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1、陕西省2022届高三上学期理数元月联考试卷阅卷人-、单选题供11题；共22分）得分1.（2 分）已知集合4 =xx2 2 x 8 1 ,则4 U B =（）A.（1,4）B.（1,2）C.（4，+o o）D.（2，+o o）2.（2 分）已知复数2 =（。-2 1）（1 +3 0（。/?）的实部与虚部的和为1 2,则忆一5|=（）A.3 B.4 C.5 D.63.（2 分）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为由,做，3，的，设数列 an 为等差数列，它的前几项和为 Sn,且=1 8,04 +%=9 0,则 S8 =（
2、）A.1 8 9B.2 5 2C.3 2 4 D.4 054.（2 分）已知M为抛物线C：产=2 p y（p 0）上一点，点M到C 的焦点的距离为7,至 H轴的距离为5,贝 i jp =（）A.3 B.4 C.5 D.65.（2 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)A.1 8 B.3 6 C.5 4 D.1 086.(2 分)已知a =/,b=l o g36.c=0.90 2,则()A.b a c B.c b a C.a b c D.b c a7.(2 分)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦
3、点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是()8.(2 分)已知函数f(x)=2 sin 2%+g sin 2 x 1,则下列结论正确的是().A./(x)的最小正周期是B./(x)的图象关于点(-系，0)对称C./(x)在 一 兀，一月上单调递增D./(%+强 是 奇函数9.(2 分)已知函数/(%)=|/+3%+1|a|%|恰有4个零点，则a 的取值范围是().A.(5,+00)B.(1,5)c.(1,4-00)D.(0,l)U(5,+o o)10.（2 分）在四边形/BCD中（如图1所
4、示），AB=A D,乙4BO=45。，BC=BD=CD=2,将四边形/BCD沿对角线BD折成四面体4BCD（如图2 所示），使 得 乙=90,E,F,G 分别为棱BC,A D，A,B的中点，连接EG C G,则下列结论错误的是（）.A.A C 1 BDB.直线EF与CG所成角的余弦值为第C.C,E,F,G 四点不共面D.四面体/BCO外接球的表面积为87r11.(2 分)已知iC N*,数列 1,1,2,1,1,2,4,2,1,1,2,4,8,4,2,I,1,2,4,2S 2乜,2,1,的前n项和为小,若酊 2 0 2 2,则n的最小值为()A.81 B.90 C.100 D.2021二、多选
5、题（共1题；共2分）阅卷入得分12.（2 分）随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式.某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示:A.该款服装这3 个月的销售额逐月递减B.该款服装这3 个月的销售总额为23.69万元C.该款服装8 月份和9 月份的销售额相同D.该款服装8 月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额阅卷入一三、填空题（共4题；共4分）得分1 3.（1 分）已知向量五=（2,3），b =（-1,2）,且他+庙）1落 则卜=.1 4.（1 分）（2 立一 3,的展开式中/的系数是.（用数字作答）y 1,1 5.（1 分
6、）若 ,y满足约束条件 3%+y-540,则名=%+丫 的最大值为、3 x 2 y+1 0,1 6.（1 分）若曲线y=l n%在点P（e,1）处的切线与曲线丫=%相切，则。=阅卷人四、解答题供7题；共7 0分）得分1 7.（1 0分）在力BC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,A BC的面积为S,已知acosC+c c os A =A/3 a=yj2b-（1）（5 分）求 a；（2）（5 分）若s =*2+c 2 b 2）,求 A.1 8.（1 0分）某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随
7、机抽取1 5 天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图.若日用电量不低于2 00度，则称这一天的用电量超标.17 8 8 918 2 5 6 919 5 720 1 36 7（1）（5 分）从这1 5 天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3 天的日用电量超标的概率;（2）（5 分）从这1 5 天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X,求 X 的分布列和数学期望.1 9.（1 0分）如图，A B是圆。的直径，圆。所在的平面，C为圆周上一点，D 为线段PC的中点，Z.CBA=3 0,AB=2PA.(1)(5 分)证明：平面A B。_ L平面PBC.(2)(5 分)
8、若 G 为A D 的中点，求二面角P BC G 的余弦值.2 0.(1 0分)已知椭圆 +y2 =i 的左，右顶点分别是A,B,且M,N 是椭圆E 上异于4 B 的不同的两点.(1)(5 分)若心M 心N=/，证明：直线M N 必过坐标原点。；(2)(5 分)设点P是 以 为 直 径 的 圆 01 和以4 V 为直径的圆。2 的另一个交点，记线段4 P的中点为Q,若心M 心N=-1，求动点Q 的轨迹方程.172 L(1 0 分)已知函数/(%)=l n%+2,g(x)=?2-唯(a 0).(1)(5 分)设函数九(%)=)(%+1)-%2,求 力(%)的最大值;(2)(5 分)证明：/(%)0
9、).(1)(5 分)当a =l 时，求不等式/(%)W 3 的解集；(2)(5 分)若f(|)6,求a 的取值范围.答案解析部分1 .【答案】D【解析】【解答】由题意可得4 =xx2-2%-8 0 =x|(x-4)(x+2)0 =x|-2 x 2 .故答案为：D【分析】根据条件求出复数z,再结合复数的运算法则求出结论.2 .【答案】C【解析】【解答】z=(a 2 i)(l +3 i)=(a +6)+(3 a -2)i,则有，a 4-6 4-3 a-2 =1 2,解得a =2,则z=8+4 i,z 5 =3 +4 i,故|z 5|=7 乎+4?=5.故答案为：C【分析】由复数的乘法运算，结合复数
10、的概念，求得z,再由模长公式即可求解。3 .【答案】C【解析】【解答】设等差数列 册 的公差为d,由0 2 =1 8,0 4 +0 6 =9 0,得1寝渭)，解得:修 著，所以 5 8=8 x 9 +8x；x9=3 2 4。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而解方程组求出首项和公差，再结合等差数列前n 项和公式，进而求出等差数列前8 项的和。4 .【答案】B【解析】【解答】抛物线C：x2=2 p y(p 0)的准线方程为y =因为点M到C 的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,所以刍=2,所以p =4。故答案为：B【分析】利用抛物线的标准方程求出准线方程，再利用抛物线的
11、定义结合点到直线的距离公式，再结合已知条件得出P的值。5 .【答案】C【解析】【解答】由三视图可知，几何体为直三棱柱，如下图所示:由三视图中所给数据可知，A A B C 的面积S =*x 6 x 3 =9,从而该几何体体积V =9 x 6 =5 4。故答案为：C.【分析】由三视图可知，几何体为直三棱柱，再由三视图中所给数据结合三角形的面积公式可知三角形 AB C 的面积，再利用直三棱柱的体积公式得出该几何体体积。6 .【答案】A【解析】【解答】因为1 或&=1.5,0.92 c.因为l og3 2 l og3 8=0.5,所以l og3 6 =l og?2 +1 1.5,所以b a故匕 a c
12、.故答案为：A【分析】因为1 e 亚 芯=1.5，0.9-2 c.因为l ogs 2 l ogs K=0.5,所以Iog3 6 =l og3 2 +l 1.5,所以b a,从而得到答案.7 .【答案】D【解析】【解答】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4,点(4,3)在该双曲线上.设该双曲线的方程为马一马=l(a 0,b0),a b(2 a =4,则(4 2 32 解得a =2,b=V 3,b/j故该双曲线的标准方程是岑-=L4 3故答案为：D.【分析】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为刍-J =l(a 0,b 0),a b代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方
13、程.8.【答案】D 解析 解答/(%)=cos2x+V3sin2x=2sin(2x 5).因为7=裔=兀，所以A 不符合题意；因为/(一等)=2sin(一等一看)=1*0，所以/(%)的图象不关于点(-普，0)对称，所以B 不符合题意；令2kn 令 一 ,4 21cli+*(k e Z),解得/c7i x JA=c贝 I 葡=：一五，EF=(b+c-a)，又苍 c=0,a,b=b-c=则 面|=J(2-砌 2=挈,|研+谕2=零,EF*CG=2(b+c H),c Q)=2,cos(EF,CG)=高 篇=卷，故选项B 正确：对于选项C,如图1,连接GF,则GF/B。，GFC平面BCD,BD u平
14、面BCD故GF平面BCD.显然GF、CE是异面直线，所以C,E,F,G 四点不共面，故选项C 正确；对于选项D,如图2,过BCD的重心H 作直线m 垂直于平而BC。,过点0 作直线n 垂直平而A,BO，则直线m 与直线n 交于点Q,即Q 为 四 而 体 外 接 球 的 球 心，连接Q0，40C 中，A 0=1,OC=V5,A c=遍,则cos4OC=，sinAOC=zv S J J故 sin 4 AOC=sin(90+乙 QOH)=cosZ.QOH=呼，在RMQOH中,。，=卓，所以。Q=诉 综 而=?，从而QD=yjOD2+OQ2=J l +1=:，即四而体A,BCD外接球的半径R=苧，则该
15、外接球的表面积S=4兀/?2=6兀，故选项D 错误.故答案为：D【分析】取BD的中点0,连接0 4,0 C,证明B D,平面0 4 C,即可判断A；设 近=益，BD=b/=万，将E，淳表示出来，利用向量法求夹角可判断B；连接G F,显然GF和 CE异面，故四点不共面可判断C；易证Q 为四而体/BCD外接球的球心，则可求其半径和表面积.11.【答案】B【解析】【解答】依题意，把数列排列成如下所示的形式：第 1行 1第 2 行 1,2,1第 3 行 1,2,4,2,1第4 行 1,2,4,8,4,2,1第i+1行 1,2,4,2。，4,2,1可知此数列第1行有1项，第2行有3项，第3行有5项，第i
16、行有2 i-l项，前i行共有1+3+5+(2i-1)=十项.设第i行的2 i-l个数的和为瓦，则瓦=1+2+4+2;-1+212+4+2+1=2，1+2i-1-1=3 x 2/-1-2.则前i行的和Sj2=bi+历+瓦,=3 x(2。+21+22+2一)-21,=3(2f-1)-2i=3 x 21-2i-3,所以 S8i=S92 =3 x 29-2 x 9-3 =1515 2022.又S8i+1+2+4+2,=1515+255=1770 2022,81 4-9=90,所以n的最小值为90.故答案为：B【分析】观察数列规律，所求最小n必在第81项和第100项之间，依次计算第82项 第100项前1
17、0项和，前9项和，前8项和直到若Sn1=2(2-k)-3(-3+2k)=0,即 13-8 k =0,解得k=竽.故答案为：挈.【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得益+k=(2 k,-3+2 k),又由数量积的计算公式可得日+fcJ)xa=O 可解得k=呈14.【答案】-448【解析】【解答】(2近一 3,的展开式的第r+1项为为77+1=最Q面t .(_ 6 =(-17.7-3r令=2,得r=1,则72=-26CyX2=-64 x 7x2 448，。故答案为：-448。【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中/的系数。15.【答案】3【解析】【
18、解答】画出可行域知，直线3x+y-5 =0和直线3 x-2 y +l=0的交点为(1,2).当直线z=x+y过点(1,2)时，z取得最大值3。故答案为：3。【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最大值。16.【答案】e-2【解析】【解答】因为y=In x,所以y=1,则y|x=e=：,所以曲线y=lnx在点P(e,1)处的切线方程为y=1x.设y =-%与y =e。相切于点（%。，e。%。）,（aeax0 =J因为0收）=aea x所以 1 ，eax0=-x0pQ%0 1 _则a e。*。=-,a=,可得x（）=e 2,从而a =e-2.
19、和 和故答案为：e-2【分析】对y =l n x求导，求出切线的斜率k,再根据在点P（e,1）处的切线与曲线y =e s相切，列方程求出a的值.1 7.【答案】（1）解：在 A B C中，由a c os C +c c os 4 =g可得：上 紧g 多出=即2 b2 =2例，2 an 2bc则b=8，而。=/6,所以a =V 6（2）解：由s =噂（。2 +8 2）得：5 =x 2ac x c os B=-accosB，1又S=acsinB，所以鼻c s i n B=-accosB,则t a n B=噂,Z o 3因为B 6（0,兀），故B=看，根据a =&b 得,s i n A =V 2 s
20、i n S=苧，A B,又4 6（0,n）,所以4=与或竽.【解析】【分析】（1）在A/B C中，由欧。5。+。$4 =6结合余弦定理得出6的值，再利用a =得出a的值。由5 =*92+0 2-炉）结合三角形的面积公式和余弦定理得出4必也8 =噂（1 058,再利用同角三角函数基本关系式得出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值，根据a =V b结合正弦定理和三角形中角A的取值范围，再利用大边对应大角的性质，进而求出角A的 值。1 8.【答案】（1）解：从这1 5天中随机抽取4天的情况有C h种，其中符合条件的情况有C；o彘+腐种，故所求概率p=*=10 x10+5 _
21、115x13x7=13,(2)解：由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.prv _ 0 _IQ_ A p(x-n -o年 一竺产5 _ U)4 _ 1 3 _ 1)_ 4 一 比，c1 5 c1 5P(X=2)=爵，P(X=3)=患，P(X=4)=苧=4 c1 5 c1 5 c1 5则X的分布列为X01234p21340913091202731273故E(X)=0 x+1 x QY+2 x 3+3 x 72 +4 x 77a=至.【解析】【分析】(1)从这15天中随机抽取4天的情况有5种，其中符合条件的情况有4 +Ct种，再结合古典概率型的概率公式，即可求解；(2)由题意可知X的所有
22、可能取值为0,1,2,3,4,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.19.【答案】(1)证明：因为PA，圆。所在的平面，即PA_L平面ABC,而B C u平面A B C,所以P4 1BC.因为48是圆。的直径，C为圆周上一点，所以AC 1 BC.又 24 nAe=A,所以BC 1平面P 4 C,而4。u 平面PAC,则BC _ L A。，因为AC 1 BC,M BA=30,所以AB=2 A C.又AB=2PA,所以P4=A C,而D为线段PC的中点，所以4。1 PC.又PC CBC=C,所以4。_L平面PBC,而A D u平面/B D,故平面/BD _L平面PBC.（
23、2）解：以C为原点，分别以瓦，方的方向为无轴、y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系不妨设48=2,贝 1。(1,0,0).B(0,V3,0).D(1,0,J),G(1,0,，CB=(0,V3,0),方=4,0,1)设平面GBC的法向量为沅=（%,y,z）,则m CB=V3y=0,3 1自7=.%+,z =0,令 =1,得m=(l,0,.3)由（1）知平面PBC的一个法向量为区i=8,0,-i）,设二面角P-B C-G 为氏 易知脑锐角,则cs昨明=等即二面角P-B C -G的余弦值为等.【解析】【分析】（1）由题意可证R4 1 B C.结合力C _ L BC即可证BC _ 1 _ 平 面。
24、，从而得证 BC 1AD,再由 AD 1 P C.即可得证；（2）如图建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。20.【答案】（1）证明：设n）,则 呼+於=1，即=1 域=土胆.4 4 42 1I月为4（-2,0）,6（2,。），所以乜 4M -kM=京餐.而&=三 _4=_ 不因为心M -kAN=一/，所以心”=心N，所以4N|BM.同理可证4M|BN.因为AN|BM,AM|B N,所以四边形4NBM为平行四边形，因为。为4 8的中点，所以直线MN必过坐标原点0.(2)解：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=/cx+3 M Q，y i),/V(%2,y2).联
25、立 y1 j,整理得(1+4fc2)%2+Sktx+4 t2-4 =0,Mll,8kt 4t2-4 t2-4 k2则 1+%2=-2,%1%2=2 y/2 =(1 +t)=-失1+4/c l+4k 1/1+4A因为,AN=-1,所以4M-AN=0因为而7 AN=/冷 +2(%i+%2)+4+yxy2=4产4 1 -21 6 k?tl+4 l+4k”,4+16fc2,t2-4/c2l+4 l+4 k 5t216/ct+l2k2 _ (5t-6fc)(t 2/c)_ 八2=2=Ul+4 k l+4kz解 得 表或t=2k.当t=2k时，直线MN的方程为 丫 =k(x+2)过点A,不满足题意，所以舍
26、去;所以直线MN的方程为 丁 =kx+/=k(x+|),所以直线MN过定点(一|,0).当直线MN的斜率不存在时，因为心M 的N=-1，所以直线MN的方程为 =-/经验证，符合题意.故直线MN过定点(一|,0).因为。1为4M的中点，。2为AN的中点，所以。1。2过定点H(一1,0).因为。1。2垂直平分公共弦4 P，所以点Q在以为直径的圆上运动，该圆的半径r=22 x(2 1)=卷，圆心坐标为(卷，0),2故动点Q的轨迹方程为(+|)+y 2=*(%十一2).【解析】【分析】(1)设M(m,n)，首先证明岫M/BM=从而可得到岫M=N，即得到/N IIBM；进而可得到四边形4NBM为平行四边
27、形；再根据。为的中点，即可证明直线MN必过坐标原点。.(2)设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件酗M 以加=-1可求出直线M N过定点(一1，0)，从而可得到。1。2过定点”(一|,0),进而可得到点Q在以4”为直径的圆上运动，从而可求出动点Q的轨迹方程.21.【答案】(1)解：因为九(x)=ln(x+l)-x(x -l),所以九(%)=击1=一 备(%一1).当0)时，h(x)0;当x e(0,+8)时，h(x)0,则/=2 e 2 x -=2咒 J。,4 m(%)=2e2x-则m Q)=4 盾 +会 o,所以，/(%)在(0,+8)上单调递增.令(%)=2xe2x a
28、,则(0)=-a 0,所以，存在唯一%。(0,a)使得t Q o)=2%o/%。a =0,即*(x()=2/殉 一玲=o,当O%V%o 时，(px)%o 时，(px)0此时8(%)在(0,比)上单调递减，在(右，+8)上单调递增，要证*(%)0,即要证w(&)0.2e2x =0于是原问题转化为证明不等式组 和 2 ，由2 e?*-为=，得e 2。=焉，代入尹(%0)=e 2 g _ a h%2 a a l n,.对e 2 =毫 两边取对数得I n%。=1 吟 2%o,代入9 g)=孟 一 a l n x。2 a a l n(，得奴和)=2 +2ax0 2 a.因为8(%。)=冷+2 a x 0
29、 -2 a 2 2 J 卷 2 a 久 O 2 a =0,当且仅当沏=；,a =e 时，等号成立，所以/(%)w g(x).【解析】【分析】(1)求出九(%)=-备通过八(%)0,八(%)0,从而确定,/(乃在(0,+8)上单调递增.从而确定存在x0 e (0,a)使得/Q o)=2 e 2 x。一玲=0,即可确定以工)在(o,久 0)上单调递减，在值,+8)上单调递增，求导其最小值0(m)，只要证9(&)0即可解决问题。2 2.【答案】解:由鬻*(8 为参数)，得d+y26 y +5=0,即曲线C 的普通方程为/+产 _ 6 y +5=0.由p c o s。psinO 4-4 =0,得 y
30、+4 =0,即直线1 的直角坐标方程为 y +4 =0（2）解：将直线1 的方程转化为参数方程X=-3+岑 t,y =i+孝 士（t 为参数）.将直线1的参数方程代入曲线C的普通方程得t 2 +9=0.设A,B对应的参数分别是h，t 2，则t i +t 2 =5/，t 2 =9,炳 1 1 _ 阳|+俨8|_ 匕+切 _ 5 g取 网 十 PB PAPB 一 ttt2 一 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根与系数关系的应用和三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果.4x,x 2 3.【答案】(1)解：当 a
31、=1时，/(%)=|2 x-l|+|2 x +l|=b,-1 x ，当4时，一 4%4 3,即x 故一机三工工一当一 时，2 W 3 恒成立，故一 久 去当工之争寸，4 xW3,即故综上得，不 等 式 f(%)W 3 的 解 集 为 x|一(2)解:由题可知/(|)=|3-)+|3 +矶,而/(|)J时，/5)=6 +。一工 6,得 4 1 1;3 J v27 a 3Ll 0 Q 时，f)=c i +-6,得 3 Q i;3 Ja 3综上得，a的取值范围为（3-2 V 2,1）.【解析】【分析】（1）当a=l时,根据绝对值不等式得出，/（x）=|2 x-l|+|2 x+l|=1-21-2再根据分段函数即可求出不等式f（x）3 的解集;（2）由 题 可 知/（|）=|3-工|+|3 +可，而/（|）6,分类讨论解绝对值不等式即可求出a 的取值范围.