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1、扬州市江都区江都中学2022-2023学年度高二数学期末试卷注意事项：1.本试卷共150分，考试时间120分钟一、单选题1. 在等差数列中，则（）A. 5B. 6C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】直接利用等差数列性质求解即可【详解】因为是和的等差中项，所以，即，.故选： A2. 函数的单调递减区间是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由导数与单调性的关系求解，【详解】，则，由得，故的单调递减区间是，故选：B3. 已知是函数的极小值点，则的极小值为（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】对求导，根据是的极小值点，得到，求出的值，进一步得到的极小值【
2、详解】解：由，得，是的极小值点，经检验时，符合题意，所以，则当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，所以当时函数取得极大值，时函数取得极小值，故选：A4. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，则数列的前24项和为（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】C【解析】【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，故选：C5. 试在抛物线上求一点，使其到焦点的
3、距离与到的距离之和最小，则最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将转为点到抛物线准线的距离，由抛物线的定义，可得，转化为求的最小值，结合图形，即可求解.【详解】解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.过点作于点，由抛物线的定义可得，所以，由图形可得，当，三点共线时，最小，最小值为点A到准线的距离.故选：A.6. 已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不
4、等式可得离心率的范围.【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.由椭圆的定义有：由余弦定理有：即所以当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即，所以故选：A【点睛】本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题.7. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合导函数研究函数的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.【详解】因，所以， 因为，所以，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，由此可排除选项，故选：
5、A.8. 已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有原不等式可等价于，即，解得的取值范围是故选：A二、多选题9. 下列是递增数列的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据递增数列的定义判断【详解】A令，则，是递增数列，正确；B令，则，不合题意，错；C令，则，符合题意正确；D令，则，不合题意错故选：AC10. 已知集合，集合，
6、且，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果【详解】解：因为集合，集合，且，所以直线与直线平行或交于点，当两线平行时，；当两线交于点时，解得综上得a等于或2故选：AD11. （多选）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.【详解】对于A，当时，故不是凸函数；对于B，故是凸函数；对于C，对任
7、意的，故是凸函数；对于D，对任意的，故不是凸函数故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查导数的新定义，解本题的关键在于验证每个选项中的是否对于任意的，对于新定义的问题，在求解时一定要抓住新定义的本质，利用相关的数学知识求解.12. 已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（）A. 的最小值为3B. 面积的最大值为C. 直线的斜率为D. 为锐角【答案】BC【解析】【分析】先由椭圆与过原点直线的对称性知，再利用1的代换、利用基本不等式可判断A；由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值可判断B；由对称性，可设，则，则可得直线
8、的斜率与k的关系可判断C；先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，可判断D.【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，则四边形为平行四边形，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，由得，的面积，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，设，则，故直线的斜率，故C正确；对于D，设，直线的斜率为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，得，易知，则，得，故D错误.故选：BC. 三、填空题13. 在数列中，则值为_.【答案】【解析】【分析】判断出数列的周期性，由此求得.【详解】依题意，所以，所以数列是周期为的数列，所以.故答案为：14. 双曲线的顶点为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲
9、线的标准方程，直接计算得到该双曲线的定点.【详解】由得，所以，该双曲线的顶点为.故答案为：15. 设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是_；【答案】【解析】【分析】根据可以求出，再结合可以判断是否是等差数列.【详解】当时，；当也符合，所以，数列为等差数列；当时，；当时，符合，所以，数列为等差数列；当时，；当时，不符合，所以，数列不是等差数列；当时，；当时，不符合，所以，数列不是等差数列.故答案为：.16. 已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互
10、垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.【详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.四、解答题17. 已知，当为何值时：（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在轴上的双曲线；（3）表示焦点在轴上的双曲线【答案】（1）或 （2） （3）【解析】【分析】根据双曲线标准方程中分母的正负解决即可【小问1详解】因为，即，方程表示双曲
11、线，所以，解得或；所以或；【小问2详解】因为，即，焦点在轴上的双曲线，则，解得，所以；【小问3详解】因为1，即，焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以.18. 设函数（1）求在处的切线方程；（2）求的极值点和极值【答案】（1） （2）极大值点，极小值点，极大值是，极小值是【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）令，求得，然后通过判断函数的单调性可求出的极值点和极值【小问1详解】函数，函数的导数为，在处的切线方程：，即【小问2详解】令，解得，当时，可得，即的单调递减区间，或，可得，函数单调递增区间，的极大值点，极小值点， 极大值是，极小值是19. 若数列满足，（1）求的通项公式；（
12、2）若，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等比中项法判断出为等比数列，设其公比为q（），由，求出，得到的通项公式；（2）先得到，利用错位相减法求和.【小问1详解】因为数列满足，所以.所以数列为等比数列，设其公比为q（）.所以，解得：.所以.即的通项公式为.【小问2详解】由（1）可知：，所以，所以 得： -得：所以20. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上（1）求圆C的方程；（2）已知过点的直线与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）求得线段AB的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线联立，可得圆C的圆心
13、，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程【小问1详解】线段AB的中点为，直线AB的斜率为，所以线段AB的垂直平分线为，即，由解得，所以圆心为，半径为，所以圆C的方程为；【小问2详解】当直线的斜率不存在时，由，得，或，即直线与圆C相交所得弦长为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于圆C到的距离为，所以，解得，所以即，综上所述，直线l2的方程为或21. 已知，动点满足. （1）求动点的轨迹方程；（2）设直线不经过点且与动点的轨迹相交于，两点.若直线与直线的斜率和为.证明：直线过定点.【答案】（1）
14、；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，可得，从而可求出，进而可得动点的轨迹方程；（2）设直线与直线斜率为，经分析直线的斜率存在，设直线，设，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再结合可得，从而可求得与的关系，进而可证得结论【详解】（1）解：由题意得，则动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，可设为，故动点的轨迹方程为（2）证明：设直线与直线的斜率为如果直线与轴垂直，设，由题设可得，且，可得的坐标分别为，则，得，不符合题设从而可设直线，将代入，得，由题意可得，设，则，而，由题意得，故，即，解得当且仅当时，即，所以过定点22. 已知函数，其中.（1）当时，讨论在上的单调性；（2）若对任意都有，求实数的取值范围.【答案】（1）f（x）在上单调递减，在上单调递增. （2）【解析】【分析】（1）根据题意将代入中，求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数和，对进行分类讨论，结合单调性即可求解的取值范围.【小问1详解】当时，则，令，当时，解得，故当时，；当时，.所以，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】令，则.当时，所以.当时，故在上单调递增.又，故.当时，令，则，故在上单调递增.故存在使得，且当时，即在上单调递减，所以当时，故不符合 .综上所述，的取值范围为.