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1、 20222023学年度上学期2021级期末考试数学试卷一、单选题：1. 方程表示的图形是（ ）A. 两条直线B. 双曲线C. 一个点D. 一条直线和一条射线【答案】A【解析】【分析】由可得或，由二元一次方成表示的是直线，可得答案.【详解】由方程可得或，这表示两条直线，故方程表示的图形是两条直线，故选：A2. 已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意求出相关点的坐标，求得，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案.详解】如图，则，设平面的法向量为，则，即 ，取，则，平面的一
2、个法向量为,选项中的向量与不共线，D中向量符合题意，故选D3. 方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依题意可知，方程表示的圆的圆心在直线上，即可解出【详解】因为，所以该方程表示圆心为的圆，而该方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，所以圆心在直线上，即有故选：A4. 已知点，则的最小值为（ ）A. B. 27C. D. 12【答案】A【解析】【分析】由两点建立公式求，结合二次函数性质求其最小值.【详解】因为，所以，所以当且仅当时等号成立，所以当时，取最小值，最小值为,故选：A.5. 设直线与圆交于点，以线段上一点为圆心作一个圆与圆相切，若切
3、点在劣弧上，则圆的半径最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设圆C的半径为r，根据题意可得，求出的最小值，即可求得圆的半径的最大值.【详解】由题意圆的半径为5，设圆C的半径为r，由于圆C与圆O相切于劣弧上的某一点，C在圆O内，则圆C与圆O相内切，故,当最小时，r最大，此时,即最小值为到直线的距离，则r最大值为，故选：C6. 若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（ ）A. B. 8C. 8或D. 【答案】B【解析】【分析】由题意先判断抛物线与直线的关系，进而求出的取值范围，再利用点到直线距离公式分析求解.【详解】由得：，由题意知直线与抛物线无交点，所以，设抛物线上
4、任一点为，则点到直线的距离为：，因为，所以，所以，所以当时，解得：，故选：B.7. 已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点分别记作，双曲线的右顶点为，其双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图示，由题意可得，结合图形的几何性质可得，由此在中求得，即可求得答案.【详解】根据双曲线以及圆的对称性，由可知，作出示意图，不妨设C，D位置如图： 因为,在中,故离心率,故选：B.8. 已知圆方程为，将直线：绕逆时针旋转到的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数（ ）A. 始终为0B. 是0或1C. 是1或2D. 是0或1或2【答案】D【解析】【分析】先判断直
5、线与圆C的位置关系，得到公共点的个数，同理再判断旋转后的直线与圆C的位置关系，同时判断圆心与直线的位置关系，即可解决问题【详解】圆方程为，圆心，半径，故圆心C到直线：的距离为， 而，故直线与圆C相离，没有公共点；将代入直线得，故圆心C在直线的上方，将直线：绕逆时针旋转到的位置，所得直线过点，且倾斜角为，故此时 ，即，此时圆心C到直线的距离为，此时直线与圆C相切，有1个公共点，而代入直线中，得，故圆心C在直线的下方，所以将：绕逆时针旋转到的位置的过程中，经历了与圆相离、相切、相交、再相切的过程，故公共点的个数为0个或1个或2个，故选：D【点睛】关键点点睛：解答此题的关键是判断在直线旋转的过程中，
6、直线和圆的位置关系并且判断圆心和直线的位置，从而判断答案.二、多选题：9. 下列结论正确的是（ ）A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大B. 斜率相等的两直线的倾斜角一定相等C. 直线的斜率为，则其倾斜角为D. 经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：【答案】BD【解析】【分析】举反例判断A；根据直线的斜率和倾斜角的关系判断；结合直线的两点式方程判断D.【详解】对于A，直线的倾斜角分别为时，斜率分别为，此时不满足直线的倾斜角越大，其斜率就越大，A错误；对于B, 由于直线的倾斜角范围是，所以斜率相等的两直线的倾斜角一定相等,正确；对于C, 直线的斜率为，的取值范围不确定，不一定是直线的倾斜角，比
7、如直线的斜率为，此时直线的倾斜角为，C错误；对于D，当时，经过的直线方程为，此时适合；当时，经过的直线方程为，此时适合；当，时，经过的直线方程为，也即，故经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：，D正确，故选：10. 已知曲线.（ ）A. 若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n0，则C是圆，其半径为C. 若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确
8、；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. 平面C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据空间向量基本定理表示出，根据模的计算判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据空间向量的数量积的运算，可判断C，利用空间向量的数量积的运算求得，判断D.【详解】设，如图，则，故，对于A，A正确；对于B
9、，连接，设，连接，则由平行六面体可知，,，四边形是平行四边形，所以，平面，平面，平面，故B正确对于C， ，故 ，C正确；对于D， 故 故不垂直，故D错误，故选：12. 已知抛物线 的焦点为，准线为， 过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点 (其中在的上方)， 为坐标原点， 过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线 ，点 ， 点、在准线上的投影分别为点和点，则（ ）A. 若， 则直线的斜率为B. C. D. 若是线段的三等分点， 则直线的斜率为【答案】ACD【解析】【分析】设直线方程为，直线方程代入抛物线方程用韦达定理得，从而可以表示出点坐标，然后求出，坐标，然后依次判断各项即可.【详解】由题知，抛
10、物线焦点，设直线方程为，如图所示，由得，由韦达定理可知，因为，则可得，且，所以，即，且，解得，得，所以，因为，所以，故A正确；因为点、在准线上的投影分别为点和点，所以，又，所以，所以，所以，故B错误；又因为，故直线方程为，又因为，共线，所以，同理可得，所以，即 ，故C正确；若是线段的三等分点，则，又，所以，解得，故D正确.故选：ACD三、填空题：13. 已知直线的系数中，有两个正数，一个负数，则该直线一定经过第_象限【答案】一【解析】【分析】根据直线的斜截式方程分类讨论进行求解即可.【详解】因为直线的系数中，有两个正数，一个负数，所以由，当时，所以此时该直线过一、二、四象限，当时，所以此时该直
11、线过一、二、三象限，当时，所以此时该直线过一、三、四象限，综上所述：该直线一定经过第一象限，故答案为：一14. 设是空间两个不共线的向量，已知，且A，B，D三点共线，则实数k_【答案】1【解析】【分析】由列方程组，由此求得的值.【详解】A，B，D三点共线，向量和共线，故存在实数，使，所以故可得 ，解得.故答案为：115. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于_【答案】【解析】【分析】根据已知条件，先求出O到AB的距离，再结合点到直线的距离公式，即可求解【详解】解：，当时，SAOB面积最大，此时O到AB的距离d1，设AB方程为yk（x3）（k0），即kxy3
12、k0，则d，解得k或k（舍去），故直线l的斜率等于故答案为：16. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的右顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则正实数的值为_【答案】#0.2【解析】【分析】利用抛物线的焦半径公式求得p的值，可得抛物线方程，继而求得，根据双曲线的几何性质结合题设得，即可求得答案.【详解】抛物线上一点到其焦点的距离为5， ，则抛物线方程为，将点代入抛物线方程中，可得，又双曲线的右顶点为A为 ，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则直线斜率存在，故，解得，即正实数的值为，故答案为：四、解答题：17. 已知直线，.（1）当直线在x轴上的截距是它在y上的截距2倍时，求实数的值
13、；（2）若，实数的值【答案】（1）或； （2）.【解析】【分析】（1）由题得且，解方程即得解；（2）解方程，再检验即得解.【小问1详解】解：在两坐标轴都有截距，且，令可得，令可得，解得或.所以或.【小问2详解】解：，解得或当时，两直线重合，所以舍去；当时，两直线平行，满足题意.综上，的值为.18. 已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且（1）求直线的方程；（2）求圆的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，进而求得直线的斜率，再求线段的中点，即可利用点斜式得直线方程；（2）设圆心的坐标为，利用勾股定理和点到直线的距离公式可求得t的值，进而可得圆的
14、方程【小问1详解】依题意有，直线的斜率为，又中点，方程为，即；【小问2详解】依题意，圆心在上，则设， ，则，且直线方程为， ，由勾股定理，点到的距离，或， 故圆的方程为：或19. 如图，四边形为等腰梯形，将沿折起，为的中点，连接.若图2中，（1）求线段的长；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到，证明出线面垂直，得到，由勾股定理求出的长；（2）结合第一问得到两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【小问1详解】为中点，在图中，且，连接CE，四边形为平行四边形，AE=BE=1，C点落在以A
15、B为直径圆上，又图2中，平面ADC，平面，平面，由勾股定理得；【小问2详解】取中点，连接，则，EFAC，由（1）知平面ACD，因为平面ACD，所以BCDF，故EFDF，因为AD=DC，所以DFAC，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，设为平面的一个法向量，则，即，取，有.，直线与平面所成的角的正弦值为.20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面若（1）若分别为的中点，求直线与所成的角；（2）为线段上一点，若平面与平面所成角的余弦值，求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】由面面垂直的性质可得平面，再由梯形同旁内角互补可得，从而证明两两垂直，以为
16、原点建立空间直角坐标系，求出点坐标，用空间向量的方法可计算出直线与所成的角；（2）设，求出点坐标，进而求出平面的一个法向量，根据平面夹角的余弦值计算可求出的值.【小问1详解】解：由得，而平面平面，平面平面，平面 平面 而由，可得以原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设，有，分别为中点， 直线与所成的角为【小问2详解】设，有，设平面的一个法向量，有，即易知，取，有， 而是平面的一个法向量，记，有，即 ，解得或（舍）所以21. 已知抛物线，（1）经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程；（2）设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于两点，的中点为，若，求的面积【
17、答案】（1）或或 （2）【解析】【分析】（1）判断当直线平行于抛物线的对称轴x时，符合题意，当直线与抛物线相切时，设出直线方程，联立抛物线方程，求得切线方程，综合可得答案；（2）设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立可得根与系数关系式，结合可求得n的值，进而求得的面积【小问1详解】由题意知点在抛物线外部，直线不会垂直于轴（此时与无公共点）；当直线平行于抛物线的对称轴x轴时，与抛物线有且仅有一个公共点，此时直线的方程为；当直线与抛物线相切时，斜率存在且不等于0，可设方程为，由， 得，由，解得或1，则的方程为与，即与，综上：的方程是或或.小问2详解】设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线方
18、程联立， ，得，,，,所以，所以，又抛物线的准线为, 所以，则，整理得，解得或（舍），则【点睛】关键点点睛：第二问求三角形的面积，需要用到直线与抛物线的交点的坐标，因此解答时要设出直线方程，从而关键点即在于要结合题设求得所设参数的值，从而利用求得答案.22. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为.（1）求双曲线C的标准方程.（2）若双曲线的焦点在轴上，点为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）或 （2）证明见解析，定点坐标为【解析】【分析】（1）根据题意，可写出双曲线渐近线的方程，代入点，即可求出双曲线C的标准方程；（2）根据题意，联立方程
19、组，设而不解，根据可求出直线恒过定点的坐标.【小问1详解】因为两渐近线夹角为，所以渐近线为或若渐近线为，设双曲线方程为，将代入可得，即双曲线方程为若渐近线为，设双曲线方程为，将代入可得，即双曲线方程为综上：双曲线的标准方程为或【小问2详解】解法1：当直线的斜率不存在时，则可设，代入，得， 则，即，解得或， 当时，过点，不合题意；当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，整理得，设，则，由，所以所以，即，整理得 即，所以或，若，则，直线化为，即，过定点；若，则，直线化为，即，它过点，舍去 综上，直线恒过定点（2）解法2：双曲线焦点在轴上，由（1）可得方程为以为坐标原点，重建坐标系，此时曲线的方程为可化为设的方程为，代入上式得因为横坐标不会为0（不与重合），所以上式除以，可得，记，有整理得所以，可得可得在新坐标系下，直线经过定点还原到原始坐标系，定点坐标为