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1、第1章1.1集集 合合 第1课时集合的概念与表示高中数学 必修第一册 湖南教育版1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系.2.在具体情境中，了解空集的含义.3.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.核心素养：数学抽象学习目标高中数学 必修第一册 湖南教育版 图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献,蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充.如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?其实这些书籍并不是随意摆放的,而是按照中国图书馆分类法,将所有图书分成
2、了22个基本大类,每一大类又细分为若干个小类,哪本书属于哪一类是明确的,按照这一原则,很快就能找到所需要的书了.情境导学新知学习高中数学 必修第一册 湖南教育版一、集合的概念在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集.这些对象中的，都叫作这个集合的一个元素.每一个探究新知名师点析1.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.2.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.3.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.高中数学 必修第一册 湖南教育版二、元素与集合的关系
3、名师点析1.aS与aS取决于元素a是否在集合S中,这两种情况中必有且只有一种成立.2.符号“”“”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.关系语言表述符号表示读法属于元素a在集合A中元素a属于集合S不属于元素a不在集合A中元素a不属于集合SaSD 即时巩固高中数学 必修第一册 湖南教育版三、集合中元素的三个特性 特性含义示例确定性集合中的元素是确定的.亦即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的“个子高的人”不能组成集合,“身高大于180cm的人”可以组成集合互异性同一集合中的元素是互不相同的无序性集合中的元素没有顺序如1,2,3与3,2,1是同一集合名
4、师点析1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.3.无序性的作用是方便定义集合相等,当两个集合相等时,其元素一定相同,但不一定依次对应相等.高中数学 必修第一册 湖南教育版1.已知集合S中的三个元素a,b,c分别是ABC的三条边长,则ABC一定不是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形2.已知aR,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是.a2 即时巩固D高中数学 必修第一册 湖南教育版四、几种常用的数集及其记法 集合意义记法自然数集全体自然
5、数组成的集合N正整数集全体正整数组成的集合N+整数集全体整数组成的集合Z有理数集全体有理数组成的集合Q实数集全体实数组成的集合R正实数集全体正实数组成的集合R+高中数学 必修第一册 湖南教育版名师点析 常用数集之间的关系实数集R 即时巩固 高中数学 必修第一册 湖南教育版五、集合的分类1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:的集合叫有限集(或有穷集),的集合叫无限集(或无穷集).2.没有元素的集合叫,记作.元素个数有限元素无限多的空集名师点析(1)集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.(2)空集中不含有任何元素
6、,0不是空集,因为它含有元素0.思考 空集是有限集还是无限集?提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.高中数学 必修第一册 湖南教育版一一列举高中数学 必修第一册 湖南教育版名师点析（1）用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式.（2）准确说明集合中元素的共同特征.（3）所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，代表元素的范围明确，可以省略.如非常明确xR，则“R”可以省略.（4）用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，要准确使用“且”“或”等表示描述语句之间关系的词.高中数学
7、必修第一册 湖南教育版用列举法表示下列集合:(1)方程x2-9=0的解组成的集合;(2)不大于100的自然数组成的集合.,即时巩固,高中数学 必修第一册 湖南教育版思考下面四个集合:x|y=x2+1;y|y=x2+1;(x,y)|y=x2+1;y=x2+1.它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?提示:它们是互不相同的集合.集合x|y=x2+1表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以x|y=x2+1=R;集合y|y=x2+1表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y1,所以y|y=x2+1=y|y1;(x,y)|y=x2+1的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对
8、(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以(x,y)|y=x2+1=P|P是抛物线y=x2+1上的点;y=x2+1表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.高中数学 必修第一册 湖南教育版判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)0,1与(0,1)表示相同的集合.()(2)用列举法表示集合x|x2-2x+1=0为1,1.()(3)x|x-1与t|t-1表示同一集合.()(4)集合(x,y)|x0,y0,x,yR是指第一象限内的点集.()提示:(1)(2)(3)(4)高中数学 必修第一册 湖南教育版七、
9、区间及其表示1.设a,b是两个实数,且,我们作出规定:ab定义名称符号数轴表示|闭区间,|开区间(,)|半开半闭区间,)|a,xb,x (,+)|(,|(,)名师点析1.区间左端点的值小于右端点的值.2.有完整的区间外围记号.3.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.高中数学 必修第一册 湖南教育版将下列集合用区间及数轴表示出来:(1)x|x2;(2)x|x3;(3)x|-1x5.解:(1)x|x2用区间表示为(-,2),用数轴表示如下:(2)x|x3用区间表示为3,+),用数轴表示如下:(3)x|-1x5用区间表示为-1,5),用数轴表示如下:即时巩固高中数学 必修第一册
10、湖南教育版分析:判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确.解析:不能组成集合,因为没有明确的判断标准;可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.典例剖析一 集合的概念B高中数学 必修第一册 湖南教育版ACD高中数学 必修第一册 湖南教育版(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.0是不是集合A中的元素?若-5A,求实数a的值.若1A,求实数a的取值范围.二 元素与集合的关系分析：(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.(2)将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A
11、中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式.(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.高中数学 必修第一册 湖南教育版(1)答案:C解析:根据各个数集的含义可知,正确,不正确.故选C.(2)解:将x=0代入方程,得02-a0-5=-50,所以0不是集合A中的元素;若-5A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.若1A,则12-a1-50,解得a-4.反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法(1)直
12、接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素组成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.高中数学 必修第一册 湖南教育版D 高中数学 必修第一册 湖南教育版例3 已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3A,求a的值.三 集合中元素的特性及其应用分析：由-3A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.高中数学 必修第一册 湖南教育版延伸探究 (1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集
13、合A中能否只有一个元素呢?(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2142+514=46212.所以该集合中不可能只含有一个元素.高中数学 必修第一册 湖南教育版例4 已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ac,ac2,若A=B,求c的值.解:根据题意,分两种情况进行讨论:反思感悟解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况,所以解题后需要进行检验和修正.有些数学问题需要根据题目的要求和特点分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法.分析：要解决c的求值问
14、题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式.高中数学 必修第一册 湖南教育版例5 用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.四 用列举法表示集合高中数学 必修第一册 湖南教育版解:(1)1,3,5,15;(2)2,4,6,8,10;(3)(-3,0).反思感悟 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合.(2)“”表示“所有”的含义
15、,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.高中数学 必修第一册 湖南教育版例6 用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-23.(3)不等式x-23的解是x5,则不等式x-23的解组成的集合用描述法表示为x|x5.五 用描述法表示集合高中数学 必修第一册 湖南教育版反思感悟 1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母
16、含义或指出其取值范围.解:(1)(x,y)|xR,y=0;(2)(x,y)|y=x2-4;(3)x|x1.高中数学 必修第一册 湖南教育版分析：依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.六 集合表示方法的选择与转换高中数学 必修第一册 湖南教育版反思感悟 表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.变式训练 用另一种方法表示下列集合:(1)绝对值不大于2的整数;(2)能被3整除,且小于10的正数;(3)-3,-1,1,3,5.解:(1)-2,-1,0,1,2.(2)3,6,9.(3)x|x=2k-1,
17、-1k3,kZ.高中数学 必修第一册 湖南教育版例8 若集合A=x|kx2-8x+16=0中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A=2,满足题意.当k0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A=4,满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A=2;当k=1时,A=4.反思感悟 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方
18、程,因而,需要分为k=0和k0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.七 已知集合中元素个数求参数范围分析：明确集合A的含义对k加以讨论求出k的值写出集合A高中数学 必修第一册 湖南教育版延伸探究延伸探究1 例8中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.延伸探究2 例8中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.高中数学 必修第一册 湖南教育版1.下列给出的对象,能组成集合的是()A.很大的数B.无限接近零的数
19、 C.聪明的人 D.方程x2=2的实数根DB3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形C随堂小测高中数学 必修第一册 湖南教育版5.集合xN+|x5的另一种表示法是()A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4C.0,1,2,3,4,5D.1,2,3,4,5B6.集合-1,1用描述法可以表示为.A=(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)答案不唯一,如x|x|=1 7.集合A=(x,y)|x+y=6,x,yN用列举法表示为.D高中数学 必修第一册 湖南教育版8.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.9.分别用描述法和列举法表示下列集合:(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.解:(1)集合用描述法表示为x|x2-x-2=0;由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为-1,2.(2)集合用描述法表示为x|1x5,xZ;用列举法表示为2,3,4.高中数学 必修第一册 湖南教育版课堂小结