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1、基本不等式基本不等式(一一)武汉睿升学校武汉睿升学校u情景设情景设置置 欣欣 赏赏 体体 会会 丰丰 富富 自自 我我 ICM2002会标会标如图，这是在北如图，这是在北京召开的第京召开的第24届届国际数学家大会国际数学家大会会标会标根据会标会标根据中国古代数学家中国古代数学家赵爽的弦图设计赵爽的弦图设计的，颜色的明暗的，颜色的明暗使它看上去象一使它看上去象一个风车，代表中个风车，代表中国人民热情好客。国人民热情好客。赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所组成，你能找出一些相等关系或不等关组成，你能找出一些相等关系或不等关系吗？系吗？赵爽弦图赵爽弦图ICM 200
2、2International Congress of MathematiciansBejingAugust 20-28,2002ADBCEFGHba 重要不等式：一般地，对于重要不等式：一般地，对于任意实数任意实数a、b，我，我们有们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab如何证明如何证明?思考：思考：你能你能给给出不等式出不等式 的的证证明明吗吗？证明：（作差法）证明：（作差法）当且仅当a=b 时等号成立新课探究新课探究如果如果a0，b0我们用我们用 、，代替上式中，代替上式中 可得可得这个不等式又如何这个不等式又如何证明？证明？只要证 a+b （2）要证
3、（2），只要证 a+b-0（3）要证（3），只要证（-）0（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。我们一起来分析一下：要证 （1）从不等式的性质推导基本不等式2通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫时取等号，这个不等式就叫做做基本不等式基本不等式.在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数的算术平均数叫做正数叫做正数a，b的几何平均数。的几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等
4、式的几何解释吗?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,A
5、C=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab演示剖析公式应用剖析公式应用两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于不小于它们的它们的几何平均数几何平均数.a、b是两个正数是两个正数.当且仅当当且仅当a=ba=b时时“”号成立号成立 2 2、正用、逆用，注意成立的条件、正用、逆用，注意成立的条件3 3、变形用、变形用1、基本不等式可以叙述为基本不等式可以叙述为:从从数列数列的角度来看：的角度来看：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项两个正数的等差中项不小于它们的等比中项例例1:证明证明:证明证明:1 1、已知、已知a0,b0,a0,b0,求证求证 .变式训练变式训练:2 2、已知、已知a a、b b、c c 为两两不相等的实为两两不相等的实数，求证数，求证a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0小结：小结：