2021年上海高考数学冲刺直通车07不等式（专练）教师版.pdf-淘文阁

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1、考点0 7不等式但点罚一、单选题1.(2 0 2 0 上海高三专题练习)不等式二4 0的解集为()x 2A.1,2 B.1,2)C.(-c o,l u 2,+o o)D.(-o o,l)u(2,+o o)【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解.f U-l）（x-2）0【详解】原不等式可化为 c c ，解得1 W 龙 1，则是的（）xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.【详解】V x 0 0 xl，则 A =x|0 尤 1 =0%1,则 8 =x 0 x b c B.

2、（ab）c 0 C.D.c-2a b,且，,选项C错误；a b由不等式的性质可知一2ac-2 a l无解，当实数h取得最大值时，方程匕cos X工=0,xe 0,2018的解得个数为.2【答案】322【分析】根据余弦函数的二倍角公式将不等式acosx+2)cos2xl转化为4/7cos2X4-67COSX-2/7-1 0，再令cosx=f,则/G-1,1,可得不等式44 2 +一2。一10在1 卜14/?xl2+axl-2Z?-l l转化为acosx+242cos2%1)1,即 4/7cos2jt+acosx-2/?-l 0，令cos%=，则/目1,1,所以由题意得不等式4机2+m 2b 10

3、在无解，4Z?xl2 4-tzx 1-26-1 0 1 1所以 ,、2/、，解得所以人的最大值为彳，4/7x(-l)+x(-l)-2Z?-l0 2 2所以方程cosx-g=0,x 0,2018化为geosX一；=0,XG 0,2018,即 cosx=1,XG0,2018,o n 1 Q所以042七？1尸(幻3/a)+2 =0的实根的个数是_.【答案】5【分析】由方程得/(幻=2 或f(x)=1,结合分段函数/(x)解析式，即可求实根%的个数.【详解】由/)一 3/(+2 =0 知:t(x)=2 或 f(x)=l,二由函数f(x)解析式，知：当/。)=2 时，有炉1 =2,解得x =6，满足

4、|%|1；当/。)=1 时，若 co s 5 =l 且一IWxWl,有尤=0：若/一 1 =1，解得了 =&，满足|x|l；.综上知：方程一共有5个根.故答案为：5【点睛】本题考查了由已知方程，结合分段函数解析式判断根的个数，属于简单题.7.(2 0 2 0 上海市复兴高级中学高三期中)若点A(l,2)和 B(l,1)在直线x +2 y?=()的同侧，则机的取值范围是.【答案】(7,-1)(5,+w)【分析】两点在直线同侧，则将点代入直线方程后后符号相同，即乘积大于0,可构造关于，的不等式，解不等式即可.【详解】解：点A(l,2)和在直线x+2 y-m =0的同侧，则有(1+2 x 2 m)(

5、l+2 x(l)w i)0,即(m-5)(m+l)0解得：5 或?-1.故答案为：(5,+8)8.(2 0 2 0上海市复兴高级中学高三期中)设集合A =x|x 2 2 x W o,x e H ,则集合A Z中有个元素.【答案】3【分析】解出集合A，再利用集合间的基本运算即可求解.【详解】解：由 2 x 0,解得：0 W x W 2,.A =x 0 x 0，g(x)=x +a必立 2,(x)=sm +2,若对于任意为G(2,4 都有x x-5 x+7g(x,)/?(x2),求实数。的取值范围.【答案】(1)3x/(%)1 r ax，利用参变分离求实数。的取值范围.【详解】【解】(

6、1)由题意得：2 x l W 3,解得：3 x 4.(2)当 X(O,1 时，/(X)=1,X-/Z(X)=XG(0,1,于是(x (x)=l,值域为 1 当x l,2 时，(x)=2,x-X x)=2 x e(2,4 ,于是(r(x)=3或4,值域为 3,4 当x e(2,3 时，(x)=3,x 4(x)=3 x w(6,9 ,于是(%(%)=7 或8或 9,值域为 7,8,9 设 w N*，当时，(x)=，所以r(x)=x的取值范围为(/?2-n,n2,-所以/(x)在x e (-上的函数值的个数为“，-由于区间(川-,n2与(+1)2 一(+1),(+1)2 的交集为空集,故中的元

7、素个数为1 +2 +3+=生押.-1 4 5(3)由于0二-,l s i n-x+2 3,因此(x)4恒成立，当x e(2,3 时，2Y 2Ya 2 x A恒成立，因为(2%-女),皿=3,所以a 3当x c(3,4 时，3 一Y上2 恒成立，因为32%比二2 (X 2),转化为8(%)/(力3,再利用参变分离求。的取值范围.1 0.(2 0 1 8上海市奉贤区奉城高级中学高三期中)已知函数/(力=2 +二，实数a eR且a/0.a a x(1)设0(根“，判断函数在加,上的单调性，并说明理由；设0 20时，f(x)的定义域和值域都是九求”机的最大值；(3)若x N l时

8、不等式刈 2 x恒成立，求实数。的取值范围.【答案】(1)单调递增，理由见解析；(2)勺5；(3)且3 2【分析】(1)根据函数单调性的定义先设。根玉 4，然后化简判断了(x j/(%)的正负，即可判断单调性；(2)由函数单调性可得见是方程/一(加2+力尤+1=。的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出。的范围，进而求出一m的最大值：1 ,1 1(3)不等式等价于一一2x2a2+aW2x+对x N l恒成立，求出Mx)=2x+-最小值和X X xg(x)=-2 x的最大值即可解出.X【详解】(1)设0vmxix2 nf则小)寸=-1+土=标0m xlx2 0,西一七，/(xt)/(

9、),故/(x)在m,n 上单调递增；(2)由(1)可得0 加 02a2+a Xj+x2=-3 0a1八=0C l解得a !，2n-m=4a2 4a 3=aLe-uH-1-3-6-，（2=3时，一根最大值为生8；2 3(3)2/U)=2 2+a-p则不等式,2/(%)归2 x对x N l恒成立，,1 1,1即一2 x 2a +Q 2x,即2x 2cr+。因为 1+%2+%3、2I+a22+a23 +%2+。33 成等比数歹I ，所以3 6 2、3%、3 a 3 2成等比数列即“2、%2、为2成等比数列，所以第2列中，%2、%2、。3 2必成等比数列，故正确.因为4 2、a22%2成等比数列，故

10、4 2 a 3 2=起2 ,故弓2 +。3 2 -%2a32=2 4 2 =。2 1 +。2 3，故正确.由 a”+。2 +4 1 3 +a2 +a22+“2 3 +。3 1 +“3 2 +。3 3 =9 可得4 2 +4 2 +%2 =3，而“2+。3 2 2 2 a 2 2，故 3 2 3 a 2 2 即 4 2 W 1，故正确.q 2 3、取矩阵为1 4 7 ，满足每行中三个数成等差数列，且。+42+43、。2 1+。2 2+。2 3、%|+。3 2+。3 3成L 8 11,等比数列，但。2 1、I不成等比数列，故不成立.故选C.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1

11、）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题.2.（2 0 1 8上海杨浦区）已知长方体的表面积为一a/,所有楼长的总和为2 4 c m.那么，长方体的体对角2线与棱所成的最大角为（）.1A.a r c c o s 3B.a r c c o s 3C.a r c c o s 9D 娓D.a r c c o s-9【答案】D45【解析】设三条棱a.o 0 0 27Q+QC+C=,a+b+c =6,a +h2+c2=一4 2+Z?2+c2 6r2+2hc=a2+2

12、.一。（6一。）整理可得储 4q+3wo.1。2；.最短棱长为1，体对角线长为城2c o s 6-j=-故选 D3屈 9点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值3.（2 0 1 8上海市控江中学高三开学考试）已知&e N*，x,y,ze R+,若快打*,则对此不等式描述正确的是（）A.若左=5,则至少许住一个以x，y，z为边长的等边三角形B.若k=6,则对任意满足不等式的x，y z期许在以x,y,z为边长的三角形C.若左=7,则对任意满足不等式的y，z鄢仔

13、在以x,z为边长的三角形D.若攵=8,则对满足不等式的x，y，z不停住以x,y,z为边长的直角三角形【答案】B2 2 2 2 2 2【解析】本题可用排除法，山/+/+22=+工_ 上上+三之二2盯+产+次，2 2 2对于A，若k=5,可得孙+”+次f +y2 +z2,故不存在这样的x,y,z,A错误，排除A；对于C,x=l,y=l,z=2时，7（肛+尸+）5卜2+,2+?2）成立，而以x,y,z为边的三角形不存在，。错误，排除C；对于。，x=l,y=l,z=0时，8（肛+yz+zx）5（x2 +；/+z2）成立，存在以x,y,z为边的三角形为直角三角形，故。错误，排除故选B.方法点睛

14、】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值,则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型：（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.二、填空题4.（2 0 2 0上海崇明区高三月考）已知x+

15、3 y-l=0,则2，+8 最小值_ _ _ _ _ _ _ _【答案】2亚【分析】由已知条件和基本不等式可得2,+8、=2 +2 3 整2万工彳，代入可得答案.【详解】因为x+3 y-l =。,所以2*+8=2*+2 3 y 2 J 2”西=2也*%=2收，当且仅当x =3 y=g时，取等号，故答案为：2加.【点睛】本题考查基本不等式的应用之求最值，属于中档题.5.（2 0 2 0徐汇区上海中学高三期中）知a 0,b0,且a+3b=-则b的最大值为.b a【答案】I【分析】先将力分离，利用基本不等式求得a+L范围，即得！一3方范围，再由已知条件即得结果.a b【详解】由。+3/?=-,得

16、一一3b=a i.b a b a又a 0,所以a+，N2（当且仅当。=1时取等号），即得43桁2,即得一1 W后!b 3乂办0,得0 0,那么，当代数式才+二一六取最小值时，点P（a,勿的坐标为b（a-b）【答案】（2五，夜）【分析】先根据基本不等式得到双。-垃,（处=:;再利用基本不等式即可求解.【详解】解：因为a 6 0:.伏勿4（+；一 j=；,1 6 ,6 4 i c i4=6 4 a 2 /2所以“+工 -+2 7 6 4=1 6.当且仅当,即心时取等号，b（a-b）a b=a-b b=J 2此时P（a,份的坐标为：（2 7 2,7 2）.故答案为：（2 7 2,7

17、 2）.【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题.7 T7.（2 0 1 8上海静安区高三二模）在直角三角形A B C中，Z A =-,AB=3,A C =4,E为三角形A B C25内一点，且A E =，若A E =2 A B +A C,则3 4+4的最大值等于.【答案】1【分析】先以直角建系,将A E =#转化为（3/l）2+（4）2=g,然后结合基本不等式求最值.7C【详解】在直角一角形A B C中,Z A =一，故以A点为原点，以A B,AC为轴正方向建系：2则 AB=（3,0）,A C =（0,4）,所以 A E =2 A B +A C =

18、（3 2,4/）,因为 A E =乎，所以（3 2+（4=；（40,0）,又（3 2）2 +）2 =（32+4）？一 2 3 X 4 =；所以（3 X+4）2 ；=2-3/1 -4 W 2（3，；4）2（当且仅当 3、=4 =；时等号成立），所以（3/1 +一；42 J%；%，解得3/1 +4 W 1,故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量，考查基本不等式，需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角，垂直等条件时，可以考虑建系应用坐标求解.三、解答题8.（2 0 2 0徐汇区上海中学高三期中）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放。（0 a W 4,a e R）亿元的消费

19、券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的3+X c C Ca f（x）-0 x 1 0 x 4 0%=4,解得0 x 1 0 x 4 0%=4,，解得2 W x W 5,.,.1 WXW 5,2x 2 7-（x +4）+m x 4；3-x在xe 0,2 上恒成立，6-2 x +机出 4 m 2）（3 7）3-x 3+x设 f =x+3 e 3,5 ,x =/_3n，Z（2 _ 8）（6 f）=2 0 _ 2（f +竺）t tz n 2 0-8 /6 mnin=2 0-8 7 6 .【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.注意：（1）不等

20、式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t 表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.9.（2 0 2 0 上海市行知中学高三开学考试）（1）设x N l,求点+与点。（1,0）间距离的最小值;I X X J（2）如图所示，一圆锥的底面半径与高都是6 （cm）,在圆锥内部有一个内接的倒置小圆锥（小圆锥的底面平行于大圆锥的底面，小圆锥的顶点位于

21、大圆锥的底面中心），其中小圆锥的底面半径为/（cm）,高为（cm）,求小圆锥体积的最大值.【分析】（1）计算出|尸。，整理成关于x +4的函数，由基本不等式求得x +工的最小值，再结合二次函数X X知识可得|PQ|和最小值.（2）设小圆锥的底半径为广，高为/，由两个圆锥的关系得r+=6，由体积化工得出小圆锥的体积，再由基本不等式得最大值.【详解】（1）解：距离小+汨=/0(尤+口+1+口+|-4=朴+|尚 4由=2,当且仅当X=1时等号成立，.x u l时，|PQ Im in=l；V x/n in(2)解：由小圆锥的底半径为r,高为6(如图)，由丝=工=6 =r+=6,O A 6 6I m

22、*1V 心如“1 ，兀 c,(r+r+2/?Y 7T(2r+2h 321小圆锥的体积V、=一万广。=一八八2打W-=.=,3 6 6 3 J 6 3 J 3当且仅当 r=2，即=2(cm),r=4(cm)时，V+l,nax=(cm3).【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查基本不等式在距离与体积上的应用.解题关键是列铝函数关系式，出现定值，然后由基本不等式得最值.）拓展练）一、单选题1.（2 0 19上海市七宝中学高三期末）抛物线），=2上有一动弦A 8,中点为M,且弦A 8的长度为3,则点M的纵坐标的最小值为（）【答案】A【分析】由题意设A（玉,y j，B（x2,y2）,直线AB的方程

23、为 =+匕，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点M的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设A（x,，y J,B（x2,y2）,直线A3的方程为 =丘+小y =kx+b联立方程 c 2 ，整理得2/-依功=0.,.=二+助0，%+=|，IA B=+k2 +2b点M的纵坐标为=X；+考=+。，（%0）弦 AB 的长度为 3 V 1 7 F .栏+2b=3，即（1 +/）.（三 +2勿=9（1+4%4办（+1）=9,整理得（1+4%-砌（%+）=9,即（1+43-4 b）4 4%+4 5）=3 6根据基本不等式，（1 +4%劭）+（4%+4份 2 j（l +

24、4%4式）1 4%+砌=12,当且仅当人=：,%=?8 8时取等，即1 +8为 2 12,1.%2工，点的纵坐标的最小值为二.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在；（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元；（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断；（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.2.（

25、2 02 0 上海高三专题练习）用长度分别为2,3 4 5,6 （单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）.A.8 x/5 c m2 B.6 V 10c m2 C.3 0 1?D.2 0c m2【答案】B【分析】利用海伦面积公式确定三角形面积的最大取法：三角形三边长最接近时面积最大，再确定三边长最接近的情况，最后求出对应三角形面积.【详解】设三角形的三边分别为 c,令 =；+，则P=2 +3 +：+5 +6 =IO由海伦公式得三角形的面积为S =1p(p_ a)(p_ b)(p_ c)=/0(1 0 _幻(10_份(10_。)Ji0 x

26、(+i o i o=12 ,当且仅当。=匕=。=型时取等号，显然等于号取不到，V 3 9 3所以S 36x 9(*)，化简得。5 2 2 4 4,所以第五个方程有解.设方程J C-axx+b=0与方程JC2 一名%+d =0的判别式分别为4和%，则 4+A 9 =（片_%）+（为2 一%”空立一4侑+妇=粤 _一4乂2=2（%2一他）2所以4 0和A。至多一个成立，同理可知，4。和4 8 。至多一个成立,&。和4 7 0至多一个成立,八4。和八6 。至多一个成立，所以在所给的9个方程中无实数解的方程最多4个.故选:B【点睛】本题考查等差数列前项和公式及等差数列性质与一元二次方程解的情况

27、相结合的问题；利用等差数列的性质和基本不等式得到4+金2 0是求解本题的关键;属于综合型强，难度大型试题.4.（2 0 2 0.徐汇区.上海中学高三其他模拟）如图，己知产为抛物线2=2 X的焦点，点A，3在该抛物线上且位于x轴的两侧，O A O B =3（其中。为坐标原点），则A 3。与丫3%面积之差的最小值是（）A.2 B.3 C.3君 D.7 1（）【答案】C【解析】设直线AB的方程为x =my+（0），由2 c 消去X整理得y2-2my-2=0,y=2 x显然A =4机2+8 0，设4%,Y）,5（工2，%）（,，必），则乂%=2，2 2*#-O A-O B =x1x2+yy2=j+y

28、%=-2，由题意得及？2 =3，即/一2九一3 二 0，解得=3或=一1 （舍去）.直线A8与x轴的交点为以3,0）=；|OC|yt-y2-|OF|y2=（乂 -%）+g x；%=j%z j f x 3 =3 ，当且仅当=石7，即乂=石时等号成立.故ABO与BFO面积之差的最小值是3百.选C.点睛：(1)设直线方程时，当直线斜率是否存在不知道时，为了避免讨论，可将直线方程设为=阳+的形式，其中当加=0时表示斜率不存在的情形.(2)解析几何中求最值时，可将所需求最值的量用某一参数表达出来，然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值.若用基本不等式求最值，不要忘了等号成立的条

29、件.二、填空题5.(2020上海市南洋模范中学高三月考)设f(x)是定义在R上的函数，若八0)=2008,且对任意x e R,满足/(X+2)-/(X)4 3-23/(X+6)-/(X)6 3.2 则/(2008)=【答案】2208+2007【分析】由/(x +2)/(x)V3-2*可得f(x+6)/(x)4 6 3-2,从而可得/(关+2)-/。)=3-2.从而可求了(2008)的值.【详解】因为f(x+2)-/(x)4 3-2,故/(X+4)/(X+2)3 2*=12-21/(x +6)-/(x +4)3-2v+4=48-2故/(x +6)-/(x)=/(x +6)-/(x+4)+f(

30、x+4)-f(x +2)+/(%+2)-/(%)63.2x,所以/(x +6)-/(x)=63 2*,所以/(x +2)-/(x)=3 2 故/(2008)=/(2008)-/(2006)+/(2006)-/(2004)+L+/(2)-/(0)+/(0)=3.22006+3-220M+L+3x20+20081_41004=3x-+2008=22008+2007,1-4故答案为：22 0,则当。=,时，+国2 0 1 9 同 b取得最小值.【答案】2 0 1 92 0 1 811a l a b【分析】利用已知条件，将”3 1+1转化为“|+”小|产亍，然后利用绝对值的性质结合基2 0 1

31、 9同 b 2 0 1 9 1 al 2 0 1 9 同 b本不等式，求得最小值，并求得此时。的值.1 k|a +b a a b I d 1 2【详解】-+=-+=-+-+-+-2 0 1 9|b 2 0 1 9 2 同 b 2 0 1 9 2 1 4 2 0 1 9 2 同 b 2 0 1 92 2 0 1 9当且仅当Eb 七I d 且时等号成立即一2市0 1 9.故答案为一 2 0 1 92 0 1 8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.7.（2 0 1 9上海市建平中学高三月考）已知,函数=x+0 +6在区

32、间（0,1）上有两个不同零点,则a2+（匕+l）a的取值范围是.【答案】0,I 1 6【分析】设函数“X）的两个不同的零点分别为占,，且不，用表示Y+S+l”后利用基本不等式可求。2+（b+1”的取值范围.【详解】设函数/（x）在（0,1）上的两个不同的零点分别为占,，则为,工2为/+云+。=0的两个不同的解，所以须+=一匕，%龙2=”，故/+（/?+l）a =x：考+（一芯+1）不兀2 =玉（xtx2 玉x2+1）=玉马（芯一l）（w -1）=玉玉（1 西）（1一 W），由基本不等式可得0 玉（1一%）；，0。一马）4；，故0 0的图像上，则此矩形绕X轴

33、旋转而成的儿何体的体积的最大值是1 +X兀【答案】-4【分析】求出y的范围，设出点A、8的坐标，根据A、B两点的纵坐标相等得到玉=1,再求出高力;根据圆柱体的体枳公式得到关于的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值.y f（x）=v =-/=1 1【详解】由 1 +x2 1 v 1 2,当且仅当x =l时取等号，得x+=；一+X 2.-X X yx W又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（，y），3点的坐标为5 2，y）,则圆柱的底面圆半径为y,高为/?=/一%，且/（%）=丁三，/（X2）=T?，-1 I J L I 人X.所以看即（乙一玉乂X -1）=0,所以%

34、=1,所以2 =（+玉）2 4X2再=（X+；）十4,所以公肾二吁Z所以%柱=万丁,=万4 y 2 =；乃 4丫2（1_ 4丁）-7T（4厂+（：-4 4）,_当且仅当乙乙乙 J fx/7 7 T 71y =时取等号，故此矩形绕X轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为二.故答案为：-4 4 4【点睛】本题考查空间几何体的体积计算和基本不等式的应川问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.三、解答题9.（2 0 2 1 上海高三专题练习）已知 O F Q的面积为2#,OF-FQ=m（2）设以。为中心，F为焦点的双曲线经过点Q

36、mcos 6 m得 V 6 m 4 V 6.-.l t an 0,方0),Q(x i,y),则尸Q =(X c,y ),OFQ 的面积口。目 Jy|=2n，：.=她，2c乂由 OF-FQ=(GOA(X1_C，M)=(XI_C)C=乎-1 *,：.%=旦 c，则I 0。1=+才=榨+%卜行；2小，当且仅当c=4时，|Q|最小.6 6 _ 此时。的坐标为(遥，石)或(逐,一指).由此可得(),点P，。均在曲线C上，且点P的横坐标等于将,点。的纵坐标为先.(1)设/(x)=sinx,xe0,夸 ,丸=3,求点P,。的坐标；(2)设/(x)=,x e d,2 ,求 M PQ的面积的最大值及相应;I的

37、值.x 2Q 1；(2)彳=1时，最大值为-.800j 八27r【分析】(1)/(x)=sinx,xe 0,2=3,由题设知a=0,/?=3-,进而算出七,为,再代入函数中71【答案】（I）Z5 J ,Q arcsink 2 2/8 o求出点P的纵坐标，点Q的横坐标，即可求出点P,。的坐标.1 1 1cg一,九不2,得2(2)由/(幻X1-+221 ._ 9 =2,毛=,%L1 +X2+2A M Phy0-,M Q h xQ-E 尤%I I 1 J I 1 )RtvMPQ=-x I A/P|x|A/Q|=-x y0-x0-=冗0%H-2,再用换元法和基本不等2 21 -o 7 无。%)式求最

38、值.2 7r【详解】/(x)=sinx,xe 0,4=3,其两端点为 A(a J(a),8(。,/(。)2 1,a=。,b=%-9/-3 x-s i n O +3 s i n 嗓后3 _ 兀、_ 3 _ 3W ,1+3 2 1+3 8则点P的纵坐标s i n =1，点Q的横坐标s i n尤=,x =ar cs i n W2 8 8,Q.3A/3 36 1ar cs m-,-8 8 J(2)/(x)=,2x 2:.a=一 ,b=2,21+22 2+122 2E%E由题得：1 9|二%-!,|加。|=/一,，1 1 1 1 1 1(1 RMPQ=-x|A/P|x|M2|=-x%-x0-=-X o%

39、+-2 I，2 2 1 x0 H y0)2 1%为 J又Xo%1 1 17-+2 2 2 +-2 22+2 +12 x 2 =41 +2 1 +2%+2 4 +l9-42+1-A2+乂4 0,A.H-F2 4,2雪 2 人 11+2942 +-+222 5（当且仅当之=1时取等），即161 25/(25 c”1 Q 先 1而令/=卜而 S心MP Q=5C+：_2 J,i(25-下面证y=x+-在1,7y上是递增函数，x I 16,j (.25 1 ,111)(%,-x2)(x.x9-1)fH x xpx2 G 1,%,则 y-y z U F-1 冬-*-=I 16 I%J XlX21 (2

40、5-QX1-X2 0,即丫=*+一在 1,7y 上是递增函数，x k 16(nc 1 OS 1 ft 1 Q 1时，取最大值彳 77+5?2=忝？M PQ 的最大值为而10 Z 1O ND oUU oUUI 16【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方一、单选

41、题1.(2020上海杨浦区高三一模)设 a 6 (),c w O,则下列不等式中，恒成立的是()1 1 ,c cA.B.ac bc C.acbc D.6 0,所以，0,所以，一 0,A 选项错误；ab ab b a对于B选项，C H O,则0 2 0，由不等式的基本性质可得公2 b c 2,B选项正确；对于C选项，若c 0,由不等式的基本性质可得a c-0,由不等式的基本性质可得一一，D选项借工.b a a b故选：D.2.(2 0 1 9 上海浦东新区华师大二附中高三三模)若集合4 =小 2-5 +4。,B =x 卜 41,则“a 2,3)”是“8A”的()A.充分非必要条件 B.必要非

42、充分条件C.充要条件 D.既非充分又不必要条件【答案】A【分析】解出集合A、5,由8 =A得出关于。的不等式组，求出实数。的取值范围，由此可判断出“a 2,3)”是“B A”的充分非必要条件.【详解】解不等式f_5x+4 ()，解得l x 4,.A =x l x 4 .解不等式,一。|1，即一解得a-lxa+l,.,.8 =x|a _ l x a +l .8 =4,则有解得2WaW3.因此，“a 2,3)”是的充分非必要条件.故选A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力,属于中等题.3.(2 0 2 0 上海杨浦区高三二模)

43、不等式上二!4 0的解集为()x-2A.1,2 J B.1,2)C.(-o o,l u 2,+c o)D.(-o o,l)u(2,+o o)【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解.注意分母不为0.【详解】原不等式可化为 c八，解得lx C.4 1 6 c m2 D.4 1 8 c m2【答案】C【分析】设出长方体的三条棱的长度为a,。,C,根据表面积公式5 =2(+。0+)求解出。功,。在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.【详解】设长方体的三条棱的长度为所以长方体表面积 S -2(a b+hc+a c ()力 0)的最大值，根据J茄可

44、知最大值为 q吉)，此时要注意取等号的条件是否成立，若取等号的条件不成立,则满足条件的。力相差最小时可取得最大值.二、填空题5.(2 02 0上海奉贤区高三一模)设集合A =卜卜=l g(*2-4 x +5),则从=.【答案】R【分析】求解函数y =l g(f 4 x+5)的定义域，即只需满足 2一4%+50即可.【详解】要使函数y =l g(%2 4 x+5)有意义，则只需X 2 4X+50,又/l,y l,若I n x、I n y的算术平均值是1,则/、/的几何平均值(6是自然对数的底)的最小值是.【答案后【分析】由算术平均数的定义可得x y =e2,/、/的

45、几何平均值为=利用基本不等式解.【详解】因为I n x、I n y的算术平均值是1,所以风早2=1,即始孙=2,所以孙=e?,、的几何平均值为yjex-ey,由基本不等式可得：=7八7?=7?#=朽,当且仅当x =y =e时等号成立，所以/、/的几何平均值的最小值是朽，故答案为：朽【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件得出孙=e2乘积是定值，而、的几何平均值为J e =必7最小就等价于+最小，显然利用基本不等式可求解7.（2 02 0上海浦东新区高三一模）对于任意的正实数。，b,则+的取值范围为5。+3/?【答案】L2 J）【分析】法一，原式上下同时除以

46、。，再构造斜率的几何意义，求表示打算的取值范围：法二，原式上下同时除以a后，利用换元，再变形，利用基本不等式求表达式的取值范围.【详解】法一：转化为斜率先把2缶+化作2近 J j,故可看作5。+3 8 c o。3 +3 一a与仇-5,-2四）两点的斜率其中点A在9一/=（0,）0）上,数形结合（如下图）,故怎B 最小值为相切时取得，设 y +20=&（x +5）,联立，由A =0 解得仁=,匕=一二 7=（舍）当2-+8 时，.2-13 6 a y+141=左(x +5)7（极限思想）a故 2 缶+“/+也的取值范围是5。+3 b法二：令一=f 0,a2A/2+.1+95。+3 人5

47、+3-a5 +3 1再令3，=x(x 0),则原式=2&+,1+工5 +x2 人+岳5 +x夜.山x +5则lypld+lC l +9b-02a+J 1+9-,当且仅当 =1时取等号,yx+2m再令机=4 +2 2，则 x +5 -(m-2 y+51 0/0）上运动，宜采用数形结合分析问题，法二的关键是通过换元，降次，变形再利用基本不等式求取值范围.三、解答题8.（2 0 2 0 上海松江区高三一模）已知函数/（x）=6 s i n x c o s x +cos 2 x +l.(1)求f(x)的最小正周期和值域;(2)若对任意x e R,/(幻人/(幻一2 4 0的恒成立，求实数人的取值范围

48、.1 51 17【答案】(1)最小正周期乃，值域为;(2)k ._2 2 10【分析】(1)利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域；(2)设=由(1)得fe E g ,转化为二次不等式恒成立问题，分离参数，求取值范围._2 2_【详解】解：(1)/(x)=/3sinxcosx4-cos2x 3+12.g(r)=r在fet9.(2020.上海长宁区.高三一模)设力=+分2 2x(xeR),其中常数aeR.判断函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由；3 1(2)若不等式/(力 3在区间上有解，求实数。的取值范围；(3)已知：若对函数y=(%)定义域内的任意x,都

49、有(x)+(2加-x)=2，则函数y=/z(x)的图象有对称中心(根,).利用以上结论探究：对于任意的实数。，函数y=/(x)是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用。表示)；若不是，证明你的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)(-,+oo)：(3)有对称中心，对称中心为(_4,2+即).2 3 27 3V3.。cos2x+l V3.o 1 c 3.J 乃)3 sin 2x H-F1 =sin 2x d cos 2x d=sin 2x H 2 2 2 2 2 6)2,-1 5./(x)的为最小正周期T=%，值域为/(X)W；2 2 21 5,(2)记 x)=f,则 fe,由 H/(X)

50、2K0 恒成立,/一2知一H-2W 0恒成立，即k 2/一2恒成立，-j_ 522时单调递增gmax(D=g4=历17 的取值范围是人之1需7【分析】当以=0时，/(%)=-/(T),y=x)为奇函数:当axO时,/(-1)/(1),/(%)既不是奇函数也不是偶函数：1 2 1(2)转化为a -x +-在区间12 x 2有解，则+,利用单调性求出最小值可得解;12 x 人M(3)假设存在对称中心(，,)，由/(尤)+/(2机幻=2恒成立，可求得结果.【详解】(1)当a=0时，/(x)=d-2 x,/(-x)=-x3+2 x所以/(x)=-/(x ),y=/(x)为奇函数.当ao()时，/(l

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