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1、2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷一、选 择 题（共6题，每题4分，满分24分）.1.（4分）已知抛物线y=（a-1）/的开口向上，那么。的取值可以是（）A.-2 B.-1 C.0 D.22.（4分）如图，点C、。分别在A A O B的边80、AO的延长线上，A B/CD,A O-.D O=3.（4分）如图，A C与8力相交于点O,ZB=ZC,如果O C：OB=2：3,那么下列说法史上屈 而SADOC 2S A A AO 30 A 3 CADOC 2.-CAA0B 34.（4分）已知向量之、石、3为非零向量，下列条件中，不 能 判 定 的 是（）A-I a I=3 I
2、b I B.a=2 c，b=c c-a I I c b/c D-a=-5b5.（4分）如果抛物线的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点的坐标是（6,0）,那么它与x轴的一个交点的坐标是（）A.（-6,0）B.（-4,0）C.（-2,0）D.（4,0）6.（4分）下列说法中，不一定成立的是（）A.所有的等边三角形都相似B.有一个钝角相等的两个等腰三角形相似C.腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似D.两边对应成比例的两个直角三角形相似二.填空题（本大题共12题，每题4 分，满分48分）7.（4分）如果三=?,那么史工=_.y 3 y8.（4分）己 知 点P是 线 段AB的黄金分割点（A P 8
3、P）,如果&=遥-1，那 么A B9.（4分）如图，已知。6c,它们依次交直线加、”于点A、B、C和点 、E、F,如果 A B=1,A C=4,D E=那么 EF=.1 0.（4分）若向量;与单位向量彳的方向相反，且|=2,则之=.（用W表示）1 1.（4分）抛物线y=-2 （x-1）2-1的对称轴是直线.1 2.（4分）已知二次函数y=N+3 x+m -4的图象经过原点，那么?=.1 3.（4分）已知点A （x i,y i）,B（X2,yi）在抛物线y=-N上，如果M X 2”、或“=”）1 4.（4分）如图，在等边 A BC中，4 B=1 2,P、。分别是边8C、4 c上的点，S.ZA P
4、Q=60 ,P C=8,则 Q C 的长是.1 5.（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和1 2,那么这个直角三角形的重心到直 角 顶 点 的 距 离 是.1 6.（4分）如图，将等边 A BC分割成9个全等的小等边三角形，点。是其中一个小等边三角形的顶点，设 标=Z，BC =b 那么向量而=.（用向量t E表示）A1 7.（4分）如图，在AAB C中，A 5=6,AC=8,。是边AB 上一点，且 AQ=2,如果点E在边4c上，且 4 O E与 A BC 相似，那么AE=.1 8.（4 分）如图，在 R t Z 4 BC 中，N C=90 ,A B=6,AC=J元，C 是斜边 A B
5、的中线，将 A BC 绕点A旋转，点 8、C的对应点分别是点E、F,如果点F在射线8上，那么沁=_SAAEF三.解答题（本大题共7 题，满分78分）1 9.（1 0 分）如图，已知两个不平行的向量之、f e.先化简，再求作：2 （g-1（2 京 元）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）2 0.（1 0 分）已知二次函数的图象经过点A （-1,1）、8（1,3）和C（0,1）,求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴.2 1.（1 0 分）已知抛物线丫=以2 -4 x+经 过 点（-3,2）.(1)求 a 的值，并将抛物线的表达式写成y=a(x+?)2+k 的形式；(2)将
6、(1)中的抛物线先向右平移”个单位，再向下平移个单位.平移后新的抛物线的表达式为:(用含字母的式子表示)如果新的抛物线的顶点在第四象限，求的取值范围.2 2.(1 0 分)如 图.在 a A B C 和 A O E 中，Z B A C=Z )A E=9 0 ,A B=3 百，皿 班,BC=6,DE=2.(1)求证：R t Z A B Cs R t/A )E；(2)求典的值.2 3.(1 2 分)己知：如图，在 A B C和?!)中，A。是 A B C的角平分线，N A D E=N B,边。E与 AC 相交于点凡(1)求证：A F B D=A D D F；(2)如果 4 E B C,求证：AB
7、AF=DF,DE.2 4.(1 2 分)在平面直角坐标系x O y 中(如 图)，抛物线的顶点是A (1,-5),且经过点 B (-1,-1),过点3作 2 C x 轴，交抛物线的对称轴于点C.(1)求抛物线的表达式和点C 的坐标；(2)联结AB,如果点。是该抛物线上一点，且位于第一象限，当/D BC=NBAC 时，求点D的坐标.2 5.（1 4 分）在矩形4 8 c o 中，A B=6,AO=8,点 P是线段B Z）上的一动点（不与点8、。重合），过点尸作P E 1 _8。，交射线0c于点E,联结B E.（1）如 图 1,当点E与点C 重合时，求 B P 的长；（2）当直线BE与直线A 交于
8、点F时，设 B P=x,A F=y;如图2,点尸在线段。A的延长线上，求 y关于x的函数关系式，并写出定义域；如果A BPE与 8 A F 相似，求 BP的长.图 1图2的用图参考答案一、选 择 题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.（4分）已知抛物线y=（a-1）N的开口向上，那么。的取值可以是（）A.-2 B.-1 C.0 D.2【分析】利用二次函数图象与系数的关系得到a-1 0,然后解不等式即可.解：抛物线丫=（a-l）N开口向上，：.a-1 0,：.a l,那么的取值可以是2.故选：D.【点
9、评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a x 2+fer+c （a W O）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大 小.当。0时，抛物线向上开口；当“V O时，抛物线向下开口.2.（4分）如图，点C、。分别在a A O B的边8 0、A。的延长线上，A B/CD,A O：D O=1：2,那么下列结论中，一定成立的是（）A.B O：B C=1：2 B.CO：B C=2：3 C.A B：CD=1：3 D.A D：B C=l：2【分析】根据 A B C ,证明A O BS/Q O C,得到 A B：C D=B O：C O A O：0 0=1：2,即可解决问题.解：A B/CD,.N
10、 A=N ,Z B=Z C,:.XAOBSXDOC,：.A B：C D=B O：C O=A。：0 0=1：2,故 C 选项错误；A、:B O：CO=1：2,：.B 0：B C=1：(2+1)=1：3,故 A 选项错误;8、,:B O：CO=1：2,.CO：。0=2：1,:.CO：B C=2：(1+2)=2：3,故 B 选项正确；。、由 A 8：C D=B O：C O=A O：0 0=1：2 不能得出 A D：B C=1：2,故。选项错误.故选：B.【点评】本题主要考平行线的性质、相似三角形对应边比例和比例式的变形，熟练运用比例的性质是解题的关键.3.(4分)如图，A C与8。相交于点O,Z B
11、=Z C,如果O C：0 8=2：3,那么下列说法 CADOC 2 八 SADOC 2C-7-而 D.-而UA A O B S bA A O B d【分析】根据题意可得N C=N B,Z D O C=Z A O B,从而可以得到 (%-A O B,然后即可得到两个三角形的相似比，从而可以得到它们的面积比，然后即可判断各个选项是否符合题意.解：Z C=Z B,Z D O C=ZA OB,OC：0B=2：3,:.D O S/XAOB,.罂华单些，故选项&B、C正确，不符合题意，OA B A CAAOB 3.;D OC q,故选项。错误，符合题意；SA A OB 9故选：D.【点评】本题考查相似三角
12、形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的判定和性质解答.4.（4分）已知向量之、石、3为非零向量，下列条件中，不 能 判 定 的 是（）A-I a I=3 I b I B.a=2 c,b=c C.a/c，b I I c D-a=-5 b【分析】根据平面向量的性质逐一判断即可.解：,；覆=3后1，不能确定两个向量的方向，无法判断之4，选项A符合题意；a=2 c b=c,a-2b-二E，选项B不符合题意；a c，b c，.二石，选 项C,不符合题意；a=-5 b，之E，选项。，不符合题意；故选：A.【点评】本题考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键.5.（4分）
13、如果抛物线的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点的坐标是（6,0）,那么它与x轴的一个交点的坐 标 是（）A.（-6,0）B.（-4,0）C.（-2,0）D.（4,0）【分析】根据抛物线的对称性解答即可.解：；抛物线与x轴的一个交点坐标为（6,0）,对称轴为直线x=2,.抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2,0）,故选：C.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键.6.（4分）下列说法中，不一定成立的是（）A.所有的等边三角形都相似B.有一个钝角相等的两个等腰三角形相似C.腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似D.两边对应成比例的两个直角三角形相似【分析】
14、根据相似三角形的判定定理进行判定即可.解：A、所有的等边三角形都相似一定成立；8、有一个钝角相等的两个等腰三角形相似一定成立；C、腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似一定成立；。、两边对应成比例的两个直角三角形相似不一定成立，故选：D.【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.二.填 空 题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.（4分）如果三=2,那么2空=1.y 3 y 一3一【分析】由已知可得出，3x=2y,让等式两边都加上3 y,那 么3 x+3 y=5 y即3 （x+y）=5 y,那 么 也y 3解
15、：y 33x=2yA 3 （x+y）=5y x 4 y _ 5 y 3故答案为3 .【点评】本题主耍考查分式的基本性质，比较简单.8.（4分）已 知 点 尸 是 线 段 的 黄 金 分 割 点 尸），如 果 即/-1，那么2 .【分析】由黄金分割的定义得4 P=近 二 即 可 得 出 结 论.2解：点P是线段A 8的黄金分割点（A P B P）,AP=A/5-1-:.AP=JAB=娓-1,；.4 8=2,故答案为：2.【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值返二1叫做黄金2比.9.（4分）如图，已知
16、“6 c,它们依次交直线机、于点A、B、C和点。、E、F,如果 AB=1,AC=4,D E=,那么 EF=3近 .【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可.解：-：a/b/c,.A B D E ,A C D F.1衣-=-，4 D F解得。尸=4亚，:.EF=DF-D E=4 -近=3近.故答案为：3。万.【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键.10.（4 分）若向量;与单位向量：的方向相反，且口=2,则二=-2.（用表示）【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答.解：.向量之与单位向量1 的
17、方向相反，且17=2，.一一 尸,a 2 e-故答案为：-2 e.【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0 的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1 个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向.11.（4 分）抛物线v=-2 （x-1）2-1的对称轴是直线 x=l.【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴.解：.尸-2（X-I）2-1,该抛物线的对称轴是直线x=1,故答案为：X=l.【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由顶点式可以直接写出对称轴.1 2.（4分）已知二次函数），=/+3工+机-4的图象经过原点，那 么
18、加=4 .【分析】将（0,0）代入解析式求解.解：将（0,0）代入 y=x2+3x+m-4 0=w -4,解得m=4,故答案为：4.【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系.13.（4分）已知点A （xi,yi）,B（及，在抛物线y=-N上，如 果 乂 及 0,那么yi ”、或“=”）【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=的开口向下，对称轴为y轴，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以xi x2 0时，解：；y=-N,.抛物线开口向下，对称轴为y轴，V xi X 2 0,.yi y2.故答案为：由勾股定理得 A G -C/72=A/!=A Z）2-D H2,；.（
19、日产 _（半/=3 2-竽产解得x=2,.Q F=2,A/=1 5-（2 1 3）2=1 7 ,7 SAAEF=SAABCxVeMs43 5，.SAADF 12 A A E F 3故答案为：J.【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，关键在于构造直角三角形，利用勾股定理列出方程求得DF.三.解答题(本大题共7题，满分7 8分)1 9.(1 0分)如 图，已知两个不平行的向量之、b-先化简，再求作：2(之-E)-微(2之+4百(不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量)【分析】首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量.解：原式=2；-芯-
20、；-2芯=a -3 b-如图：A B=a 菽=3 4，则混即为所求.【点评】此题考查了平面向量的运算.注意掌握三角形法则是解此题的关键.2 0.(1 0分)已知二次函数的图象经过点A (-1,1),B (1,3)和C (0,1),求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴.【分析】把A (3,-2)、B (2,-3)、C (0,1)代入二次函数关系式，列出三元一次方程组进行计算即可，利用对称轴公式即可求得对称轴.解：设二次函数的解析式为y=o x 2+b x+c,.二次函数的图象经过点A (-1,1)、B (1,3)和C (0,1),a-b+c=la+b+c=3，c=la=l解得，
21、b=l，c=l，这个二次函数的解析式是y=N+x+l,.b _ 1,2 7-T.二次函数的对称轴为直线=【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键.2 1.(1 0分)已知抛物线 =以2-4+经过点(-3,2).(1)求。的值，并将抛物线的表达式写成y=a (x+)？+大的形式；(2)将(1)中的抛物线先向右平移个单位，再向下平移”个单位.平移后新的抛物线的表达式为 y=-(x+2 -)2+3-；(用含字母n的式子表示)如果新的抛物线的顶点在第四象限，求 的取值范围.【分析】(1)把 点(-3,2)代入抛物线 =以
22、2 -4 x+a,求出a的值，再转化成顶点式即可；(2)根据平移的规律解答；求出顶点坐标，根据题意列出不等式解答.解：(1)：抛物线y=a x 2-4 x+a经 过 点(-3,2),把x-3,y=2 代入 y=a x 2 -4 x+。，得 2=(-3)-32*a-4 X (-3)-a,解得。=-1.抛物线表达式为y=-N -4工-1写成(x+加2+攵的形式为：y=-(x+2)2+3.(2)根据平移规律y=-(x+2 -)2+3-n.由得，新抛物线得顶点坐标为(n-2,3-)，又顶点在第四象限，n-2 0：.“,3-n 3.【点评】本题主要考查定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象变换，掌握平
23、移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”.2 2.（1 0 分）如 图.在A B C 和中，/B A C=/D 4 E=9 0 ,AB=3,皿=料，B C=6,DE=2.(1)求证：R tA A B C R tA/l D E；（2）求典的值.【分析】（1）由勾股定理求得A C=3,A F=7DE2-A D2 =b则 普=黑=愿，即可根 据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明R t A/IBC-R t A A D E：（2）由地=,变形为期=/,而/BA O=/C4E=9 0 -Z C AD,即可证明4A C A E A D A EABD AC E,得 黑=线=愿.CE A C v【
24、解答】（1）证明：./BA C=N D 4E=9 0 ,4 B=3 ,&=向，B C=6,DE=2.MC=、BC2-AB2r 6 2-（3如 产=3,但近2的2 =62-（时）2 =1,.A B A D r-.氐=朝=如A R t A A BC R t A A D E.(2)解：由(1)得 丝=整，A C A E坐=组AD-AEZ B A D=Z C A E=9 0 0 -A CA D,.ABOs”CE,.段=岖=。CE A C v s果的值是【点评】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得AC=3,A E=1,进而求得黑=黑=,是解题的关键.AC AE23.(12
25、分)己知：如图，在ABC和4DE中，是4BC的角平分线，ZADE=ZB,边OE与AC相交于点(1)求证：AF-BDAD-DF；(2)如果AEB C,求证：ABAF=DFDE.【分析】(1)由ND4F=NA4Z),ZA D E=Z B,根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明ADFsAABO,得空AF_=里DF，所以AFO=AOF；AD BD(2)先由 A E/B C,得N C=N E 4C,则NAOB=/C4O+NC=NC4r+/E4C=NE A D,而N A O E=/B,则AO8S A ED 4,得丝=理，由 空 变 形 得 改=DE AD AD BD AF,则 岖=也，所以尸：.AD D
26、E AF【解答】(1)证明：是ABC的角平分线，J.ZDAFZBAD,：ZADE=ZB,：./ADF/ABD,AF_DF而 一 而：.AF*BDAD*DF.(2)证明：-：AE/BC,：.ZC=ZEAC,：.ZCAD+ZC=ZCAD+ZEAC,V ZADBZCAD+ZC,ZEAD=ZCAD+ZEAC,：.NADB=NEAD,：NADE=NB：.AADBSAEDA,._ _=BD,DE-AD由（1）得 整=米A D BD.D F =BD A F-A D，.=D F D E-A F，：.A B A F=DF-DE.【点评】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
27、的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明 A D FS/V J B。及XADBSX E D N是解题的关键.2 4.(1 2 分)在平面直角坐标系x O y 中(如 图)，抛物线的顶点是A (1,-5),且经过点 8(-1,-1),过点8作 BC x 轴，交抛物线的对称轴于点C.(1)求抛物线的表达式和点C 的坐标；(2)联结A8,如果点。是该抛物线上一点，且位于第一象限，当NOB C=/B AC 时，求点D的坐标.【分析】(1)根据抛物线的顶点是A (1,-5),可设抛物线的表达式为y=a (%-1)2-5,QW0),将 点 B(-1,-1)的坐标代入
28、表达式，即可得出结论；(2)设。(?，W2-2m-4)(w 0).过点。作。H _ L B C,垂足为点 4.所 以。=m2-2m-3,B H=m+l,根据题意可证明 BH Z Js a A CB,所以。H：B C=B H：AC,即(m2-2m-3)：2=(m+l)：5,解之即可.解：(1)由抛物线的顶点是4(1,-5),可设抛物线的表达式为y=(x-1)2-5,(a#0),抛物线经过点B(-1,-1),CAa-5=-1,得 a=l.抛物线的表达式为y=(尤-1)2-5.3。工轴，交抛物线的对称轴于点C,：.C(1,-1).(2)抛物线的一般式y=X 2-2x-4,设 )(/n,m2-2m-4
29、)(相 0).如图，连接区4,过点。作。_L B C,垂 足 为 点 连 接 3D在3打。与AC3中，/D H B=/B C A=90,ND BC=/BAC,:BHDs/ACB,：.DH：BC=BH：AC,：BC=2,AC=4,(m2-2/w-3)：2=(/n+1)：4,7解得m=-1 (舍)或fn=-：.D(,).2 4【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等相关知识，得出二次函数的解析式是解题关键.25.(14分)在矩形4 3 8 中，AB=6,A=8,点尸是线段8。上的一动点(不与点B、。重合），过点尸作交射线。C于点E,联结8
30、 E.（1）如 图1,当点E与点C重合时，求B P的长；（2）当直线B E与直线4。交于点尸时，设BP=x,A Fy,如图2,点尸在线段D 4的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;如果a B P E与BA F相似，求2尸的长.E图I图2 备用图【分析】（I）证明 CPBs BA D,利用相似三角形的性质求解:（2）证明BOCS AE D P,可 得 更=g1,推 出。（1 0-x）,由A B O E,推D C D B 3出 笑=磐，由此构建关系式，可得结论；D E D F分两种情形：外 点尸在线段D4的延长线上（如图2中），从 点 尸 在 线 段AQ的延长 线 上（如图3中），分别
31、求解即可.解：（1），四边形A B C C是矩形，A B=6,4 0=8,.8=6,B C=8,8 0=1 0,Z A=9 0 ,A D/CB,NA DB=NCB P,：CPLB D,.N C P B=N A=9 0 ,.CPBS/BAD,.B P =B C,而一访.B P=_ LI?(2)：PEB D,:.NDPE=NDCB=90 ,:NBDC=NEDP,.BDCs/EDP,.DP=ED瓦一而：BP=x,0 8=1 0,D P=0-x1 C D=6,10-x _ D E6-一元5D E=（1 0-x），3：AB/DE,A B=AFDE DF，6y5、-,不（10-x）y+8o尸 1 4 4（
32、0Vxv 丝）32-5x 5：/胡吕二/母石二州。，且点尸不可能在线段AO上,4B P E 与8 4 尸相似有两种可能：队 点尸在线段D4的延长线上（如图2中），:NPBEW NAFB,:,NPBE=NABF,:A B DE,：.NABF=NDEB,:./P B E=/D E B,：.DE=DB=Of:.DP=DC=6,：.BP=4,从 点“在线段A。的延长线上（如图3中），FB图3,/N A B F/P B E,：.N A B F=N P E B,AB/CDf：.N A B F=N C E B,：N P E B=N C E B,；/BPE=NBCE=90 ,:.BP=BC=8.综上所述，5P 的值为4 或 8.【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.