圆r上的点Q(a cos0,b si ne)(0 0 M，如果椭圆上存在不同的两点丹、P 2 使PP+PP=PQ,写出求作点8、匕 的步骤，并求出使P、巳 存在的。的取值范围.2010高考数学(理科)参考答案一、填空题1.(-4,2)：2.6-2i；3./=8：4.0；5.3；6.8.2；7.S-S+a；8.(0,-2)；9.；10.45；11.1；12.；13.4ab=l；14.36.26 3二、选择题15.A；16.C；17.D；18.D.三