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1、江苏省扬州市仪征市古井中学2021-2022年九年级上学期期末数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.数据-2,5,4,-3,-1 的极差是（）A.8 B.7 C.6 D.52.方程x?=4x的根是（）A.x=4B.x=0C.X=0,x2=4 D.XI=0,x,=-43.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中,能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A.条形图 B.扇形图C.折线图 D.频数分布直方图4.如图，在 ABC中，ZACB=90,CDJ_AB于点D,则图中相似三角形共有A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对5.我校有45名同学参加
2、2022元旦晚会预赛，预赛成绩各不相同，要取前22名参加元旦晚会，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入，只需再知道这45名同学成绩的（）A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差6.如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A 的概率是（）A7.如图，正方形ABC。内接于。，线段MN在对角线BD上运动，若。的面积为2兀，M N=1,则AAAW周长的最小值是()二、填空题8.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，A B=A D,若/ABZ)=36。，则N C 的度数是.10.若 m 是关于x 的方程/一38-1=
3、0的解，则代数式6帆-2 加+5的值是.11.一组数据：-1,3,2,x,5,它有唯一的众数是3,则这组数据的中位数是一12.已知一个圆锥的底面半径长为女m、母线长为6 c m,则圆锥的侧面积是cm2.13.二次函数)，=2+陵+2 的图象经过点(-1,0),则代数式a-b 的值为.14.已知四条线段a、2、6、a+1 成比例，则 a 的值为.15.如图，圆。的半径为1,AABC内接于圆O.若 NA=60。，4=75。，则/$=1 6 .如图，点。，E分别在 A B C 的边A C,A B 上，ADE/ABC,M,N分别是D E，BC的中点，若瑞寿则 薨=一1 7 .定义：a,4c 为二次函数
4、丫 =以 2+，（an。）的特征数，下面给出特征数为卜-犯 2-间 的二次函数的一些结论：当机=1 时，函数图象的对称轴是V 轴；当机=2时，函数图象过原点；当机0 时，函数有最小值；如果用 0,当时，y随x的增大而减小，其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.1 8.如图，在AABC 中，A 8=4,8 C=5,点。、E分别在 8 C、AC上，CD=2BD,CE=2AE,B E 交 A D 于点F,则A A B E 面积的最大值是.三、解答题1 9 .解方程:(l)3 x2-x=3；(2)(-2)-x+2=0.2 0 .初 三(1)班要从2男 2女共4名同学中选人做晨会的升旗手.(1
5、)若从这4人中随机选1 人，则 所 选 的 同 学 性 别 为 男 生 的 概 率 是.(2)若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率.2 1 .已知关于x的一元二次方程9-4,冰+3 加2=0.(1)求证：该方程总有两个实数根：(2)若机 0,且该方程的两个实数根的差为2,求机的值.2 2 .某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查.设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A.很少；B.有时；C.常常；。.总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成如图两幅不完整的统计图.各选项选择人数的扇形统计图 各选项选择人数的条形统计图ooooooooOS76543
6、21请根据图中信息，解答下列问题：(1)填空：a=%,b=%；(2)请你补全条形统计图；(3)若该校有2 0 0 0 名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？2 3 .如图，在边长为1 个单位长度的小正方形网格中，(1)画出 A B C 向上平移6 个单位，再向右平移5 个单位后的 A B ；(2)以点B为位似中心，将AA B C放大为原来的2 倍，得到A&BG，请在网格中画出 A 2 8 c 2；(3)直接写出CGG的面积，及 A，4 的坐标.24.如图，在平行四边形ABCD中，点 E 是边BC上的点，连 接 DE,F 为线段DE上一点，且NAFE=
7、NB.(1)求证：AADFs/DEC；(2)若 AB=8,AD=6有，AF=4后，求 DE 的长.25.如图，。是AA B C的外接圆，AB是直径，作 ODBC与过点A 的切线交于点D,连接。C并延长交AB的延长线于点E.(1)求证：OE是。的切线；(2)若 AE=6,CE=2y/3,求线段CE、8E与劣弧BC所围成的图形面积.26.在直角坐标系中，设 函 数 丫=+法+1 (a,匕是常数，存0).(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)已知a=b=l,当*=,q(p,q 是实数，叶q)时，该函数对应的函数值分别为P,Q.若 p+q=
8、2,求证：P+Q6.2 7.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.(1)AA B C是边长为3 的等边三角形，E 是边AC上的一点，且 AE=1,小亮以BE为边作等边三角形8尸，如 图 1,求CF的长；C F图1CF图2(2)AABC是边长为3的等边三角形，E是边A C上的一个动点，小亮以8 E为边作等边三角形B E F,如图2,在点E从点C到点A的运动过程中，求点尸所经过的路径长；(3)AABC是边长为3的等边三角形，M是高C D上的一个动点，小亮以8 M为边作等边三角形B M N ,如图3,在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长；(4)正方形Af i CO的边长为3,E
9、是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形8 F G 4,其中点尸、G都在直线A E上，如图4,当点E到达点B时，点 尸、G、H 与点B 重 合.则点H所 经 过 的 路 径 长 为，点G所 经 过 的 路 径 长 为.28.如 图1,在四边形ABCD中，Z A B C =ZB C D,点E在边8 C上，且A/CD,/A8,作CF AD交线段A E于点凡 连接BE(1)求证：AA3 F四 E 4O；(2)如图 2,若 AB=9,CD=5,Z E C F =ZA E D,求 BE 的长；BE(3)如图3,若3尸的延长线经过A。的中点M,求芸的值.参考答案:1.A
10、【分析】先求出这组数据-2,5,4,-3,-1 中最大值是5,最小值是-3,根据极差的定义，最大值-最小值计算即可.【详解】解：数据-2,5,4,-3,-1 中最大值是5,最小值是-3,数据-2,5,4,-3,-1 的极差是 5-(-3)=8,故选：A.【点睛】本题考查极差的定义，掌握极差的定义，一组数据的最大值-最小值是解题关键.2.C【分析】首先将4x移项到方程的左边，再提取x 进行因式分解，即可得到答案.【详解】解：d=4 x,移项，得 2-4*=0,因式分解，得x(x-4)=0,Xj=0,x2=4,故选C.【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，熟练根据方程特点选择合适的方法是解题关
11、键.3.B【分析】根据统计图的特点判定即可.【详解】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图.故选：B.【点睛】本题考查了统计图的特点，条件统计图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统计图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键.4.C【详解】VZACB=90,CDAB,.,.ABCAACD,ACDsCBD,ABCsCBD,所以有三对相似三角形.故选C.5.A【分析】学校有4 5 名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前22名参加决赛，则根据中位数的意义进行排除选项即可.答案第1
12、页，共 22页【详解】解：学校有45名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前22名参加决赛,，成绩超过中位数即可参加决赛，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这45名同学成绩的中位数即可；故选：A.【点睛】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解题的关键.6.D【分析】根据题意两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含点A矩形个数，进而利用概率公式求出即可.【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，则如图的三条横线和三条竖线可以组成9个矩形，其中含点A矩形4个，所选矩形含点A的概率是故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力,是基
13、础题.7.B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算.【详解】如图所示，（1）N为BD上一动点、,A点 关 于 线 段 的 对 称 点 为 点C,连接C N,则C7 V=A N,过A点作C N的平行线AG,过C点作3 0的平行线C G,两平行线相交于点G,A G与3。相交于点M.：CNHMG,NMHCG,答案第2页，共2 2页 四边形C NMG 是平行四边形.M G =C N:.M G =A N贝 ij C.AMN=A N+AM+NM=MG +AM+1(2)找一点连接C NL 则C N=AM,过 G 点作C N，的平行线MG ,连接AM，则QAWw=A N+AM+N M =AN+A M
14、 +C G =A N+A M +NM =AN +AM+1 .此时 A/V+A M +l v A V，+W+l r 0 ,x1 V 372x 3得看1 +V 37 1-V 37(2)(x 2)(%3)=0 ,犬-2=0或无-3=0,/.X =2,X2=3 .【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.20.（1）3；（2）P（这2名同学性别相同）=，【分析】（1）用男生人数2除以总人数4即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
15、答案第9页，共2 2页【详解】解：（1）：2 =14 2（2）从 4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：（男 1，男 2）、（男 1,女 1）、（男 1,女 2）、（男 2,男 1）、（男 2,女 1）、（男 2,女 2）、（女 1，男 1）、（女 1，男 2）、（女 1,女 2）、（女 2,男 1）、（女 2,男 2）、（女 2,女 1）,共 有 12 种，它们出现的可能性相同，满足“这 2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有4种，4 1所以 P（A）=.2 1.（1）见详解：（2）m =l【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x的一元二次方程Y 一 4
16、 武+3*=0的两实数根为屈弓，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得不+电=4 色%=3/，进而可得（百-）2=4,最后利用完全平方公式代入求解即可.【详解】（1）证明：由题意得：a =l,h =-4m,c =3m2,A-b2-4a c -16m2-4 x 1x 3疗=4 m2,*/n2 0 *A =4/n2 0，.该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x的一元二次方程丁-4 如+3/=0的两实数根为为保，则有：xt+x2-4m,xt-x2=3m2,|x,-x,|=2,（%1-x2）=（%+W）-4xtx2-16m2-12m2=4,解得：m =+,/?0,m =l.【点睛】本题主要考查一元二
17、次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键.2 2.（1）12,36；（2）见解析；（3）7 2 0 人【分析】（1）首先计算出抽查的学生总数，然答案第10 页，共 2 2 页后再计算a、6 的值即可；(2)计算出“常常”所对的人数，然后补全统计图即可;(3)利用样本估计总体的方法计算即可.【详解】解：(1)调查总人数：4 4 2 2%=2 0 0 (人)，2 4a =x 10 0%=12%,2 0 07 2b =x 10 0%=36%,2 0 0故答案为：12,36；(2)“常常”所对的人数：2 0 0 x 30%=60 (人),补全统计图如
18、图所示：各选项选择人数的条形统计图2 0 0 0 x 36%=7 2 0 (人),答：常常”对错题进行整理、分析、改正的有60 0 人，“总是”对错题进行整理、分析、改正的有7 2 0 人.【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用，熟练掌握抽样的各项数目、各项百分比、总数、各项圆心角及整体的各项数目、各项百分比、总数等的计算方法是解题关键.2 3.(1)画图见解析(2)画图见解析(3)9,A(7,9)、4(3,5)【分析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出4、用、G的坐标，然后描点即可；(2)延长BA到4使 8 4=2 5 4,延长BC到G 使 8 c 2=2 8 C,从而得到答案第1
19、1页，共 2 2 页（3）利用三角形面积公式C G G 的面积，然后利用（1）、（2）中所画图形写出A、4的坐标.（1）解：如图所示，8 6 即为所求；（2）解：如图所示，A ABCZ即为所求；（3）解：由题意得：S qG =g x 3 x 6 =9,4（7,9）、4（3,5）【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.也考查了平移变换.24.（1）详见解析；（2）1 2【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四
20、边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：AADFs/xDEC；（2）由 A D Fs/X D EC,得比例，求出D E的长.【详解】解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，:.AD/BC.AB/CD,：.ZADE=/DEC,N8+NC=180,.,ZB=ZAFE,ZAFE+ZAFD=80,答案第12页，共 22页4C =NAFD,:.丛ADF SDEC.(2),四边形ABCD是平行四边形,:.AB=CD,/AB=8,CD=8,八 A D F sD E C,.AD AF99D EDC :AD=6 区 AF=4
21、 8,CD=8,.*竺生=晔=12.AF 4G【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.25.（1）见解析：（2）2Q -,兀【分析】（1）由题意可证AA。名C D O,可得NDCO=ND4O=90。，即可证DE是。的切线；（2）由题意可证 CBES/A C E,可求BE的长，AB的长，。8 的长，0C 的长，根据锐角三角函数可求NCOB=60。，根据线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积=ACOE的面积-扇 形 OBC的面积可求解.【详解】解：（1）证明：连接。C,，ZDAO=90,/OC=OB：.ZO BC=ZO CB,
22、JOD/BC答案第13页，共 22页，Z DOC=Z OCB,Z DOA=ZOBC：.ZDOA=ZDOCHAO=CO,DO=DO：.(S W4DCO=ZDAO=90V ZDCO=90,0 c 是半径是。O 的切线；(2)是。的切线，4 8 是直径，/.ZACB=ZECO=90,NACO+ZOCB=ZECB+ZOCB,ZACO=ZECB,：OA=OC,：.ZOCA=ZCAB,：.N E C B=N C A B,且NCE4=/CEA:.CBESXACE.CE BE Rn 243 BEAE CE 6 2 6：.BE=2：AB=AE-BE=4Z.0B=2=A 0=0COE=4：.ZCOE=60线段CE
23、、BE与劣弧8 c 所围成的图形面积=1X2X2G -6 0=243-2 360 3【点睛】本题考查切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形求线段的长度是解答本题的关键.26.(l)y=r-2 x+l,(1,0)(2)证明见解析.【分析】(1)将(1,0)和(2,1)两点代入=奴2+法+1即可求出函数表达式；再根据答案第14页，共 22页b 4，一 h函数的顶点坐标为）即可写出函数的顶点坐标；（2）将（p,尸），（夕，。）代入函数表达式，得到关于P 和。的等式，再将两个式子相加得到 P+Q=2+g2+q+2,根据p+g=2且?%即 可 得 到 P+Q
24、关于夕的等式，将该式进行配方即可证明.（1）把（1,0）和（2,1）代入=/+次+1得：（0=a+b+l a=07 1 T解得：）,0；1 =4 +2b+1 h=-2.,.函数表达式为：y=f-2 x+l,该函数顶点坐标为：（-二，二），即（1，0）；2 4（2）.a=b=l,，函数表达式为：y=x2+x+f:当 x=p,夕时，该函数对应的函数值分别为P,Q,.p =P1+*Q=q2+q+/.尸 +Q=+/+p+q+2,Vp+=2,:.p32-q,P+Q=p2+2+4=（2-q）2+q2+4=4 一的+2夕 2+4=2q2 4+8=2（q I）?+6.p+4=2 且 p M答案第15页，共 2
25、2页(4-1)20,P+Q=(4-iy+6 6【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，会用待定系数法求解函数的表达式是解决(1)的关键，会用配方法求最值是解(2)的关键.注意p+g=2且 p却，则 后 1；故(I):0.27.(1)1；(2)3；(3)(4)之；【分析】(1)由 A4BC、M E F 是等边三24 4角形，BA=B C ,BE=BF,Z ABE=N C B F,可证 AABEgACBR 即可；(2)连接CF,A4BC、ABEF是等边三角形，可证A4BE丝AC8尸，可得ZBCr=N A fiC,又点E在 C 处时，CF =A C,点E 在 A 处时，点F 与C重合.可得点F运动
26、的路径的长=AC=3；(3)取 BC中点H,连接“N,由AABC、ABMN是等边三角形，可证A D B M m A H B N ,可得N H L B C.又点M 在C 处时，H N =C D =，点、M 在 D 处时，点 N 与 H 重 合.可2求点N 所经过的路径的长2(4)连接C G/C ,0 8,由NCGA=90。，点 G 在以AC中点为圆心，4 c 为直径的BC上运动，由四边形A8C。为正方形，BC为边长，设。C=x,由勾股定理CO,+80?=8C?即，可 求 彳=辿，点 G 所经过的路径长为8(?长=逑 ，点”所经过的路径长为枷的24长“=3:).4【详解】解：(1)V AABC A
27、BF是等边三角形，:BA=B C,BE=B F ,Z A B C =Z E B F =60 .:.Z A B E+N C B E =N C B F +N C B E,Z A B E =/CBF,：.A B E C B F,：.CF=A E =1；(2)连接CT,V M B C,M 所是等边三角形，:.BA=B C,BE=BF,Z A B C =A E B F =60 .：.Z A B E +N C B E =/C B F +/C B E,答案第16页，共 22页:.ZABE=/C B F,：.C F=A Ef NBCF=NBAE=600,/ZABC=60f：.ZBCF=ZABC,：.C F H
28、 AB,又点石在C 处时，CF=A C,点七在A 处时，点尸与C 重合.点/运动的路径的长=AC=3；(3)取 BC中点”，连接HN,BH=-BC f2：.B H=-A Bf2：CD L A B,：.BD=-A Bf2:.BH=BD,V M B C.A8MN是等边三角形，:.BM=BN,ZABC=ZMBN=60 9：.Z.DBM+/M BH=4HBN+ZMBH,:.NDBM=/H BN ,:.XDBM 色 bHBN,答案第17页，共 22页:H N =D M ,/B H N =A B D M =90。，：.N H I B C,又点M在C处时，H N =C D =,点M在。处时，点N与H重合,2
29、.点N所经过的路径的长=C D =62(4)连接 CG,AC,OB,ZCGA=90,.点G在以AC中点为圆心，AC为直径的B C上运动,:四边形A8CZ)为正方形，3 c为边长，.NCOB=90,设 OC=x,由勾股定理C O B O?=BC?即f+f =32,.3夜 x=-，2点G所经过的路径长为BC长=32%万，点H在以8 c中点为圆心，BC长为直径的弧冽 上运动,点H所经过的路径长为咖的长度，点G运动圆周的四分之一，二点，也运动圆周的四分一，1 3 3点”所经过的路径长为瓶的长=；*2 T x =;r,故答案为：万；3亚兀.4 4答案第18页，共22页【点睛本题考查等边三角形的性质，三角
30、形全等判定与性质，勾股定理，9 0。圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，9 0。圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键.2 8.(1)见解析；(2)6；(3)1 +72【分析】(1)根据平行线的性质及已知条件易证Z ABE=ZAEB,Z D C E =Z D E C,即 可 得=O E=)C；再证四边形A FC Q是平行四边形即可得A F =C D,所以A F=D E ,根据S A S即可证得 A B F E A D；(2)证明钻，利用相似三角形的性质即可求解；AD AT RF(3)延长B M、E。交于点G.易证AABES AQ C E,
31、可得=设C E=1,D C D E CEBE=x,D C=D E =a,由此可得 A 8 =A E =o r,A F =C D =a i 再证明 M A B A M D G ,根据全等三角形的性质可得。G =A B =o x.证明幺8 s尸EG,根PA A Q n nx据相似三角形的性质可得W =芸，即 二 -=-一 解 方 程 求 得X的值，继而求得FE E G a(x-l)a(x +l)BE 1 v l/吉二K 的值EC【详解】(1)证明：-AE/CD,;.ZAEB=N D C E；-：D E/A B,.ZABE=ZDEC,N1 =N2,.ZABC=/BCD,;.ZABE=ZAEB,/D
32、C E =/DEC,A B =AE,D E =D C,答案第1 9页，共2 2页V AF/CD,AD/CF,，四边形AF C。是平行四边形/.AF=CD.AF=DE在与&E A O中.AB=EA Z 1 =Z 2 ,AF=ED AABF m/XEAD(SAS)(2)/XABF/XEAD,;.BF=AD,在 中，AD=CF,:.BF=CF,./FBC=/FCB,又./尸C 8 =N2,Z 2 =Z 1,:.NFBC=A在Z k E B/与E Ab中.JNEBF=/IZBEF=ZAEB 9:.EBFsEAB；,EB _EF-A B=9,答案第2 0页，共2 2页.AE=9；CD=5,/.AF=5；
33、/.EF=4,EB 4=，9 EB .BE=6或-6(舍)；(3)延长8M、ED交于点G.45七与4灭石均为等腰三角形，ZASC=ZDCE,:./A B E A D C Ef.AB AE _ BE,DCDECEf设CE=1,BE=x,DC=DE=a,则 AB=AE=ax,AF=CD=a,EF=a(x-1),-A B/D Gf/.Z3=ZG；在与 ziMDG 中，Z3=ZGN4=N5,MA=MDAMDG(AAS)；答案第21页，共22页/.D G =AB =a x.E G =a(x+l)；：A B H E G,:./FAB Z FEGfFA AB/.=,FE EGa _ a xa(x-i)(x+l)/.x(x-l)=x+l ,x 2x 1 =0 (X-1)2=2,x =1 5/2，/.X,=I 5/2 (舍),%2 =1 +y/2,.1=1+0.EC【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键.答案第2 2 页，共 2 2 页