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1、专题06 三角函数的图像与性质【自主热身，归纳总结】1、已知锐角满足tancos，则_【答案】： 32【解析】：由tancos得sincos2，即sin(1sin2)，解得sin(负值已舍去)，cos，代入，可得结果为32.2、在平面直角坐标系xOy中，已知角，的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan()的值为_【答案】： 【解析】：由三角函数的定义可知tan2，tan，故tan().3、 函数y3sin的图像两相邻对称轴的距离为_【答案】： 【解析】：由题知函数最小正周期T.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期的一半即.4、若函数f(x)Asin(x)(A
2、0，0)的图像与直线ym的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的值为_【答案】： 4【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T，从而4.5、若函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图像如图所示，则f()的值为_【答案】： 1【解析】：由题意，A2，T43，即，解得2k，kZ，即2k，kZ，因为|，所以，所以f()2sin()1. 依图求函数yAsin(x)的【解析】式的难点在于确定初相，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解6函数f(x)cos的最小正周期为_【答案】2【解析】：因为f(x)cossinxsin，所以最小正周期为2.7、将函数y3sin的图像
3、向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，则_.【答案】：. 8、 若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f的值是_【答案】： 【解析】：因为f(x)的最小正周期为，所以，故2，所以f(x)sin，从而fsinsin.9、 已知，cos，sin()，则cos_.【答案】：【解析】：因为，cos，所以sin.又，sin()0，所以，故cos()，从而coscos()cos()cossin()sin.10、 若tan2tan，且cossin，则sin()的值为_【答案】： 【解析】：因为tan2tan，所以，即cossin2sincos.又因为cossin，所以sincos，从而sin()si
4、ncoscossin.11若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是 【答案】： （或） 12、在同一直角坐标系中，函数ysin(x) （x0，2）的图象和直线y 的交点的个数是 【答案】2 解法1 令，可得即，又x0，2，所以或，故原函数图象与的交点个数为2.解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为213、 已知是第三象限角，且sin2cos，则sincos_.【答案】： 思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确观察得sin，cos满足方程，但此时是第一象限角，不合题意由得5cos2cos0，解得cos或.因为是第三象限角，所以cos，从而sin，所以si
5、ncos.解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解本质上，可看作是二元二次方程组，通常有两解一般地，由AsinBcosC求sin，cos可能有两组解14、 已知sin(x)，则sin(x)sin2(x)的值为_【答案】： 【解析】：sinsinsin(x)，sin2cos21sin2(x)1，所以sinsin2.解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分【问题探究，变式训练】例1、 设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且满足f(x)f(x
6、)，则函数f(x)的单调增区间为_【答案】 (kZ)【解析】：由题意可得f(x)2sin.又最小正周期为，故2.又该函数的对称轴为直线x0，所以k(kZ)，解得k(kZ)又因为0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是_【答案】解法1 函数ycosxsinx2sin的图像向左平移m(m0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y2sin，由于函数y2sinx的图像至少向左平移个单位长度后可得到关于y轴对称的图像，所以m的最小值是，故m的最小值是. 【关联6】、将函数ysin2x的图像向左平移(0)个单位长度，若所得图像过点（，)，则的最小值为_. 【答案】： 【解析】：将函数y
7、sin2x的图像向左平移(0)个单位长度得到ysin(2x2)的图像，将点代入得sin，所以22k或22k(kZ)，即k或k(kZ)，又因为0，所以的最小值为.易错警示 错以为函数ysin2x的图像向左平移(0)个单位长度之后变成了ysin(2x)的图像，从而导致了错误还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件例2、设函数f(x)Asin(x)A0，0，0，所以T2，得1.(4分)所以f(x)2sin(x)，将点，2代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)，又，所以.(6分)所以f(x)2sinx.(8分)(2) 当x，时，x，(10分)所以sinx，1，即f(x)，2(14分)易错警示 在
8、求f(x)的【解析】式中的值时，如果选用图像过点，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根【变式1】、已知函数（其中A，为常数，且A0，0，）的部分图象如图所示（1）求函数f(x)的【解析】式； （2）若，求的值【解析】：（1）由图可知，A=2，T=，故，所以，f(x) = 又，且，故于是，f(x) =（2）由，得所以， =【变式2】、已知函数f(x)Asin(x)部分图像如图所示(1) 求函数f(x)的【解析】式； 【解析】：(1) 首先把函数化简为f(x)Asin(x)B的形式，其中A0，0.(2
9、) 利用正弦、余弦定理，列出关于边a，b的方程组规范解答 (1) 因为f(x)sin2x(1cos2x)sin1所以函数f(x)的最小值是2，此时2x2k，kZ，得xk，kZ，即x的取值集合为.(2) 由f(C)0，得sin1.又C(0，)，所以2C，得C由sinB2sinA及正弦定理，得b2a.(11分)由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2ab3由解得【关联】、已知向量a，b(cosx，1)(1) 当ab时，求tan的值；(2) 设函数f(x)2(ab)b，当x时，求f(x)的值域【解析】 (1) 因为ab，所以cosxsinx0，所以tanx，所以tan7.(2) f(x)2(ab)b2(cosx，1)2sin.因为x，所以2x，所以sin1，所以f(x)，即函数f(x)的值域为.8