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1、 中考数学高频考点专题训练-勾股定理的应用1如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）垂美四边形两组对边的平方和相等 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）（3）问题解决：如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长2如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向30
2、0千米的B处，以10 7 千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域 （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 3如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E（1）求证：AC平分DAB； （2）若BE=3，CE=3 3 ，求图中阴影部分的面积 4图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图（88的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；
3、（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图（要求：与图1路线不同、路程相同；途中必须经过两个格点站；所画路线图不重复）5如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300km.问：（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？（2）若轮船进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？(结果精确到0.01h)6如图，在ABC中，AB=AC，BC=15，D是AB上一点，BD=9，
4、CD=12（1）求证：CDAB；（2）求AC长7如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点F在O上，FD恰好经过圆心O，连接FB（1）若F=D，求F的度数；（2）若CD=24，BE=8，求O的半径8如图1，在ABC中，ACB=90，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C 顺时针旋转90至CE，连接AE（1）求证：BCDACE； （2）如图2，连接ED，若CD= 22 ，AE=1，求AB的长； （3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CFEB 9已知ABCD的一组邻边AB、AD的长是关于x的方程x24x+m=0的两个实根（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？（
5、2）在第（1）问的前提下，若ABC=60，求ABCD的面积10如图所示，在ABC中，CDAB于D，AC4，BC3，CD 125（1）求AD的长；（2）求证：ABC是直角三角形11如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AFCD，ABDE，且ABDE（1）求证：ABCDEF； （2）若EF3，DE4，DEF90，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度 12如图，一架梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24m（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗？说明理由13图是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm），其中
6、矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面 （1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）； （2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 14定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点。（1）如图，已知ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高。若BD=3，CD=4，求高AD的长；（2）如图，在钝角三角形ABC中，BAC为钝角，CH是AB边上的高，若BH=
7、AC，求证：ABC是勾股高三角形；（3）如图，ABC中，AB=AC=2(其中BC2)，若ABC为勾股高三角形，求cosA的值。15在如图所示的 33 网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫网格格点，连结两个网格格点的线段叫网格线段.（1）请你画一个边长为 5 的正方形；（2）若 a 是图中能用网格线段表示的最大正整数， b 是图中能用网格线段表示的最小无理数，求a2-2b2的平方根.16台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=3
8、00km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域 （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？ 答案解析部分1【答案】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形证明：AB=AD，点A在线段BD的垂直平分线上，CB=CD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形（2）解：猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等如图2，已知四边形ABCD中，ACBD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：ACBD，AED=AEB=BEC=C
9、ED=90，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，AD2+BC2=AB2+CD2（3）解：连接CG、BE，CAG=BAE=90，CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE，在GAB和CAE中，AG=ACGAB=CAEAB=AE ，GABCAE，ABG=AEC，又AEC+AME=90，ABG+AME=90，即CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，AC=4，AB=5，BC=3，CG=4 2 ，BE=5 2 ，GE2=CG2+BE2CB2=73，GE= 73 2【答案】（1）解：
10、过A作ACBF于C，则AC= 12 AB=150200， A市会受到台风影响；（2）解：过A作AD=AE=200km，交BF于点D，E， DC= AD2AC2=20021502 =50 7 km，DC=CE，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 7 千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，该市受台风影响的时间为： 5072107 =10小时3【答案】（1）证明：连接OC，如图， CD与O相切于点E，COCD，ADCD，ADCO，DAC=ACO，OA=OC，ACO=CAO，DAC=CAO，即AC平分DAB（2）解：设O半径为r， 在RtOEC中，OE2+EC2=OC2，
11、r2+27=（r+3）2，解得r=3，OC=3，OE=6，cosCOE= OCOE=12 ，COE=60，S阴影=SCOES扇形COB= 12 33 3 6032360=93232 4【答案】（1）解：根据图1可得： AB=22+42=25 ， BC=22+12=5 ，CD=3A站到B站的路程= AB+BC+CD=2 5 + 5 +3=3+3 5 9.7；（2）解：从A站到D站的路线图如下：5【答案】（1）解：轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区. 如图，设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE=30x千米，BB=20x千米，BC=500km，AB=300km，AC=300km，AE=
12、400-30x，AB=300-20x，AE2+AB2=EB2，即（400-30x）2+（300-20x）2=2002，解得： x1=1801051138.3 ， x2=180+10511319.3 （舍去），答：轮船会进入台风影响区.（2）解：由（1）可知，当经8.3小时时轮船就进入台风影响区. 6【答案】（1）证明： BC=15，BD=9，CD=12BD2+CD2=BC2BCD为直角三角形，且CDB=90CDAB（2）解：设 AB=AC=x， 那么AD=x-9 在ACD中，AD+CD=AC (x-9)+12=x 解得 x=252AC=2527【答案】（1）解：OF=OB， B=F，DOB=B
13、+F=2B，DOE+D=902B+D=90，B=D，2D+D=90，D=30（2）解：设O的半径为r， ABCD，CE=DE= 12 CD= 12 24=12，在RtODE中，OE=OB-BE=r-8，OD=r，OE2+DE2=OD2，（r-8）2+122=r2，解得r=13，O的半径为138【答案】（1）由旋转可得EC=DC，ECD=90=ACB， BCD=ACE. 又AC=BC，BCDACE（SAS）（2）由（1）可知AE=BD=1，CAE=B=45=CAB， EAD=90. DE=(22)2+(22)2=4. AD=4212=15. AB=AD+BD=15+1（3）如图，过C作CGAB于
14、G，则AG= AB. ACB=90，AC=BC， CG= AB，即 点F为AD的中点， FA= AD.FG=AGAF= AB AD= （ABAD）= BD. 由（1）可得：BD=AE.FG= AE，即 . . 又CGF=BAE=90，CGFBAE FCG=ABE FCG+CFG=90，ABE+CFG=90，CFBE9【答案】（1）解：四边形ABCD是菱形时，AB=AD，AB，AD的长是关于x的方程x2mx+4=0的两个实数根，=（4）24m=0，解得：m=4，当m=4时，四边形ABCD是菱形（2）解：如图，连接AC、BD交于点O，当m=4时，x24x+4=0，解得：x1=x2=2，则AB=2，
15、四边形ABCD是菱形，ABC=60，ABO= 12 ABC=30，DB2OB，AC=2OA，ACBD，在直角AOB中，ABO=30，OA= 12 AB=1，0B= 3 ，BD=2OB=2 3 ，AC=2OA=2，S菱形ABCD= 12 BDAC= 12 22 3 =2 3 10【答案】（1）解：CDAB， ADC90，AD AC2CD2 42(125)2=165 ；（2）证明：由上题知AD 165 ， 同理可得BD 95 ，ABAD+BD5，32+42=52，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形11【答案】（1）证明：ABDE， AD， AFCD， AF+FCCD+FC， 即ACDF， A
16、BDE，ABCDEF（2）如图，连接EB交AD于O 在RtEFD中，DEF90，EF3，DE4， DF 32+42 5， 四边形EFBC是菱形， BECF，EO DEEFDF 125 ， OFOC EF2EO2 95 ， CF 185 ，AFCDDFFC5 185 7512【答案】（1）解：由题意，设梯子为AB，墙根为C，则AB25m，AC24m，由勾股定理得，BC2AC2AB2，BC2522427m梯子底端离墙有7m（2）解：如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向不是滑动了4m，理由如下：设下滑后梯子的位置如图AB所示，由题意得：AA=4m，AC=ACAA=20m，在RtABC中，
17、BC=AB2AC2=252202=15m，BB=BCBC=8m，梯子底端在水平方向不是滑动了4m，而是滑动了8m13【答案】（1）解：根据题意，得523cm（2）解：首先计算彩旗这一矩形的对角线即 1202+902 =150， 所以h=220150=70cm14【答案】（1）解：AD是BC边上的高，BD=3，CD=4， AB2=AD2+9，AC2=AD2+16，ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AC2-AB2=AD，即(AD+16)-(AD+9)=AD，AD= 7（2）证明：CH是AB边上的高，BH=AC， CB2=CH+BH，CA=CH+AH，CB2-CA=(CH+BH)-(CH+AH
18、)=BH-AH2=AC2-AH=CH，ABC是勾股高三角形。（3）解：ABC为勾股高三角形，AB=AC=2(其中BC2) ， 勾股顶点为B或C，当点B为勾股顶点时，作BHAC于，如图，设BC=x，由题意，得AB2-BC2=BH=AB2-AH，AH=BC=x，BH=AB2-AH=BC2-CH2，22-x2=x2-(2-x)，化简得x2+4x-8=0，x=-2+2 3 或x=-2-2 3 (舍去)，BC的长为2 3 -2。同理当点C为勾股顶点时，BC的长为2 3 -2，cosA= AHAB=2322=3115【答案】（1）解：如图所示：（2）解：根据题意，得： a =3， b = 2 ，则a2-2b2=5，故a2-2b2的平方根是 516【答案】（1）解：海港C受台风影响， 理由：过点C作CDAB，AC=300km，BC=400km，AB=500km，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，ACBC=CDAB，300400=500CD，CD=240（km），以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，海港C受台风影响；（2）解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口， ED= EC2CD2 =70（km），EF=140km，台风的速度为20千米/小时，14020=7（小时），答：台风影响该海港持续的时间为7小时 学科网（北京）股份有限公司