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1、湖北省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-09解答题(压轴题)一.二次函数综合题(共5小题)1.(2 0 2 2鄂州)某数学兴趣小组运用 几何画板 软件探究y=a?(a 0)型抛物线图象.发现：如 图1所示，该类型图象上任意一点M到 定 点/(0,A)的距离M F,始终等于4 a它到定直线/：)，=-_ 的 距 离(该 结 论 不 需 要 证 明)，他们称：定点尸为图象的焦4a点，定直线/为图象的准线，)，=-1叫做抛物线的准线方程.其中原点。为a7的中4a点，F H=2 O F=L.2a例如：抛 物 线 其 焦 点 坐 标 为F(0,A),准线方程为/：y=-1.其 中MF=2
2、2 2M N,FH=2 O H=1.【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线y=2?的焦点坐标和准线/的方程：,.【技能训练】(2)如图2所示，已 知 抛 物 线 上 一 点 尸 到 准 线/的 距 离 为6,求点P的坐标：8【能力提升】(3)如图3所示，已知过抛物线y=o?(0)的焦点尸的直线依次交抛物线及准线/于点 A、B、C.若 BC=2BF,A F=4,求 a 的值；【拓展升华】(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段A B分为两段A C和C B,使得其中较长一段A C是全线段A B与另一段C B的比例中项，即满足：A C =B C=
3、V I z l.后人把近二1这个数称为“黄金分割”数，AB AC 2 2把 点C称为线段A B的黄金分割点.如图4所示，抛物线y=S 的焦点F(0,1),准线/与y轴交于点H (0,-1),E 为4线段4F的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一 点.当 耨=&时，请直接写出的面积值.2.(2 0 2 2十堰)已知抛物线y=a/+2 r+c与x轴交于点A (1,0)和点B两点，与y轴交4于点 C(0,-3).(1)求抛物线的解析式；(2)点尸是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合)，作尸。_L x轴，垂足为Z),连接PC.如图1,若点尸在第三象限，且N C P O=4 5 ,求点P的坐标；直线
4、尸。交直线8 c于点E,当点E关于直线P C的对称点E 落在)，轴上时，求四边形 P E C E 的周长.轴交于点C.直线/由直线8 c平移得到，与y轴交于点E(0,n).四边形M N P Q的四个顶点的坐标分别为M(m+1 i+3),N(m+1,m)P(m+5,?)，Q (m+5,m+3).(1)填空：a=,b=(2)若点M在第二象限，直线/与经过点M的双曲线y=K有且只有一个交点，求“2x的最大值；(3)当直线/与四边形M N P Q、抛物线=2+版-2都有交点时，存在直线/,对于同一条直线I上的交点，直 线I与四边形MNP Q的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=a+bx-2的交点的纵坐标
5、.当机=-3时，直接写出的取值范围；求机的取值范围.备用图4.(2022随 州)如 图1,平面直角坐标系X。)，中，抛物线)，=a P+c (a ,将 O A O沿。折叠，得到O E Z）；再以O为圆心，0 4的长为半径作半圆，交射线A 8于G,连接A E并延长交射线B C于F,连接E G,设0 4=x.（1）求证：D E是半圆。的切线：（2）当点E落在8。上时，求x的值；（3）当点E落在2。下方时，设 4 G E与A F 8面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式；（4）直接写出：当半圆。与 B C D的边有两个交点时，x的取值范围.图1图2 （备 用 图）湖北省各地区2022年中考数学真
6、题按题型分层分类汇编-09解答 题（压轴题）参考答案与试题解析一.二次函数综合题（共5小题）1.（2 0 2 2鄂州）某数学兴趣小组运用 几何画板 软件探究y=a?（a 0）型抛物线图象.发现：如 图1所示，该类型图象上任意一点到定点F （0,_）的距离M F,始终等于4 a它到定直线/：y=的距离M N（该结论不需要证明），他们称：定 点F为图象的焦4 a点，定直线/为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.其中原点。为FH的中4 a点，F H=2 O F=-L.2a例如：抛物线y=,其焦点坐标为F（0,工），准线方程为/：y=-1.其中2 2 2MN,FH=2 O H=.【基研i训练】（1）请分
7、别直接写出抛物线y=2?的焦点坐标和准线/的方程：（0,1）,8一8一【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线），=_1）上一点P到准线/的距离为6,求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y=n/（0）的焦点尸的直线依次交抛物线及准线/于点A、B、C.若 BC=2BF,A尸=4,求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段A B分为两段A C和C B,使得其中较长一段A C是全线段A B与另一段C B的比例中项，即满足：A C =B C=V l z l.后人把近二1这个数称为“黄金分割”数，A B A C
8、 2 2把 点C称为线段A B的黄金分割点.如图4所示，抛 物 线 的 焦 点F (0,1),准线/与y轴交于点H (0,-1),E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一 点.当 迎=加 时，请直接写出【解答】解：(1)：a=2,4a 8 故答案为：(0,工)，-1；8 8(2)Va=A,8 准线为：y=-2,点尸的纵坐标为：4,；.x=4&,：.P(4近，2)或(-4&,2)；(3)如图，作 AG_U于 G,作 8K_U于 K,：.AG=AF=4,BK=BF,F H=-L,2aJBK/FH/AG,，丛CBKsCFH,CBKs/CAG,BK BC BK BC 丽声 AG AC.BF
9、_=2BF=2 BF=2BF A.砺 T T=3B F+42a.,.a=L4(4)设点 M(祖，Aw2),4.型=&,M F.M H2=2MF2m2+(ym2+l)2/.-2-=2,m2+(-l-in-1)2*.m=-2,m2=2(舍去)，：.M(-2,1),/E 为线段H F的黄金分割点，.四=吗 工 代-1 或 EH=2-(A/5 -1)=3-娓,当 E 4=代-1 时，SAM E=yEH-|xH|=y X 2 X(V 5-l)=V s -h当 E”=3-A/时，S&HME=3-娓,”M E的 面 积 是 遥-1或 3-代.2.(20 22十堰)已知抛物线y=a/+2t+c与x轴交于点A
10、(1,0)和点B两点，与)，轴交4于点 C(0,-3).(1)求抛物线的解析式；(2)点尸是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合)，作P D _Lx轴，垂足为力，连接PC.如图1,若点P在第三象限，且N C P D=4 5,求点P的坐标；直线P O交直线8 c于点E,当点E关于直线P C的对称点E 落在)，轴上时，求四边形 P E C E 的周长.fc=-39a+-7-3=04c=-3二,=当?+2*-3；-4 4(2)如图1,V：PDOC,：.ZOCE=ZCPD=45Q,VZ C O E=90 ,：.ZCEO=90-NECO=45,：.ZCEO=ZOCEf：.OE=OC=3,点 E(3,0)
11、,直线P C 的解析式为：y=x-3,由3 7+2-3=工-3 得，4 4.*.X 1=-,X 2=0 (舍去)，3当 x=-时，y=-3=-3 3 3：.P(-A,-11)；3 3设点ln r+lm-3）,四边形PEC E的周长记作/,4 4点P 在第三象限时，作EFVy轴于F,.点E与E 关于PC对称，：.NECP=NE PC,CE=CE,轴，:.NEPC=NPCE,J.ZECPZEPC,：.PE=CE,：.PE=C E,.四边形尸E C E 为平行四边形，：.a PECE，为菱形，：.CE=PE,：EF/OA,C E _ E F,BC AB C E -m =,5 4Z.CE=-互”，4：
12、PE=-（-3 3）-（3 2+且 3）=_ 3_ 2 _ 3 m）4 m 0 4 m 4 H 4 m-至-3机，4 4./7/l=0（舍去），ni2=,3：.C E=-x4 3/=4CE=4 X$x =）4 3 3当点P在第二象限时，同理可得：-m=.rS+3m,4 4（舍去），侬=-3./=4X-x =-)4 3 3综上所述：四边形P E C E 的周长为：丝 或 强.3 33.(2022宜 昌)已知抛物线)，=+法-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C.直线/由直线8 c平移得到，与y轴交于点E(0,n).四边形M N P Q的四个顶点的坐标分别为 M 计3),N
13、 (tn+1,m),P(?+5,?)，Q(加+5,m+3).(1)填空：a=,b=-；-2 2-(2)若 点 何 在第二象限，直线/与经过点M的双曲线)，=K有且只有一个交点，求2X的最大值；(3)当直线/与四边形M N P Q、抛物线y=/+Z x-2都有交点时，存在直线/,对于同一条直线/上的交点，直 线I与四边形MNP Q的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=a+bx-2的交点的纵坐标.当机=-3时，直接写出的取值范围；求，的取值范围.备用图【解答】解：(1)将 A(-1,0),B(4,0)代入.(a-b-2=0I 16a+4b-2=0fa=y择得4 c，故答案为：1,-3；2 2(2)设
14、 直 线 的 解 析 式 为：B(4,0),C(0,-2),f4d+e=0I e=_2e=-2.直线BC的解析式为y=X x-2,.直线8 c 平移得到直线/,直线/与y 轴交于点E(0,),直 线/的 解 析 式 为 尸 尹 小 .双曲线y=K 经过点M(m+1,m+3),X:.k=(/n+1)(根+3),o.、m+4m+3*y-，X .直线/与双曲线y=K 有且只有一个交点，xf 1y a x+n联立方程组1 ,整理得/+2 收-2扇-8m-6=0,A=0,即 42-4(-2m2-8/n-6)=0,/.n2+2/2+8w+6=0,/=-2m2-8，w -6=-2(m+2)2+2,点在第二象
15、限，.m+l0,-3m =工-4与抛物线的交点为F (2,-3)；2当，=-3 时，四边形NMPQ 的顶点分别为M(-2,0),N(-2,-3),P(2,-3),Q(2,0),如图2,当直线/经过点P (2,-3)时，此时P点与F点重合，.=-4时，直线/与四边形M N P。、抛物线都有交点，且满足直线/与矩形MNPQ 的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；如图3,当直线/经过点A 时，=工，2当直线/经过点M 时，如图4,=1,1，2综上所述：”的取值范围为：或”=-4；2 当m的值逐渐增大到使矩形MNP Q的顶点M(m+1,团+3)在直线y=X x -4上时，2直线/与四边形M N
16、 P Q、抛物线同时有交点，且同一直线/与四边形M N P。的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，.,.m+3(m+1)-4,2解得m=-13；如图5,当m的值逐渐增大到使矩形MNP Q的顶点M(胆+1,m+3)在这条开口向上的抛物线上(对称轴左侧)时，存在直线/(即经过此时点M 的直线/)与四边形M N P。、平行同时有交点，且同一直线/与四边形MNP Q的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，A (m+1)2-(m+1)-2 m+3,2 2解得m=(舍)或 加=82 叵，2 2 _综上所述：机的取值范围为-13W/n W旦二叵.24.(2022随 州)如 图1,平面直角坐标
17、系x O y中，抛物线丫=亦2+云+0(a 0)与x轴分别交于点A和点8(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=-l,且O A=O C,尸为抛物线上一动点.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2,连接A C,当点P在直线A C上方时，求四边形附B C面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P,M运动时，在坐标轴上是否存在点M使四边形PMCN为矩形?若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理E t l.AA(-3,0),：.OA=OC=3,：.C(0,3),可以假设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),把(0,3)代入抛物线的解析式，
18、得a=-1,二 抛物线的解析式为y=-?-2r+3；(2)如图(2)中，连接 O P.设-m2-2m+3),(图2)S=S 7Poc+S M)BC,=AX3X(-/n2-2w+3)XAX3X(-m)+A x iX 32 2 2(-7 7 l2-3M 7+4)2=一旦(w+A)2+至，2 2 8：-3,.m=3+。，；X B=3,.XE=-1 -,3.=-I -f3设直线C E的解析式为y=px+q,同法可得mn-3 -q:.q=-mn-3,:*q=-(3+6)(-13)-3=4+263 30F=工 序+2b,3二理=L+1=_1 (-3 )+1 =_L w.6.（2 0 2 2鄂州）如 图1,
19、在平面直角坐标系中，R t Z O AB的直角边O A在y轴的正半轴上,且O A=6,斜 边O B=1 0,点P为线段A B上一动点.（1）请直接写出点8的坐标；（2）若动点P满足N PO B=4 5 ,求此时点P的坐标；（3）如图2,若点E为线段O B的中点，连接P E,以P E为折痕，在 平 面 内 将 折叠，点A的对应点为A,当B 4 LOB时，求此时点P的坐标：（4）如图3,若尸为线段A O上一点，且4尸=2,连接。，将线段FP绕点厂顺时针方向旋转60 得线段F G,连接O G,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.A B=VOB2-OA2=V 102-62
20、=8，：.B(8,6)；(2)如 图1中，过点尸作PJ_08于点儿：.PH=OH,设 PHOHx,:NB=NB,ZBHP=ZBAO=90),:.BHPsXBAO,PH=BH=PB*AO BA OB-x-B H-i-P-Bf6 8 10：.BH=-x,尸8=2，3 3.x+&=10,3 L 307.P5=S义 毁=旦1,3 7 7：.PA=AB-PB=8-改=旦,7 7：.P(旦，6)；7(3)如图2中，设B 4 交0 2于点图2VZOAB=90,0E=EB,：.EAEO=EB=5,：.NEAB=NB,由翻折的性质可知N E 4 8=/A,.A =NB,：A P l OB,J.ZETA=NBAO
21、=90,.A TEBAO,A E=ETO B AO)-5 _ET ,1 0 6：.ET=3,87=5-3=2,；C O SB=E L=,PB O B._2_=_8_PB l 0，：.PB=-,2；.4P=AB=PB=8-=H,2 2：.P(11,6)；2（4）如图3 中，以A尸为边向右作等边4 F K,连接K G,延长KG交 x 轴于点R,过点K作K JLA F于点J.KQ LO R于点、Q,过点。作。WLKR于 M NAFK=NPFG=60,.NAFP=NKFG,FA=FK,FP=FG,.AFP会/XKFG(SAS),./%F=/G K F=9 0 ,.点G 在直线KR上运动，当点G 与 W
22、重合时，0 G 的值最小,KJLOA,KQLOR,.ZKJO=ZJOQ=ZOQK=90o,四边形JOQK是矩形，.OJ=KQ,JK=OQ,KA=KF,KJ1AF,.AJ=JF=,K J=M，.KQ=OJ=5,/KRQ=360-90-90-120=60,.Q R=-K Q=,3 33 3.。卬=ORsin60=4,.O G 的最小值为4,OF=OW=4,NFOW=60,.FOW是等边三角形，.F W=4,即尸G=4,，线段F P扫过的面积=60冗X 4=空360 37.(2 0 2 2湖 北)己 知C 是 AB C的角平分线，点E,尸分别在边AC,B C上，AD=m,BD=n,/ADE与/XBD
23、F的面积之和为S.(1)填空：当N AC B=9O ,DEL AC,O F_L B C 时，如图 1,若N B=4 5 ,m=5-/22 2故答案为：4,873;(2)如图3 中，过点。作。历J_AC于点例，D NLBC于 点、N.图3：DM AC,DNLBC,8 平分NACB,：.DM=DN,：NDMC=/D N C=NMCN=90,二四边形4 8 8 是矩形,:.DM=DN,.四边形。MCN是正方形，:/MDN=/EDF=90,NMDE=NNDF,*.NDME=/DNF,:DME经N N F (ASA),S=S&ADE+S 4 BDF=S 4ADM+S&BDN,把BON绕点。逆时针旋转90
24、得到右边ADH,ZADH=90,AD=m,DH=n,.S=mn；2(3)如图4中，过点。作。M，AC于点M,DNLBC于点、N.图49：DM LAC,DN1BC,CO 平分 NAC8,:DM=DN,:/DMC=/DNC=90,NMON=180-ZACB=120,A ZEDF=ZMDN=120,:/EDM=/FDN,：/DME=NDNF=90,:.DMEQ4DNF(AAS),S=S M D E+S BDF=SADM+SBDN,把ADM 绕点顺时针旋转 120 得到DVT,/BDT=60：DT=6,08=4,过点。作DN_L87于点M.,.B H=B DX si n 60 0 =4 XS=S&BD
25、T=2 X 6X 2 禽=6 百.三.四 边 形 综 合 题（共1小题）8.（2 0 2 2随州）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）a b（图1 ）（图2）（图3）（图4）公式：（a+6+c）d=ad+bd+cd公式：（a+b）（c+d）=ac+ad+hc+hd公式：（a -
26、b）2a2-lab+b1公式：（a+b）2=a2+2ab+b2图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式.（2）几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+）（a-b）=足-序的方法，如图5,请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）（3）如图6,在等腰直角三角形A B C中，/B A C=9 0 ,。为B C的中点，E为边A C上任意一点（不与端点重合），过 点E作E G VB C于 点G,作E H A D于点H,过 点B作BF/AC交E G的延长线于点F.记 B f G与A C E G的面积之和为S i,A A B D与A EH的面积之和为5 2.若E为边A C的中点
27、，则红的值为 2 ；S2 若E不为边AC的中点时，试问中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.（图5）（图6）【解答】（1）解：观察图象可得：图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式;故答案为：，；（2）证明：如图：由图可知，矩形8 c M和矩形EGHL都是正方形，*：AK=BM=BF-MF=a-b,BD=BC-CD=a-b,；S 矩形(a-/?)=BFBD=S 矩 形DBFG，:S正方形BCEF=Q2=S矩 形CDHL+S矩 形DBFG+S正方形EGHL=S矩 形a)”L+S矩 形A K L C+Z?，*6 Z2=S 矩 形 AK/YO+b2,5矩 形4
28、长”。=4犬 4)=(a-b)(+/?),；/=(a-b)(a+b)+/，:.(a+b)(a-b)=a2-/?2；(3)解：设 8D=，由已知可得ABO、/AEH.ACEG BbG是等腰直角三角形，四边形OGE”是矩形,：.AD=BD=CD=mf E是AC中点,:.H E=D G=L n=A H,2C G=C D -D G=m,B G=F G=B D+D G=,2 2/.Si=S&BFG+S&CEG=X X J i X X L”=-m2,2 2 2 2 2 2 452=SABD+SAEH-lm2+X _!/”X m=m2,2 2 2 2 8 I=2S2故答案为：2；E 不为边AC的中点时中的结
29、论仍成立，证明如下：设 8。=，DG=b,由已知可得AB。、AEH、CEG、ZXBFG是等腰直角三角形，四边形QGEH是矩形,:.A D=B D=C D=a,A H=H E=D G=b,E G=C G=a-b,FG=BG=a+b,Si=SABFG+5ACEG=A X (a+h)2+A x (,a-b)=a2+b2,2 2S 2=SMBD+SAAEH=i j2+X b2=(a2+b2),2 2 2四.圆 的 综 合 题（共 1小题）9.（2022荆州）如 图 1,在矩形4 8 8 中，AB=4,4 0=3,点。是边AB上一个动点（不与点A 重合），连接0。，将04。沿 0。折叠，得到0E。；再以
30、。为圆心，的长为半径作半圆，交射线AB于 G,连接4 E 并延长交射线8 c 于 F,连接E G,设。4=x.（1）求证：O E是半圆。的切线：（2）当点E 落 在 上 时，求 x 的值；（3）当点E 落在BO下方时，设aA G E 与4 以 面积的比值为y,确定y 与 x 之间的函数关系式；（4）直接写出：当半圆。与BCD的边有两个交点时，x 的取值范围.图1图2 （备 用 图）【解答】（1）证明：四边形4 B C。是矩形，A ZDAO=90,:将。4。沿0D折叠，得到OED,.N O E）=/D 4 O=9 0 ,：.OEDE,0 E是半径，.O E是 的 切 线；（2）解：如图2中，当点
31、E落在8。上时,图2在 R tZ X A O B 中，ZDAB=90,AD=3,AB=4,*-BD=VAD2+A B2=V 32+42=5)*SAADB=SM DO+SBDO，.AX3 X 4=AX3XX+AX5XX,2 2 2 -Ar=3 2（3）解：图2中，当点E落在8。上时,。垂直平分线段AE,：1AD AO D O-AJ,2 2：.AE=2AJ=.6 x,：AG是直径，NAEG=/A B F=90 ,：ZEAG=ZBAF,：./AEGS/ABF,(6x)2.*$*=(AE)2=_&+9 _=_(0 x 2)；S/kABF 研 42 4X2+36 2(4)当。与 CO相切时，x=3,当。经过点 C 时，/=(4-x)2+32,l 258观察图象可知，当3 V x 3 或 至 xW 4时，半圆。与BCO的边有两个交点.2 8