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1、第一章 量子力学的诞生c o,x a1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，V(x)=/0,0 x a试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有 a=n-(=1,2,3,)2A-2a/n(1)又据 d e Br o g l i e 关系 p=h J九(2)而能量E =p 2/2 m =力2/2 比2h2n2 乃 力1 o o =r 5=1,2,3,)2m -4 a 2m a1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹
2、性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z 轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 px-dx =nxh,(%=1,2,3,)即px-2a-nxh (2a：一来一回为一个周期)px-nxh/2 a,同理可得，p、=n、h/2b,p.=n.h/2c,nx,ny,n.=1,2,3,粒子能量厂1 /2 2 2 71 E =-（P；+PY+P1）=-2 mL 乙叩 2m（2M2 2区、+0+区a2 b-c2 7nx,ny,n.=1,2,3,L 3 设 质 量 为 加 的 粒 子 在 谐 振 子 势=中运动，用量子化条件求粒子能量的可能取
3、值。2提示：利 用 p.dx =n h,n =p=y j 2m E-V(x)解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为|x|a(1)其中。由下式决定：E =V M x a=m t o2a 山此得a-mco1(2)x=a即为粒子运动的转折点。有量子化条件,P+a-dx=2-g m2，)dx=2mco-a2ma2 =mcoTia=nh2+a _2-x?dx-a加 2 nh 2方 得a=-=mcoji mco代 入(2),解出(3)En=ntico,=1,2,3,(4)积分公式：f yja2-u2du=yla2-u2+a r c s i n +cJ 2 2 a1.4设一个平面转子的转动惯量为/,求能
4、量的可能取值。提示：利用=1,2,，是平面转子的角动量。转子的能量E =p；/2/0解：平面转子的转角（角位移）记为9。它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件p/x =2乃 p“=也 加=1,2,3,.Pp=mh,因而平面转子的能量Em=p l/2 I=m2ti2/2 I,m=1,2,3，一第二章波函数与S c h r b d i n g e r方程2.1设质量为他的粒子在势场V。）中运动。（a）证明粒子的能量平均值为 E=口3广。，方2*,co=v +(能量密度)2m（b）证明能量守恒公式dw c _ 八_ ti2(di/*di/*1 金、+V-5=0 s=-一-H-V /阪)(尸
5、/)=0。at Jdl l/,力2 2 证：法卫二-V2+V 5dt I Im J 1请除=(一 e+”kdt y 2m J取(1)之复共瑰：i h|-V2 4-V :dt I 2m J 1=-由了 d S),而第二项代表体积7中“产(1)(2)(3)i/2 X(3)一；X(2),得一清一袅一初 之)对全空间积分：_ 法 jdV；(尸)”2(7，0 =_：2步Jat J 2m J=一 答 W v.(忆:一;V匕)一(v%).(；)+(；)(V%)2m,=答 口 .(%*一%*7匕)2m,即-g J(忆V”；一；V匕)=0,(无穷远边界面上，心?-0)：小/)=。2.4)设一维自由粒子的初态(x
6、,0)=e E,求(xj)。解:科(xj)=e唔2.5 设一维自由粒子的初态(x,0)=8x),求M(x,2。+00+00提示：利用积分公式j c o s e jsin(2)c/=7/2-0 0+00-0 0或解：作 Fo u r i er 变换：Jex p M L =正 expzR4 o-0 0-too=7 3 J次PdP 9(P)=1+0C +oo-yL=(p(xS)e-ipxlt,dx=-yL=3xe-ipxlhdx=-4=,+CC(,E-p 2121n)(指数配方)gnvc212M2万 力+-0 0i t2m t im x .p-dpt )令 r,则2.6设一维自由粒子的初态为(x,0
7、),证明在足够长时间后,W(x,t)=exp-z-/4 exph ti m x 2h t(P m xh t+x式 中(p(k)=.dx 是.(x,0)的 Fo u r i er 变换。X提示：利用 l i maT O O6)(x)o证：根据平面波的时间变化规律*93 -E/h =h k 1 2 m ,任意时刻的波函数为“(X)=j L=M O e Q l 必/2m)成J 2 乃1 imx212tu2(1)当 时 间 足 够 长 后(所 谓 8),上式被积函数中的指数函数具有b 函数的性质，取a =h t/2m ,(2)参照本题的解题提示，即得(3)(4)物理意义：在足够长时间后，各 不 同 k
8、值的分波已经互相分离，波群在x 处的主要成分为女=，/x/初，即x h k t/m,强度8帆 2,因子切而描述整个波包的扩散，波 包 强 度 8I。设整个波包中最强的动量成分为球0,即女=心时帆伏片最大，由(4)式可见，当，足够大以后，附2 的最大值出现在切 必 价=心 处，即x =M(加处，这表明波包中心处波群的主要成分为篙。2.7 写出动量表象中的不含时Schriidinger方程。2解：经典能量方程-+V(r)。2m在动量表象中，只要作变换pf p,dp所以在动量表象中，S chr iidinger 为：:+V卜 方:材(p)=E (p)。2m I dp J第三章一维定态问题3.1)设粒
9、子处在二维无限深势阱中，V(x,y)一 ，0 xa,0yb=卜 0,其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。如。=b ,能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为%,=喙 的+.)2.7m、x.勿=r=s i n sin 入 a a bn*x*,n J=1,2,2若则 4，=犷(:+;)=2s i.n 7uixxs i.n 如vy a a a这时，若 则 能 级 不 简 并;若 a w v,则能级一般是二度简 并 的（有偶然筒并情况，如%=1 0,、,=5*Ja JAy与 .r =1 l,nv=2 )3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即V(x,y,z)=0,0 x a,0 y b,0 z
10、 c00,其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。如a=z?=c,讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为E=(4+4+42m a2 b2 c2nx,ny,n.=1,2,3,当a=b =c 时，En n n方2万22ma(：+；+Y)wn n nx ys i.n mxxs i.n-叫;ys i.n 7m.yanx=ny=：时，能级不简并;三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。%,v，：三者皆不相等时，能级一般为6 度简并的。如 (1,3 4 1)(1,5,1 0)-(3,6,9)3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，VHy）。，0 oo,x a证明处于定态“（x）的粒子
11、-aX 2,(x-x)2=(11 26-2 2n TV)讨论“f 00的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数(、f2 .n n-“(x)=J-s in x.V a ax-=r)x Ii/I2,2 r .2 n 7r 分部 an|ax =y x s in x dx =(1)-2?一4(x -X)=X-x=2 dx上42 1 ,2 n m a2x (1-cos-)dx-2 a 41 21(1 n27C2)(2)在经典情况下，在（o,。）区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处
12、于x f x +dx范 围 的 几 率 为%,故_ 2 2(X-X)2=X-X 2=_a-a-3 4(4)当n 3 8时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中,V(x,y)=0,00,x a/2 x aj 2处于基态5=1）,求粒子的动量分布。解：基态波函数为 2 71X=J-C O S一，V a a(参P 5 7,(1 2)“、1%JP%2 m,.，()=/-.e/h-A cos dx V a a悭e4%而 1%2(1万2 力 2 _a2p2pa 1cos 4-w p 2 方h7Ta-cos+phpa2t ipacos22%动量的几率分布p（p）=M（p）/
13、=（产）八，cos 2 烂 7T2h2-a2p2）2 方3.5）设粒子处于半壁高的势场中oo,x 0V（x）=-Vo,0 x a求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出s.e q:；(x)+k 2 i(x)=0,以(x)-k M(x)=，其中 片2=#匕+矶n方程的解为=W2(x)=C*+De*0 x ak22/z E根据对波函数的有限性要求，当X-8 时，2（万）有限，则c=o当x =0时，的(x)=0,则 A +8=0于是%(x)=F s i n Z:x,夕 2(x)=0e*,0 x a(1)(2)(3)(4)(5)在 x =处，波函数及其一级导数连续，得F s i
14、 n k a=D e-110,k F c os k a=-k D e(6)即上两方程相比，得(7)若令 ka=百,ka=t则 由(7)和(3),我们将得到两个方程：(79(8)7=g c tg g小=爷。2n(9)(10)(10)式 是 以r=，2匕/力2a为半径的圆。对于束缚态来说，-%E 0,结 合(3)、(8)式可知，&和都大于零。(1 0)式表达的圆与曲线7 7 =-1小4在第 象限的交点可决定束缚态能级。当尸2万/2,亦即 匕/2后 方2小(11)时，至少存在一个束缚态能级.这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。3-6)求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即
15、0 E oo时，一 0,故有,4个,i/A sin(乙+5),_ 2/n(V-E)h x0,k=/2m(yE)/h0 x a,k-yjlmE/h(b 万)a x,k2=仅2-)/方由 I n/在x=。、x=。处的连续条件，得k、=kctgb,k2=-kctg(ka+6)(1)由(la)可得(2)由于匕，右,女皆为正值，故 由(1 b),知 履+6为二，四象限的角。因而 sin(hz+6)=土-,加J2叫(3)又 由（1）,余 切 函 数（e r g）的周期为万，故由（2）式,6=n +s i n-1n=1,2,3,由(3),得 k c i +b =n兀-结合(4),(5),得 k a=n27r
16、 -.T h k-s i n /y l 2m V2.i fi k-n 乃一 s i n 7h kh k._ih k 2机匕，2叫 7121n V2(4)(6)一般而言，给定一个值，有 一 个 解 心，相当于有一个能级:E X2m(7)当 匕=匕 时，仅当a-y j 2m V2力才有束缚态故 匕，匕 给 定 时，仅当(8)时 才 有 束 缚 态（若 匕=匕=丫，则 无 论V和。的值如何，至少总有一个能级）当 匕，匕，。给定时,山（7）式 可 求 出 个 能 级（若有个能级的话）。相应的波函数为:h k k n xx 0 ,kl n=J 2 m化-砌/力匕=A“s i n(k“x +2),A 产
17、要-e-),(2 M0 x a,k2n=y 2m(V2-E)/方其中 A“=j 2/(a+%+“&)3-7）设 粒 子（能 量E0）从左入射，碰 到 下 列 势 阱（图），求阱壁处的反射系数。解：势阱为V(x)=一%,x 0.在 区 域I上有入射波与反射波，在 区 域H上仅有透射波。故%=Aei kx+Be-i kx,k,=J 2?(+E)/%y/2-Ce*k2-l 2m E/ft由%（0）=2（0），得A+B=C o由%(0)=2(0),得k1(A B)=k2c o从上二式消去c,得(&i 一 22)4=(&i +葭)B。反射系数炉=优 _ 七）2A*2（占+七）2证：谐振子波函数 忆（x）
18、=A,i 7 2H“（ax）ct将匕，号代入运算，可得R=_(J%+E+_ -VO2/16 E2,面=1 47,E 匕E V038）利用H er mi t e多项式的递推关系（附录A 3。式谐振子波函数满足下列关系（1 D）,证明x“(x)=一a9 一 1。）+心|+-匕1,+1。）2(x)=(-1腔2(x)+(2 +1(X)+J(+l)(n+2M+2(x)并由此证明，在科“态下，x =0,y =En/2(1)其中，归 一 化 常 数 A“a=m伍(2)H(a x)的递推关系为 Hn+(ax)-la x Hn(c zx)+2nHn_(a x)-0.(3).e.xi/n(x)=A e a?.xH
19、n(ax)=4 6 一，/2.2axHn(ax)2a=7 T-4 产，2 Hn+l(a x)+2nHll_l(a x)2a x1aea：x2 2 nHn.(%)+T /Cn 2a1“T(X)+J*n+k1+i(x)ae j 72.”向 g x)2xV“(x)Z x w.T (x)+J -+x1i i l+l(x)匕.2(X)+匕,(x)+2-y-+2W T (l)-2(x)+(2 +1%,(x)+J(+l X +2 2 (x)一 X y =,M-mco2x2-i/Mdxco J 2 l am a)-r-(2n+1)=2 2 a 2 7 2 +；W=E“/239)利用H er mi t e多项式
20、的求导公式。证 明(参 A 3.式(12)n+1区 k(x)=a 山dx为.(x)=%j (-1)%,_ 2 一 (2 +1 *“+J(+1/+2K 2 证：A 3.式(12)：H“=2 皿 _ 必),叫”=2 皿 一 皿)d x五%3=A 卜 以ax -Hn(a x)+e-a%2.2 n a Hl l_i(a x)-a2x y/n(x)+后四(x)-a ,“a(x)+胃n+1k+i +a a qn*1 (x)-J 匕 用(x)%(x)=a而匕(%)a7 2 +2亍 夕 +2=y-/伍-1)喂-(2 +1期“+J(+1X +2限2 +1 公=0同 _(2+1V+J(+2K 2 l x若.(2
21、+N wM d x 也等(2 +1)T +9。=f3-1 0)谐振子处于“态下，计算A p=(p-p ,A x-A p=?解：由题 36),x =0,2V EnX 2 =2m c o m c o +；卜i n c o由题 37),p=0,p -2n i T =mEn-+y n h c o2%o,由此可知即E 亿（X）=材（X）=。一/）I L 1 2n+uiCD mat-2)2n+4”n H mCD-,2)2机/qmet)22n=0,1,2,凡小-牟)L I mco J其中a=Jm。方(7)(8)(9)(10)(11)3 12）设粒子在下列势阱中运动，oo,x 0.12求粒子能级。解：既然粒子
22、不能穿入x0的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的“完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有n=2攵+1的奇宇称波函数在x =0处为零，因而这些波函数是这一问题的解（n=2k的偶宇称波函数不满足边条件-（0）=0 ）所以Ek=（2女+3/2）力&=0,1,2,3 1 3）设粒子在下列势阱中运动,oo,x 0)-rox-a),x 0.是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。力2 d2解：S.e q:-I/-r5x-a)ii/-El/(2)2m对于束缚态(石 0),令 尸=J _ (3)dx h(4)积 分 ”,一(T,得跃变的条
23、件 (+)-“)=-芸-在x wa处，方程(4)化为一俨W=0dx(5)(6)边条件为(0)=0,力(8)=0(束缚态)因此(x)=sh fix,Ae-fi0 x a.再根据x=a点/(x)连续条件及“(x)跃变条件，分别得sh 0a-A*例=(a)_/3Aei-ch pa=-PT由(8)(9)可 得(以 /”()乘 以(9)式，利 用(8)式)八 八 ，c 2mra仇 +仰 c ot h /3a=力 2此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。(8)(9)(1 0)当势阱出现第一条能级时，E f 0一，所 以 优f CT,利用 li m 的 c ot h (3a=li m?=
24、1,为7 0 的 TO th pa(1 0)式化为 -=+伪 c ot h /?=1 +0*,方 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 半4 2 1力2(1 1)纯6势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用(表现为“(X)三0,对x L/2（1 2）即要求无限高势垒离开b势阱较远（。2 2 ）。才能保证b势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a 8（即a L/2 ）,伙 8时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时c ot h 优 1,式（1 0）给出B =m r2/h E _方2 4 2n产一 -即（1 3）与势阱V（x）=-r x）的结论完全相同。令 仇=，则 式（1 0）
25、化为7/（1 +c ot h 7 7）=2m r a（1 4）由于（l +c ot h ）2 1 ,所 以 只 当 爷 021时，式（1 0）或（1 4）才 有 解。解 出 根 之 后，利用7 7 =a =a J-2 zE/力，即可求出能级2m a第 四 章 力学量用算符表达与表象变换4.1）设 A与6为厄米算符，则,（A 6 +A4）和R 4）也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分2 2 z解为F =F+i F _,与 月 均 为厄米算符，且 1T 1 1 1证：i）-（A B +B A）+A B）=-（BA+A B）=-（A B +B A）：.g（4 B +B A）为厄米算符。T 1
26、 1i i）（A B-B A）=（8A*A6）=（BA-（A B -B A）_2i J-2i 2i 2i：.，（A 8 8 A）也为厄米算符。2ii i i）令 F =A B ,则 尸=（A-=A4,且定义 E =（F +尸），F（F-F1（1）22i由i),i i)得工,=2,尸：=F,即 工 和 皆 为 厄 米 算 符。则 由(1)式，不难解得 F=Ft+iF4.2)设6(x,p)是x,p的整函数，证明=一哈x,F=iti F整函数是指尸(x,p)可以展开成F(x,p)=定CP .m,n=O证：(1)先证p,x =-milixn,x,p-nifipn 0p,x =xm p,x+p,xm J
27、r=-ihx+p,xm-2x2=-2 加i+xn-3p,xx2+p,xm-3x3=-3 防+,产3卜=.=-(m-1)访xi+p H T)卜 t=-(m-)ihxm1-ihxmi=同理，k，p=ifip +p2 x,PP+x,p2 p22ifipn-+x,p-2p2=nihp现在，p j=P，Z C P =ZGP，P/n,n=O m,n=O=f c,“,，川一 in,n=0而加力 xT)p。X m.n=0P，尸=T力Fdx5OP-x，+x,c p =Zc k，pn m,n=0 m,n=0又=:(刎 T)z?j,n=O而由 笆dpin,n=OLx,F ih F前4.3)定义反对易式 A B =A
28、 6 +B 4,证明AB,C=AB,C1-A,CfBA,BC=A,BC-BA,Ct证：AB,C=AB,C-A,CB=ABC-ACB+ACB-CAB=A(BC+函-(AC+CA)B=AB,C1-A,CtBA,BC=A,BC+BA,c=ABC-BAC+BAC-BCA=(AB+BA)C-B(AC+CA)=A,BC-BA,C4.4）设B,己为矢量算符，N和石的标积和矢积定义为Q=Z AAB,X 司=X4A “力a耶丫a，B，y=x,y,z,eapr 为 Le v i-c i v i t a 符号，试验证A .（f i x C）=（A x B）-C =Cz邓丫一底琲（纥斗体耳l（A xB）xcl=A.（
29、Bt tC）-A；（B.C）(1)(2)(3)证：式左端=J+P 1 O+ihp.j-ihpy k)P,)x。4ih I I x p lx p而赤一亦就=-iti Lp=-itiLx p2类似地。可以得到y分量和z分量的公式，故(4)题得证。1/1一一-*-*14.9)定义径向动量算符,=!12 1 r r-p+p-r 证明：(a)Pr=Pr，3)P,=一 诙(c)P/=-力2 d2 2 3)-T-亦 r dr)力21 3 2 5r2 dr dr(e)P2=3 L?+pjr证：(a)(ABC)=C B A,P；1 1 1一 一 一一1 r -p+p-r 2 I r rI2+P r+-*+r P
30、IP-1 1-2即P 1为厄米算符。+2f d2 1 d 1 a 1 1 1 /2 3)=一 方 7 H-1-7 +=tl-H-r dr r dr r r )(3，r dr=-n十 2 i a r 2 a厂 加 dr(c)据 4.8)(1),L2=r2-p2-(r +/7?r p-*3其中 r p=一清r =-i h r 一 ,dr因而 l 3=r2p2-v t i2 r r+t i2r-d r dr)dr-r 2 P 2+力23。2H、8 厂 dr以厂2左乘上式各项，即得d=L2 f 2r(a2 2 s)4.9)G)-1-=02 r dr j1 2 +pj4.1 0）利用测不准关系估算谐振子
31、的基态能量。4 1解：维谐振子能量 E=-+-m c o W2m 2 一 a又x =I J%+ooj x e-a*d x =o 奇，a=-0 0Px=0 (由(3.8)、(3.9)题可知x =0,P r =0)/x-x-x-x,Ap v=px-px-px,由测不准关系，得P L%*。x2=-hco2h2m co3 谐 振 子（三维）基态能量E。$+&,+%=”04.1 1）利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数+e换成+z e（Z为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径a。=%2，在类氢原子
32、中变为。=力。类氢原子基态波函数必o o仅是 的函数。*d-*1 d*1 d而7 =,+e+%-,故只考虑径向测不准关系 ,r 力，类氢原子径向能量为:r dr rdO v r sin 0 d(p r2u r而H=,如果只考虑基态，它可写为2u r22Mze2-，PrrP r与r共 匏,于 是A p Q r力,A r r2 2+2P Pr ze 力-v2 M r 2m r(1)求极值dE-力20加而32ze+-r由此得r=h/mze。（。：玻尔半径；类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代 入（1）式,得基态能量，E 一根2 2/2%2=-ze2/2a运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允
33、许的。4.1 2）证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证：设定态波函数的空间部分为M），则有忸=目/）为求方的平均值，我们注意到坐标算符X,与 的对易关系：值,=X,，ZP/J/2 +V（X）=ihpju.j _这 里 已 用 到 最 基 本 的 对 易 关 系 卜,由此=.（昨间华-他取博）昨/忸 一倒忸）=0这里用到了”的厄米性。这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符2可以表示为两个厄米算符1和方的对易子2 =i 5,3 ,则在Z或方的本征态中，I的平均值必为0。4.1 3）证明在的本征态下，4=4=0。（提示：利用L L-L LihL,求平均。）证：设M是4的本征态，本征值为访，即&
34、M=加 力M L，L=LyLL z L y=ig,L2,LX=L7LX-LXLZ=LV,耳 丁（怦 闻 乎H叫mW）（怦闻4-坤山W）访（甲 除 姆 一 加 力 付 小 甲=0同理有：zy=Oo4.14）设粒子处于九,（仇夕）状态下，求（AL,）2和（AL）解：记 本 征 态 工 为 伽），满足本征方程Z?W =/（/+1）方2|/昉，Lz|Im）=mhImj,加.=词/昉，利用基本对易式 L x L=itiL,可得算符关系 ihLx2=ihLxLx=（LyLz-LzLy）Lx=Ly（LzLx）LzLyLx=LV（LVL.+ihLy）-L.LvLx=ihLy2+LvLxL.-L.LYLx将上式
35、在，昉 态 下 求平均，因4作用于|/昉 或 /川后均变成本征值机方，使得后两项对平均值的贡献互相抵消,因 此（/）=（/）又&2+L；）=5一：=/（/+l）-m22色 /2H飘+i）*M上 题 已 证（4）=0。（A LJ2=匕-4）2 =Lx2-=Lx=；/（/+1）-/卜同 理（ALv）2=g （/+l）/卜。4.15）设体系处于“=G。+C2y20状 态（已归一化，即|。+|02=1），求（a）%的可能测值及平均值；（b）Z7的可能测值及相应的几率;（c）4的可能测值及相应的几率。解：L2yH=2t t2Y l,Z 7%0=6方2%,；4%=因 2%=o吗。(b)（C）由于“已归一化
36、，故&的可能测值为方，o2,相应的几率为|G，C。平 均 值 及=|G 方。Z?的可能测值为2方2,6方2,相应的几率为|G，C。若G，。2不为0,则4 （及4）的可能测值为：2%，力，0,一力，2方。1）L,在/=1的空间，4）对角化的表象中的矩阵是专0 11 00 10、10求本征矢并令力=1,则 击 01,01010、10obaACJ得,b =及Aa，a+c =V 2 A/?,b =V 2/lr。A=0,l。i)a、取4=0,得b=0,c =a,本 征 矢 为0-a，归一化后可得本征矢为击07、ii)1a取4=1,得b =6 a =0 c，本 征 矢 为4 2 a，归-化后可得本征矢为L
37、 V2。2 7iii)取力在G Aa)1i、-7 2 o1 ,，4取。的几率为的振幅为G（i oI 1 )1L取力的振幅为G。o。总几率为laI 1 J2）%在/=2的空间，（尸,乙）对角化表象中的矩阵利用 j m +jxj m)=-y/(j-mj+m +l)1 _(j W J W；=-V(2 2|2 1)=1,(2 1|J.V|2 0)0 1 0 0 o1 历 0 4=楞0秘。0 0 伤 0 1、0 0 0 1 0b Act,c i +Ah,+j+mXJ-m +1)=C,(2 0|2一1”点，(2一1|川2一2=1。fo i o o o v A/1 a a1。J%。b b,本 征 方 程0伤
38、 0 伤0 c=A c0 0 秘 0 1 d do 0 0 1 0卜 j d)=2 c,+e-Ad,d-Ae,A 0,+1,+2。i)2 =0,d=00(2V30态下，测得4=0ii)4 =1,b=a f c=0 ,d=b,d=e本征矢为,210-1、T7。在态下，测 得4=力的振幅为C2(0 0 1 01、10-1-b0 ,儿率为0。iii)A=-1,b=a,c=0,d=b,e=d,本征矢为！2-101，在c2y 2 0态下，测得4=一方几率为0。U J(1iv)4=2,b=2a,c=a a,d=2e=2a,e=V6=a,本征矢为工41，在C2y 2 0态下，测得4=2方的振幅为。2（0 0
39、 1 0 i、22乎g。几率为；v)2=-2,b=-2a,c=46a,d=-2a,e=a,本征矢为一4 i、-2V6-2、L在c2y 2。态下，测得4=一2方的几率为|口2。3 3-+-+8 8在“=G X i+。2 y 2 0态中，测4（和4）的可能值及几率分别为:2方 方0 力 一2力葩2；|G 1|C|2|C2|24.1 6）设属于能级E有三个简 并 态,“2和沙3,彼此线形独立，但不正交,试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。解：(P=aW=F WJ I)。2 =一 (%，沙 2 。2 =l 1 N 32 9)。3=3 一(。|，/3)%一(8 2,科 3 加2 ,(P 3 =17=
40、。，心，处 是归一化的。3,9 2）=（件 2）-血，忆1 例）=。，血2（囚，夕3）（夕1必）-（。1，”3）（。1,。1）-（夕2必）（劭，夕2）=0,（3，%）=-=（。2，忆）一（例，仁）（夕2，%）一（。2，”3*。2，。2）=0。M，。3），它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。4.17）设有矩阵A,6,C,S等，证明det（A8）=det（A）-det（8）,det（S“AS）=det A,Tr（A B）T r（B A）,Tr（s-AS）TrA,Tr（A B C）=Tr（B C A）=Tr（C A B）,det A表示矩阵A相应的行列式得值，TrA代表
41、矩阵A的对角元素之和。证:由 定 义detA=ZPG；G 4T 当（,；%）是（1的偶置换PGi）=-1当6 i“谑（1曲奇置换0其他情形故上式可写成：det A=Z M；），福勺曲。掂，h3其中（力，）是（1拉）的任意一个置换。.detC=det（AB）=）限”；2 G=E P 8 订 出 出 处/池 为 履八 in Jr-Jn=Z-2厂%PGi瓦晨如”j jn Ui。%_=E P（ji j.M j&h a*PQI i”）p（jI jjj?bj-jn Ul i”=det A-det B（2）det（5-1AS）=det S-det A-det S=detS-1-detS-det A=det（
42、5-1S）-det A=det A（A8）=Z。也=X&M*=Tr（BA）ik ik(4)T r(sA S)=7 S t(AS)=T r(AS)5_ 1=T r(A S S)=T r A（5）T r（A BC）=工。/井 q,=Z&q%=T r（B C A）=g c/也”T r（C A B）ijk ijk ijk第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量A 不显含f,H 为本体系的H a milt on 量，证明-h2 A=l A,H H 证.若力学量4不显含f，则有”=为,闭,dt in令 瓦 万 1=3则d2Adt21 d Ct h dt-h2 A=l A,H,HdtJA5.2）设力
43、学量A 不显含f,证明束缚定态，=0dt证：束缚定态为:：“卜,。=。在束缚定态忆（r,f）,有 班“（r,r）=ihw,（r,Z）=（r,f）。其复共朝为T*W.W/=纥 忆 力）。詈=（匕 J=1M,，A 匕）一（忆，A 乙 J 一（忆，A 乙 J十一 k A 忆卜 片”=学+上 区 闭+!（，人忆）一4（匕ot in in in=1 U 7 -；（匕,（A -/M 吐）=!（何-G）=0。in in in5.3）O、（a）=e x p -a =ex p -ia P j方 表示沿x方向平移距离”算符,证明下列形式波函数（Bloc h波函数）/少(x)=/私(x),。*(%+a)=私(x)是
44、 的 本 征 态，相应的本征值为e-.证：（a）少（尤）=刈（x+a）=（x+a）=e e而之（x）=e V（x）,证毕。5.4）设M 表示人.的本征态（本征值为访），证明e-也吸一也冏是角动量L 沿空间（8 ）方向的分量L,；S3rSS-0-E-1seSS-Er3&Er&95,*-NLx sin co s+Lv sinftsin +L_ cos=Ln=LQ的本征态。证：算符e-3”相当于将体系绕y 轴转。角，算符e-MM相当于将体系绕z 轴转夕角，W）原为人的本征态,本征值为机方，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的 1 轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标
45、系的（仇。）方向，即7 方向，匕皿=|用）变成了，即变成了 L“的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为访。（还 有 解 法:参 钱.剖析.P327）5.5）设 Ha milton量 =2+丫（；）。证明下列求和规则2MZE-瓦“必。nX是；的一个分量，Z 是对一切定态求和，E“是相应于态的能量本征值，*）=/）。n证：卜,闭=J x,P；=；.2ihpx px2u 2u uA=Z(E -E.J x Jn n(A)=，附 一（小“帆）n，何 朝（值”。曾-；2 冲 树 卜/0,四=-E WXWMPHn n nn又A=Z 加 场-E,J X W?)=z(砸,必|则 管 n n
46、 ”-2A=：.徊(P、x-俎 加)=习(时以,P,=请=:，A=Z E -不难得出，对于Y,Z 分量，亦有同样的结论，证毕。5.6）设 为 厄 米 算 符，证明能量表象中求和规则为Z（纥-七）产 小=如 忸,冏/明 n乙证：式（1）左端g A =Z（E.一粗胭必降）=Z（烟加1（即 一 尸”2n n=卜 忸,“用 肌）（2）计算中用到了公式 Z I X l =i。n由于“，尸是厄米算符，有下列算符关系：*”,川+=H F-FH =F+H+-H +F+=FH-H F=-H,F（3）式（2）取共挽卜），得到A =A+=忸,”,网 歹=仰”,F+尸 2 卜 忸 琲）（4）结 合 式（2）和（4）,
47、得A=Z3,=；（如 心 田,产 证毕。5.7）证明s ch r ddi nger 方程变换在G al i l eo变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度。相对于惯性参照系K 运动（沿 x轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系:x-x+vt,y-y,z-z,t-1 势能在两个参照系中的表示式有下列关系V(x,t =V(X-vt,t)=V(x,t)(1)(2)a（方 2 分 2 、证明s ch r G di nger 方程在K参 照 系 中 表 为ih一 =-r +丫 Wdt 1 2m dx）7、2m dx J证：由波函数的统计解释，什和收的意义完全相同。|(七。2 =w(x,f)
48、,是f时刻在X点找到粒子的几率密度;上(/丫 =w(x/),是/时刻在X点找到粒子的几率密度。但 是 在 给 定 时 刻，给 定 地 点 发 现 粒 子 的 几 率 应 与 参 照 系 的 选 择 无 关，所 以 相 应 的 几 率 应 相 等，即w(x,t)w (x ,Z )(6)从(1)式有 w(x,f)(6,)由此可以得出，“和两个波函数彼此只应差绝对值为1 的相因子，所以i/(x-ut,t)-e-g)(尤 j)-八、一 Hd d d d d2 d2dx dx dt dx dt Qx dx(3)式变为：V (x /)dx dt将(7,)代 入(8)式，可得力 2 a 2 J h d S
49、Q .力2 a2 s 力 2(e s Y d s d s2 m dx(m dx)dx 2 m bt_ 2m vdx J dx dt(9)选择适当的S(x,f),使 得(9)f (4),h dS cm dx,力2 0 2 s 力 2(d s Y d S d S2m dx 2 m V J dx dt从(1 0)可得 S=x+f(t),h/(0 是7的任意函数，将(1 1)代 入(i o)，可得(7)(7)(1 0)(1 0 9(1 1)df _ mu2dt 一_2T积分，得/(，)=-mu22方f +C o。为积分常数，但 u =0时，K 系和K 系重合，”应等于，即 S应等于0,故应取。=0,从
50、而得到2c mu m uS-.x-(1 2)h2力代 入（70式，最后得到波函数的变换规律:“e x p，加小iti mu2t(1 3)逆变换为 =esW exp m u x +1 m u 2.t,力1 22(1 3 )相当 于 式（1 3）中的。f-。，带“，”的量和不带“，”的量互换。讨论：S（x,f）的函数形式也可用下法求出:因S（x,f）和势能V无关,所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K 系中的表现形式，即可确定沿 x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为P=P-mur r 1 2 r-r 1 2E =-u P+mu=E-u P +m u2 m 2m 2 2(1