等腰三角形判定定理复习讲义.pdf

《等腰三角形判定定理复习讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等腰三角形判定定理复习讲义.pdf（58页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、2.4等腰三角形判定定理知识点梳理等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等角对等边】说明：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.等腰三角形的判定和性质互逆；在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；判定定理在同一个三角形中才能适用.题型梳理题 型 一 边、角证明等腰三角形1.如图，在 ABC中，4 B=A C,点 E 在 CA的延长线上，E P 1 B C,垂足为P,E P交 AB于点 F,FCAC交 BC于点 .求证：ZXAEF是等腰三角形.2.如图，点。、E 在

2、ABC 的边 8c 上，A DA E,B D=C E.(1)求证：A B=A C i(2)若/BAC=108,/D4E=36,直接写出图中除ABC与 外 所 有 的 等 腰三角形.1RDF.3.如图，点。是ABC内部的一点，B D=C D,过点。作 OELA8,D F V A C,垂足分别为 E、F,且 B E=C F.求证：ABC为等腰三角形.4.在A8C中，AB=AC,AD是ABC的中线，AE是NBAO的角平分线，。尸A 8交 AE的延长线于F.(1)若N84C=120,求NBA。的度数.(2)求证：ADF是等腰三角形.5.已知：如图，AB=AC,DE/AC,求证：O2E是等腰三角形.2D

3、6.已知：如图，ABC中，BC边上有。、E两点，Z1=Z2,Z3=Z4.求证：ABC是等腰三角形.1.如图，网格中的每个小正方形的边长为1,A、3是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个2.如图，已知每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C,使4BC为等腰三角形，则这样的顶点（：有（）r 一L 一L-7一 一1一 一1一 一 丁A.8 个B.7 个C.6 个D.5 个3.如图，在 4 X 4 方格中，以A B为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（）A.7 个 B.6 个 C.4 个

4、D.3 个4.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知4、8 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 A8C为等腰三角形，则点C 的个数是（）A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个5.如图，4,8 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1 的正方形，点 C 也在格点上，且 ABC为等腰三角形，满足条件的点C 有（）A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个6.如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A,B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 A8C为等腰三角形，则点C 的个数是（）4A.6B.8C.9D.107.如图，已知RtZXABC中，NC=90,

5、/A=30,在直线BC或A C上取一点P,使得是等腰三角形，则符合条件的尸点有（）B CA.5个 B.6个 C.7个 D.8个8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得ABC是以A8为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（）A.8 B.6 C.4 D.79.如图，网格中的每个小正方形的边长为1,A,3是格点，则以A,B,C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有（）A.2个B.3个C.4个D.5个51 0.如图是一个6 X 6 的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰A8C6的顶点都是图中的格点，其中点A、点 B 的位置如图所示，则点C 可能

6、的位置共有（）A.12 个B.11 个C.10 个D.9 个11.如图，A、8 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1 的正方形、点 C 也在格点上，且aA B C 为等腰三角形，则符合条件的点C 共有 个.12.如图，已知RtZABC中，ZC=90,ZA=30.在直线BC或 AC上取一点尸，使得以8 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 个.（在图上作出点P 的位置）1 3.如图，ZAOB=45,点N 在边0 4 上，0M=x,0N=x+2,点 P 是边0 B 上的点.若使点P,M,N 构成等腰三角形的点尸恰好有两个，则 x 的取值范围是.6o-B14.如图，已知每个小方格的边长为1,

7、A,8 两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C,使A A B C为等腰三角形，则这样的顶点C 有 个.15.已知点A(2,?)，点尸在)，轴上，且 POA为等腰三角形，若符合条件的点P 恰好有2 个，贝 I?=.16.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,8 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得 ABC为等腰三角形，则符合条件的点C 有 个.BA17.在平面直角坐标系中，点 A,8 的坐标分别是A(3,0),B(0,4),若点尸在坐标轴上，且力B 是等腰三角形，则满足条件的点尸有 个.题型三等腰三角形与动点题型1.如图，NAO8=60,C 是 B 0 延长线上一点，

8、0C=1 2cm,动点P 从点C 出发沿C B 以2cm/s的速度移动，动 点。从点0 出发沿0 A 以cmls的速度移动，如果点P、。同时出发，用 f(s)表示移动的时间，当 =s 时，尸0 Q 是等腰三角形.72.如 图1,在4 X 8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,动 点P、Q分别从点。、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当 点P运 动 到 点C时，两个点都停止运动，设 运 动 时 间 为t(0 Z 4-4 cC.6 D.42,BP平分NABC,API.BP于P,连接P C,则P8C的面加 2 C.4.5cm2 D.5cw?2，AP垂直

9、N 3的平分线B P 于 P,则P8C的面积为（）*7 7 7tn C.4cml D.5cnTCO平分N 4C8,BDLCD,/A=N A BD,若 80=1,BC=10A.5B.4C.3D.25.如图，。为ABC 内一点，CZ）平分/A C 8,BDVCD,Z A Z A B D,若 AC=5,BC=3,则 BD 的 长 为（）C.2V2 D.46.如图，在ABC中，4。平分/C 4 B 交 BC于点E.若/BD4=90,E 是 中 点，DE=2,A B=5,则AC的 长 为（）5-D.33-2C7.如图，CO是3 c 的角平分线，A E L C D E,BC=6,AC=4,ABC的面积是9

10、,则AEC的面积是.8.如图所示，三角形ABC的面积为l a/.A P垂直N B 的平分线B P于点尸.则三角形PBC的面积是B119.如图,P8C的面积为M R 人 2 垂直N B的平分线BP于点P,则ABC的面积为,10.在ABC中，平分N84C,BD Y AD,垂足为 ,过。作 DE:A C,交 AB于 E,若AB=5,求线段OE的长.12答案与解析题 型 一 边、角证明等腰三角形1.如图，在ABC中，AB=AC,点E在C4的延长线上，E P L B C,垂足为P,E尸交A8于点F,FD A C 交 BC于点D.求证：是等腰三角形.【分析】根据等边对等角得出N B=N C,再根据EPLB

11、C,从而得出NE=NPE。，再根据对顶角相等得出/E=/A F E,最后根据等角对等边即可得出答案.【解答】证明：.Z P F D=Z E,N F D B=N C,：A B=A C:.N B=N C,13：EP1BC,/.ZE+ZC=90,NB+NBFP=90,:/E=/B F P,NBFP=NAFE,：.NE=NAFE,：.AE=AF即 是 等 腰 三 角 形.2.如图，点。、在A B C 的边 B C 上，AD=AEf BD=CE.(1)求证：AB=AC；(2)若N 8 A C=1 0 8 ,N D 4 E=3 6 ,直接写出图中除 A B C 与 A D E 外所有的等腰三角形.【分析】

12、（1）首先过点A作于点凡 由A O=4 E,根据三线合一的性质，可得DF=EF,又由BD=CE,可 得 然 后 由 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质，可证得M=A C.（2）根据等腰三角形的判定解答即可.【解答】证明：（1）过点A作A 3 C 于点R*：AD=AE,:DF=EF,：BD=CE,14:.BF=CF,：.AB=AC.(2).；NB=NBAD,ZC=ZEAC,NBAE=NBEA,ZADC=ZDAC,除ABC与/!)1外所有的等腰三角形为：ABD、AEC、LABE、AOC,3.如图，点。是ABC内部的一点，BD=CD,过 点。作。D F 1 A C,垂足分别为E、F,且BE=CE

13、 求证：ZVIBC为等腰三角形.【分析】欲证明A 8=A C,只要证明N A 8C=N 4C 8即可;【解答】证明：VDE1A8,DF1AC,：.ZBED=ZCFD=90.在 RtABDE 和 RtACDF 中，(BE=CFVBD=CDARtABDERtACDF(HL),15:/EBD=NFCD,：BD=CD,：.ZDBC=ZDCB,：.NDBC+NEBD=/DCB+/FCD,即 ZABC=ZACB,：.AB=AC.4.在ABC中，AB=AC,AQ是ABC的中线，AE是NBA。的角平分线，DF/ABAE的延长线于F.(1)若N8AC=120,求NBA。的度数.(2)求证：AO尸是等腰三角形.【

14、分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得到ADLBC,ZBAD=ZCAD,从而可得到NE4O=60；（2）根据角平分线的性质即可得到N D 4E=N E48,从而可推出【解答】（1）解：:ABC是等腰三角形，。为底边的中点，：.ADLBC,ZBAD=ZCAD,V ZBAC=120,A ZBAD=60；16(2)证明：.AE是N 8 4 O的角平分线,；.NDAE=NEAB,9：DF/AB,：4F=4B A E,：.NDAF=NF,：.AD=DFf A W尸是等腰三角形.5.已知：如图，AB=AC,D E/A C,求证：O B E是等腰三角形.【分析】要证明O B E是等腰三角形，主要利用等

15、腰三角形的判定定理和性质定理，而D E/A C,容易得到角的关系.【解答】证明：AC,：.ZC=ZD E B.A8=AC,：.ZB=ZC.：./B=N D E B.17.D8E是等腰三角形.6.已知：如图，AABC中，BC边上有。、E两点，Z1=Z求证：aABC是等腰三角形.B D F.C【分析】由/1 =N2,N3=N 4,根据三角形外角的性质角对等边，证得：ABC是等腰三角形.【解答】证明：V Z B-Z 3-ZL Z C=Z 4-Z2,又：Nl=/2,Z3=Z4,/.NB=ZC,：.AB=AC,即AABC是等腰三角形.题型二构造等腰三角形（作圆、作中垂线）1.如图，网格中的每个小正方形的

16、边长为1,A、8是格点,点的所有格点C的个数为（）：5 jI A ;A.7个 B.8个 C.9个【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，的垂直平分线，即可得出点C的位置.2,Z3=Z4.,易证得/B=N C,然后由等以A、B、C为等腰三角形顶D.10 个4B长为半径画弧，作线段4318【解答】解：如图所示，以 A 为圆心，A B 长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、G即为点C的位置；以 8 为圆心，A B长为半径画弧，则圆弧经过的格点C i、C2、C6、C4、C5即为点C 的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点.故以A、B、C 为等腰三角形顶点的所有格点C 的个

17、数为8 个.2.如图，已知每个小方格的边长为1,4 B 两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点 C,使 ABC为等腰三角形，则这样的顶点 7有（）A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个【分析】分 A B 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C 的个数.【解答】解：当 为 底 时，作 A B 的垂直平分线，可找出格点C 的个数有5 个，当 为 腰 时，分别以A、B 点为顶点，以A 3 为半径作弧，可找出格点C 的个数有3 个;二这样的顶点C 有 8 个.19故 选:A.3.如图，在 4 义4 方格中，以A 8为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（）A.7 个 B.

18、6 个 C.4 个 D.3 个【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段A B的垂直平分线，即可得出第三个顶点的位置.【解答】解：如图所示，分别以A、B 为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点。、C2、C3、C4、C 5、C 6、C7即为第三个顶点的位置；作线段A 8 的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点.故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7 个.20故选：A.4.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B 是两格点，如 果 C 也是图中的格点，且使得A A B C 为等腰三角形，则点C 的个数是（）A.6 个 B.

19、7 个 C.8 个 D.9 个【分析】当 A 8 是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B 顶点相对的顶点,连接即可得到等腰三角形；当 A B是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，A 8 垂直平分线上的格点都可以作为点C,然后相加即可得解.【解答】解：如图，分情况讨论：A B 为等腰A A B C 的底边时，符合条件的C 点有4 个；AB为等腰 ABC其中的一条腰时，符合条件的C 点有4 个.故选：C.5.如图，A,8 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1 的正方形，点 C 也在格点上，且a A B C 为等腰三角形，满足条件的点C 有（）A.6 个B.7

20、 个C.8 个D.9 个21【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：点C以点A为标准,A8为底边；点C以点8为标准，A8为等腰三角形的一条边.【解答】解：点C以点A为标准，A8为底边，符合点C的有5个；点C以点8为标准，4B为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个.所以符合条件的点C共有9个.故选：D.6.如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A,B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）B/AA.6 B.8 C.9 D.10【分析】分 是 腰 长 时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点,连接即可得到等腰三角形，是底边

21、时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，A8垂直平分线上的格点都可以作为点C,然后相加即可得解.AB为等腰ABC的底边时，符合条件的C点有6个；A3为等腰AABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.故选：D.7.如图，已知RtZABC中，Z C=90,NA=30,在直线8 c或AC上取一点P,使得22 QW 是等腰三角形，则符合条件的尸点有（23AA.5 个B.6 个C.7 个 D.8 个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论.【解答】解：如图，第 1个点在C4延长线上，取一点尸，使 BA=AP；第 2 个点在CB延长线上，取一点P,使 AB=PB；第 3 个点在

22、AC延长线上，取一点尸，使 AB=P3；第 4 个点在8C 延长线上，取一点P,使 A 8=%；第 5 个点在AC延长线上，取一点尸，使 A8=AP；第 6 个点在AC上，取一点P,使,符合条件的点P 有 6 个点.8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、8 是两格点，若 C23也是图中的格点，则使得 A8C是以A B 为一腰的等腰三角形时，点 C 的个数是（)【分析】根据A B 是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、8 顶点相对的顶点,连接即可得到等腰三角形，【解答】解：如图，以A 8 为等腰A A B C 其中的一条腰时，符合条件的C 点有4 个.故选：C.9.如

23、图，网格中的每个小正方形的边长为I,A,8 是格点，则以A,B,C 为等腰三角形顶点的所有格点C 的位置有（）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个【分析】由勾股定理求出A B=所于=V10,分三种情况讨论:当A 为顶角顶点时;当 8 为顶角顶点时：当 C 为顶角顶点时：即可得出结果.【解答】解：由勾股定理得：A B=V T o,分三种情况：如图所示:24当A为顶角顶点时，符合ABC为等腰三角形的C点 有1个；当B为顶角顶点时，符合ABC为等腰三角形的C点有2个；当C为顶角顶点时，符合A8C为等腰三角形的C点 有1个；综上所述：以4,B,C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（

24、个）；故选：C.1 0.如图是一个6 X 6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰AABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（）A.12 个 B.11 个 C.10 个 D.9 个【分析】分别以A、B、C为顶点，分类三种情况：当A C=B C时；当A B=A C时；当A 8=B C,画出图形得出答案即可.【解答】解：如图：25符合条件的点C 一共有10个.故选：C.11.如图，A、8两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且AABC为等腰三角形，则符合条件的点C共 有9个.【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线

25、分两种情况：点C以点A为标准,AB为底边；点C以点B为标准，A 8为等腰三角形的一条边.【解答】解：点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；点C以点2为标准，A B为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个.所以符合条件的点C共有9个.12.如图，已知RtzMBC中，ZC=90,/A=3 0 .在直线8C或AC上取一点P,使得附B是等腰三角形，则符合条件的尸点有6个.（在图上作出点P的位置）26【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解.【解答】解：如图，第1个点在AC上，作线段A3的垂直平分线，交AC于点P,则有PAPB-,第2个点是以4为圆心，以AB长为半径截取A P=A 8

26、,交AC延长线上于点P；第3个点是以A为圆心，以A B长为半径截取A P A B,在上边于C A延长线上交于点P；第4个点是以B为圆心，以B A长为半径截取B P=B A,与AC的延长线交于点P；第5个点是以8为圆心，以BA长为半径截取B P=8 4,与B C在左边交于点P；第6个点是以A为圆心，以A8长为半径截取AP=AB,与8 c在右边交于点尸；故符合条件的点P有-6个点.故答案为：6.P、13.如图，NAOB=45,点M,N在边。4上，OM=x,0N=x+2,点P是边OB上的点.若使 点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的 取 值 范 围 是2企-2WxW2或 x=2夜或 x

27、=V3-_.27【分析】考虑四种特殊位置，求出X的值即可解决问题；【解答】解：如 图 1 中，当 P 2 M N 是等边三角形时满足条件，作尸2 H L O A 于在 R t Z P 2 N 中，P iH=/3NH=V 3,：Z 0=ZH P 2O=45 ,：.0H=H P 2=V 3,：.x=O M=O H -M H=V 3-1.如图2中，当（D M与 08相切于P i，M P i=MN=2 时，x=O M=2 y 2,此时满足条件;28图2如图3中，如图当OM经过点。时，x=0 M=2,此时满足条件的点P有2个.如图4中，当G)N与。8相切于P i时，尤=。=2/一2,29B观察图3 和图

28、4 可知：当 2迎-2xW 2时，满足条件，综上所述，满足条件的x 的值为：2&-2 启 2 或 尸 2或 或 =百-1,故答案为2&-20=必 不 存在，AP=AO也不存在，所以A点在x轴上，此时机=0.当OA与x轴的正半轴的夹角为30时，这样的P点一定有2个，Jo 2V3此时|?|=-X-X 2,即 m +-3 323故答案为0或土石一.16.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有8个.31【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰AABC底边；AB为等腰ABC其中的一条腰.【解答】

29、解：如图：分情况讨论.4 3为等腰ABC底边时，符合条件的C点有4个；AB为等腰48C其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.故答案为:8.1 7.在平面直角坐标系中，点4,8的坐标分别是A(3,0),B(0,4),若 点P在坐标轴上，且%B是等腰三角形，则满足条件的点P有8个.【分析】连接AB,AB边可能是底边，也可能是腰，得到的等腰三角形共有8个.【解答】解：如图所示：以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴 有1点(点A除外)，此时共3个点；以A为圆心，以 为 半 径 作 圆，交y轴 有1点(点B除外)，交x轴有2点，此时共3个点，以A8为底的三角形有2个，点尸在AB的垂直平分线

30、上，分别交x轴、y轴 各1个点，此时共2个点；323+3+2=8,因此，满足条件的点P有8个,故答案为：8.题型三等腰三角形与动点题型1.如图，N AO B=6 0 ,C是B。延长线上一点，0 C=1 2。，动点尸从点C出发沿C B以2cmis的速度移动，动点。从点0出发沿0 A以cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用f （s）表示移动的时间，当4或1 2 s时,P O Q是等腰三角形.【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段0 C上时；（2）当点P在CO的延长线上时.分别列式计算即可求.【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段0 C上时，设t时后 P O Q是等腰

31、三角形，有 O P=O C-C P=OQ,即 1 2 -2t=t,解得，f=4 s；33(2)当点P 在 CO的延长线上时，此时经过C。时的时间已用6s,当POQ是等腰三角形时，./POQ=60,.POQ是等边三角形，：.OP=OQ,即 2 G -6)t,解得，t=12s故答案为4s或 12s.2.如 图 1,在 4 X 8 的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,动 点 P、。分别从点。、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒1 个单位，O当点尸运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动时间为/(0 /,分两种情况：P Q=P B,根据“HL”可得 口冬/X

32、PCB,再利用P D+P C=S列出方程可得r；P Q=Q B,根据勾股定理列方程可得解.【解答】解：连接PB，过点。作。E_LC。,34若PQ8是以PQ为腰的等腰三角形，则有两种情况:当尸。=尸8时,.四边形A8C。是矩形,：.A D=B C=EQ,：./P EQ/P C B (H L),由题意得：P D=2t,A Q=t,四边形AOE。是矩形,：.P E=2t-t=t,P C=t,：P D+P C 8,：.2t+t=S,解得 r=|.当PQ=QB时，P Q=Q B=S -t,RtZXPQE 中，P Q=i -t,P E=t,EQ=4,：.(8-r)2=?+42,解得 f=3.故答案为：g或

33、3.33.如图，在aA B C中，NB=90,AB=8厘米，8C=6厘米，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A-B方向运动速度为1厘米/秒，点。从点B开始沿B fC-A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为f秒.(1)求出发2秒后，PQ的长；(2)点。在C4边上运动时，当aB CQ成为等腰三角形时，求点。的运动时间.35备用图【分析】（1）根据点尸、。的运动速度求出A P,再求出B P和 B。，用勾股定理求得产。即可；（2）当点。在边C 4上运动时，能使ABCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当 CQ=BQ 时（图 1）,则/C=NCB。，可证明NA=/A

34、 B。，则 B Q=A Q,则 CQ=A Q,从而求得f；当 CQ=BC时（图 2）,则 BC+CQ=12,易求得t；当8 c=BQ时（图 3）,过 B 点作BELAC于点E,则求出BE,C E,即可得出L【解答】（1）解：（1）BQ=2X2=4cm,BP=AB-AP=8-2X l=6cm,V ZB=90 ,PQ=y/BQ2+BP2=2V13（cm）；（2）解：分三种情况：当 C Q=8Q 时，如 图 1 所示：则 N C=N C 3。，V ZABC=90,：.ZCBQ+ZABQ=90,ZA+ZC=90,I.ZA=ZABQ36：.BQ=AQ,.CQ=AQ=5,：.BC+CQ=U,A r=114

35、-2=5.5 秒.当 CQ=BC时，如图2 所示:则 BC+CQ=2.1=1 2+2=6 秒.当 BC=BQ时，如图3 所示:过 B 点作8E_LAC于点E,则BE=仪#=等=4.8(cm)CE=y/BC2 BE2=3.6丽,：.CQ=2CE=1.2cm,：.BC+CQ=3.2cm,.1=13.2+2=6.6 秒.由上可知，当 f 为 5.5秒或6 秒或6.6秒时,BCQ为等腰三角形.图3374.如图，ABC 中，ZC=90,A B=lOcm,B C=6 c m,若动点 P 从点 C 开始，按 C f Af B C 的路径运动，且速度为每秒le w,设出发的时间为，秒.（1）出发2 秒后，求

36、的 周 长.（2）问，为何值时，BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q,从点C 开始，按 C-A-C的路径运动，且速度为每秒2cvm若P、。两点同时出发，当 尸、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当/为何值时，直线PQ把aA B C 的周长分成相等的两部分？【分析】（D 利用勾股定理4C=8C7 和 PB=2VT&M,所以求出了三角形的周长.（2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案.（3）利用分类讨论的思想和周长的定义求出了答案.38A解：(1)：/C=9 0,A B W c m,B C=6c m,.有勾股定理得A C=8 c s,动点尸从点C开始，按 C-A-B-

37、C的路径运动，且速度为每秒k a.出发2秒后，则 C P=2 c m,那么”=6。”.VZC=9 0 ,，有勾股定理得P B=2同cm的周长为：A P+P B+A 8=6+1 O+2 V 1 U=(1 6+2 V 1 0)cm；(2)若 P 在边 A C 上时，B C=C P=6cm,此时用的时间为6s,A B C 尸为等腰三角形；若 P在 A8边上时，有两种情况：若使B P=C B=6c/n,此时A P=4C TM,P运动的路程为1 2 c m,所以用的时间为1 2 s,故 f=1 2 s时ABCP为等腰三角形；若C P=B C=6 c m,过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm,

38、根据勾股定理求得B P=1.2cm,所以P运动的路程为1 8-7.2=1 0.8 5,的时间为1 0.8 s,B C P 为等腰三角形；若 B P=C P 时，则 N P C B=NP B C,39V Z A C P+Z B C P=9 0,/P B C+/C 4 P=9 0,/.Z A C P=ZC A P,：.P A=P C：.P A=P B=5cm的路程为1 3 c?，所以时间为1 3 s时，B C P为等腰三角形.，f=6s或1 3 s或1 2 s或1 0.8 s时B C尸为等腰三角形；(3)当 P 点在 A C 上，。在 A B 上，贝iA P=8-3 A Q=6-2t,直线P Q把

39、 A B C的周长分成相等的两部分，,8 7+1 6-2/=1 2,.*./=4；当尸点在A B上，。在A C上，则A P=L 8,AQ=2-1 6,；直线P Q把 A B C的周长分成相等的两部分，.”-8+2-6=1 2,：.t=l2,，当f为4或1 2秒时，直线P Q把 4 3 C的周长分成相等的两部分.5.如图，A A B C 中，/C=9 0,A B=5cm,B C=3an,若动点 P 从点 C 开始，按 C f A-8-C的路径运动，且速度为每秒kvm设出发的时间为r秒.(1)出发2秒后，求A 8 P的周长.(2)问f为何值时，A B C P为等腰三角形？(3)另有一点。，从点C开

40、始，按C-B f A-C的路径运动，且速度为每秒2 c m,若 P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当/为何值时，直线P Q把a A B C的周长分成相等的两部分？40R【分析】(1)根据速度为每秒1 c m,求出出发2秒后C P的长，然后就知A P的长，利用勾股定理求得P B的长，最后即可求得周长.(2)因为A B与C 8,由勾股定理得AC=4因为4 B为5 c加，所以必须使A C=C B,或C B=A B,所以必须使A C或A 8等于3,有两种情况，A B C P为等腰三角形.(3)分类讨论：当P点在A C上，。在上，则P C=f,B Q=2t-3,f+23=

41、6；当P 点在 A B 上，。在 A C 上，则 A C=f-4,A Q=2t-S,r-4+2/-8=6.【解答】解：(1)如图 1,由N C=9 0,A B=5cm,B C=3cm,；.A C=4,动点尸从点C开始，按C-A-B-C的路径运动，且速度为每秒l a”，二出发2秒后，则C P=2,V ZC=9 0 ,:.P B=4 2 2 +3 2 =V 1 3 (cm),的周长为：A P+P B+A B=2+5+V13=(7+V 1 3)cm.(2)如图2,若尸在边A C上时，B C=C P=3cm,此时用的时间为 3 s,B C P 为等腰三角形；AJ04.41 若 P 在 AB边上时，有三

42、种情况：/)如图3,若使8P=C B=3a”，此时A P=2a，P 运动的路程为2+4=6an,所以用的时间为6s,/XBCP为等腰三角形；ii)如图4,若 C P=B C=3cm,过 C 作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4c z,作 CZ)J_AB于点D,在 RtAPCD 中，P D=y/PC2-CD2=V32-2.42=1.8(cm),所以 8P=2P=3.6TO,所以P 运动的路程为9-3.6=5.4c，则用的时间为5.4s,ABCP为等腰三角形；i i i)如图5,若 B P=C P,此时P 应该为斜边AB的中点，P 运动的路程为4+2.5=6.5c,则所用的时间为6.5s,4

43、B C P为等腰三角形；综上所述，当 f 为 3s、5.4s、6s、6.5s时，BCP为等腰三角形(3)如图6,当 P 点在AC上，。在 AB上，则 PC=f,BQ=2t-3,：直线P Q把AABC的周长分成相等的两部分，：.t+2t-3=3,Z 2；如图7,当 P 点在AB上，Q 在 AC上，则 A P=t-4,A Q=2r-8,直线P Q把ABC的周长分成相等的两部分，：.t-4+2t-8=6,*.Z=6,42.当f 为 2 或 6 秒时，直线PQ把A A B C 的周长分成相等的两部分.A图6 图 了题型四角平分线+垂直=构造等腰三角形1.如图，已知 ABC的面积为12,3 P 平分N

44、A B C,且 AP_LBP于 点 P,则 BPC的面积是（）A.10 B.8 C.6 D.4【分析】延长A P 交 B C 于 E,根据已知条件证得AABP丝 E B P,根据全等三角形的性1质得到 A P=P E,得出 SAABP=SEBP，S&ACP=SAECP，推出 S/X P B C=SAB C；【解答】解：延长A P 交 3 C 于 E,43BP平分乙48C,/A B P=/E B P,VAP1BP,；NAPB=NEPB=90,在AB尸和a E B P 中，Z.ABP=乙 EBPBP=BP,Z-APB=乙 EPB:.AABPq AEBP(ASA),；.AP=PE,:SAABP=S&

45、EBP，SAACP=S&ECP，:&PBC=|SAABC=x 12=6，故选：C.2.如图，ABC的面积为9CT?2,BP平分NABC,AP_L8P于尸，连接尸C,则PBC的面积 为()A.3cvn2 B.4C T?Z2 C.4.5cm2 D.5cm2【分析】根据已知条件证得A 8P 2Z E 8P,根据全等三角形的性质得到4 P=P E,得出1SM B P=S EBP，SM C P=S&ECP，SPBC=代入求出即可.【解答】解：延长A P交 3 c 于巴44BP平分乙48C,N ABP=/EBP,9：APLBP,；NAPB=NEPB=90,(Z.ABP=/.EBP在A8P 和aE B 尸中

46、，PB=PBLAPB=Z.EPB.ABPm AEBP(ASA),：.AP=PE,:S4ABP=SAEBP，SAACP=SAECP，1 1 2 2 SPBC=2sABC=2 X9c?i=4.5cm,故选：C.3.如图，ZVIBC的面积为8C 2,A P垂 直 的 平 分 线BP于P,则4 P B C 的面积为（）A.2cm2 B.3cm2 C.4cw2 D.5cm2【分析】延长A P 交 B C 于 E,根据A P垂 直 的 平 分 线 B P 于 P,即可求出BEP,又知 APC和“等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.45【解答】解：延长A P交 BC于,VAP垂直

47、N 8 的平分线BP于 P,；NABP=NEBP,ZAPB=ZBPE=90,在APB和E P 8中2APB=乙EPBBP=BP,Z-ABP=乙 EBP1APBg AEPB(ASA),:SM P B=SAEPB，AP=PE,AAPC和CPE等底同高，:SAAPC=S&PCE，._17*SAPBC=S PBE+SPCE=SzBC=4cm,故选：C.4.如图：。为43C 内一点，C。平分NAC5,BDCD,ZA=ZA B Df 若 3 0=1,BC=3,则 AC的 长 为（）A.5 B.4 C.3 D.2【分析】延长8 0 交 AC于 如图，利用 8平分NACB,&）_LC。先判断3CE为等腰三角形

48、得到OE=5=1,C E=C B=3,再证明E A=E 3=2,然后计算AE+CE即可.46【解答】解：延长8。交4C于E,如图,平分NACB,BDLCD,.BCE为等腰三角形，：.DE=BD=,CE=CB=3,：Z A Z ABD,：.EA=EB=2,：.AC=AE+CE=2+3=5.故选：A.5.如图，。为AABC 内一点，CO 平分/ACB,BDLCD,NA=NABD,若 AC=5,BC=3,则BD的 长 为（）A.1 B.1.5 C.2V2 D.4【分析】延长8。与AC交于点E,由题意可推出BE=AE,依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE,可推出BC=CE,AE=BE=2BD,根

49、据AC=5,B C=3,即可推出3。的长度.【解答】解：延长BO与AC交于点E,：ZA=ZABD,：.BE=AE,47：BELCD,YCZ）平分NAC5,:./BCD=/ECD,：.ZEBC=ZBEC,BEC为等腰三角形，:BC=CE,VBE1CD,：2BD=BE,VAC=5,BC=3,：.CE=3f：.AE=AC-EC=5-3=2,:BE=2,:BD=1.故选：A.6.如图，在ABC中，AO平分NC43交3C于点 若N3DA=90,E是AO中点，DE=2,A B=5,则AC的长为（）48DcE,A-B4 3 5A.1 B.-C.-D.一3 2 3【分析】延长AC、BD交于点F,过点。作。GA

50、/交8 c于G,证明(AAS),得出 0G=4C,证 出/广=NAB。，得出 A/=A8=5,BD=FD,证明。6是43C/7的中位线，得出Cb=2DG,得出AE=AC+C产=3OG=3AC,即可得出答案.【解答】解：延长AC、BD交于点F,过点。作OG4厂交BC于G,如图所示：则 NOGE=ZACE9YE是AO中点，：.DE=AE,ZDGE=Z-ACE在OGE 和ACE 中，zDEG=E C,DE=AEAADGEAACE(A4S),：.DG=AC,A。平分NC48,:/BAD=/FAD,VZBDA=90,：.ADlBFf ZFDA=90,A ZF=NABD,：.AF=AB=5f:BD=FD,