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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 绪论1-1 连续介质假设的条件是什么？答：所研究问题中物体的特征尺度L，远远大于流体分子的平均自由行程l，即l/L1。1-2 设稀薄气体的分子自由行程是几米的数量级，问下列二种情况连续介质假设是否成立？（1）人造卫星在飞离大气层进入稀薄气体层时；（2）假象地球在这样的稀薄气体中运动时。答：（1）不成立。（2）成立。1-3 粘性流体在静止时有没有切应力？理想流体在运动时有没有切应力？静止流体没有粘性吗？答：（1）由于，因此，没有剪切应力。（2）对于理想流体，由于粘性系数，因此，没有剪切应力。（3）粘性是流体的根本属性。只是在静止流体中，由于流场的速度为0，流体的
2、粘性没有表现出来。1-4 在水池和风洞中进行船模试验时，需要测定由下式定义的无因次数（雷诺数），其中为试验速度，为船模长度，为流体的运动粘性系数。如果，温度由增到时，分别计算在水池和风洞中试验时的数。（时水和空气的运动粘性系数为和，时水和空气的运动粘性系数为和）。答：时水的为：。时空气的为：。时水的为：。时空气的为：。1-5 底面积为的薄板在静水的表面以速度做水平运动（如图所示），已知流体层厚度，设流体的速度为线性分布，求移动平板需要多大的力（其中水温为）。答：平板表面受到剪切应力作用，根据牛顿内摩擦定律，剪切应力为：。由于，得到，因此。作用于平板上的粘性切向力为：；其中水的密度为：；时水的运
3、动粘性系数为：；代入上式得到：1-6 设物面附近流体的流动如图所示，如果边界层内流速按抛物线分布：，当，温度为，试问流体分别为水和空气时，作用于壁面OAB上的剪切应力。答：物体表面的剪切应力为：。由于：，当时， 。因此：。（1）当流体为水时：时水的密度和运动粘性系数分别为：，。（2）当流体为空气时：时空气的密度和运动粘性系数分别为：，。1-7 有一旋转粘度计如图所示。同心轴和筒中间注入牛顿流体，筒与轴的间隙很小，筒以等角速度转动。设间隙中的流体速度沿矢径方向且为线性分布，很长，底部影响不计。如测得轴的扭矩为，求流体的粘性系数。答：轴承受的剪切应力：；则轴受到的剪切力为：；由于轴受到的扭矩为，则
4、：，即；所以：。第二章 流体静力学2-1如果地面上空气压力为0.MPa，求距地面100m和1000m高空处的压力。答：取空气密度为，并注意到。（1）100米高空处：（2）1000米高空处：2-2 如果海面压力为一个工程大气压，求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m时所承受海水的压力分别为多少？答：取海水密度为，并注意到所求压力为相对压力。（1）当水深为50米时：。（2）当水深为500米时：。（3）当水深为5000米时：。2-3试决定图示装置中A，B两点间的压力差。已知：，；酒精重度，水银重度，水的重度。答：设A，B两点的压力分别为和，1,2,3,4各个点处的压力分别为，和。根据各个等压面
5、的关系有：，；整理得到：，2-4有闸门如图所示，其圆心角，转轴位于水面上。已知闸门宽度为B，半径为R，试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角。答：（1）求水平分力由于，则；。因此：。（2）求垂向分力其中：，因此。（3）求合力合力大小：；合力方向：，。2-5设水深为，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长度水坝的作用力。（1）抛物线：，（为常数）；（2）正弦曲线：，（，为常数）。答：（1），为常数。水平分力：；其中，；因此。垂直分力：；其中，而，并注意到，于是得到：。因此，。（2），（，为常数）。水平分力：。垂直分力：；其中，而，并注意到，于是得到：因此，。2-6试求图示单位长度水渠
6、壁面所受的静水作用力。已知水的重度（N/m3），水渠左壁为的直线，右壁为的抛物线。答：（1）水渠左壁面受力采用平板公式计算作用力大小：；作用力方向：垂直作用于平板OA，并指向OA。作用点：，其中，。因此，；。采用柱面公式计算水平分力：；垂直分力：；合力：。（2）水渠右壁面受力水平分力：；垂直分力：；而，；因此。合力：。2-7 一圆筒形容器的半径R，所盛水的高度H。若该容器以等角速度绕其中心轴转动，设r=0，z=h点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转时水不会流出）。答：（1）作用于筒内流体的质量力包括两项：第一项：与坐标方向相反的重力，重力加速度为；第二项：沿
7、坐标方向的离心力，离心加速度为。因此单位质量力为：，其中：、分别为、方向的单位向量。（2）对于静止流体微分方程：，其中压力梯度：；将质量力和压力梯度代入，则得到：；比较方程两端，则得到：，。（3）压力的全微分：，将和代入其中，有：；将上式两端同时积分，得到：，其中为常数。将条件、时代入上式，则得到：。即流体内部的压力分布为：；又由于在自由表面上：，代入到上述压力分布式中，则得到：；该式便是筒内流体的自由面方程。2-8底面积aa=200200mm2的正方形容器的质量为m1=4kg，水的高度为h=150mm，容器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13，
8、试求不使水溢出的最小高度H。答：（1）求水平加速度：建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为。设容器内水的质量为，容器和水的总质量为，则：（kg），（kg）。由牛顿第二定律：，其中为摩擦系数，则水平加速度为：。（2）求作用于流体上的单位质量力：单位质量力为：。代入到静止流体平衡微分方程中，有：；比较方程两端，可以得到：，。（3）求自由表面方程压力的全微分为：。在自由液面上，。代入到上式中得到：。对其进行积分，得到自由表面方程：其中为常数。* （确定常数和高度）：由于自由表面方程通过两点：、，代入到自由面方程中，则有： (1) (2)将（1）代入到（2）中，得到： (3)又由于倾斜前
9、后，水体积（质量）保持不变，则有：整理得到： （4）将（4）代入（3）中，得到：，整理得到：（m），即不使水溢出的最小高度为0.218m。2-9 一物体位于互不相容的两种液体的交界处。若两液体的重度分别为，（），物体浸入液体中的体积为V1，浸入液体中的体积为V2，求物体的浮力。答：设微元面积上的压力为，其单位外法向量为，则作用于上的流体静力为。沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为。设部分的表面积为，设部分的表面积为，两种液体交界面处物体的截面积为，交界面处的压力为。并建立下述坐标系，即取交界面为平面，轴垂直向上为正，液体深度向下为正，显然。因此。在上，在上；代入到上式中得到：在此
10、，需要注意到，由于在交界面上，因此有。将这两项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中，则原式成为：利用高斯公式，可以得到：即物体受到的浮力为。 第三章 流体运动学3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：；存在函数：和，并且满足条件：。因此，存在流函数，且为：。3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。（1）（2），其中m，K为常数。答：（1）流场的加速度表达式为：。由速度分布，可以计算得到：，因此：，；
11、，。代入到加速度表达式中：（2）由速度分布函数可以得到：，；，。代入到加速度表达式中：3-4已知欧拉参数表示的速度场分布为，试求质点位移和速度的拉格朗日表达式。已知时，。答：（1）流体质点的轨迹方程为：，将速度分布带入，得到：两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。将第一个方程改写为：该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为。先求齐次方程的通解，齐次方程为：，即；两端同时积分得到：，。（2）令非齐次方程的特解为：，对其两端求导得到：；将上述和代入到原非齐次方程中，有：。整理得到：，两端同时积分：代入到特解中得到：。（3）将初始条件时代入上式，得到：，因此：，同理可得：。轨迹方程为：
12、。（4）用拉格朗日法表达的速度为：。3-5 绘出下列流函数所表示的流动图形（标明流动方向），计算其速度、加速度，并求势函数，绘出等势线。（1）；（2）；（3）；（4）。答：（1）流动图形：流线方程为，流线和流动方向如图中实线所示；速度：，流场为均匀流动；加速度：；求速度势函数：由于平均旋转角速度：，因此流场为无旋流场，势函数存在：；等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。（2）流动图形：流线方程为，流线和流动方向如图中实线所示；速度：，；加速度：；求速度势函数：由于平均旋转角速度，流场为无旋流场，势函数存在：；等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。（3）流动图形：流线方程为，流线和流
13、动方向如图中实线所示；速度：，；加速度：；求速度势函数：由于，流场为有旋流场，势函数不存在。（4）流动图形：流线方程为，流线和流动方向如图中实线所示；速度：，。加速度：；求速度势函数：，为有旋流场，势函数不存在。3-6 已知平面不可压缩流体的速度分布为（1），；（2），；（3），。判断是否存在势函数和流函数，若存在，则求之。答：（1），求速度势函数：，为有旋流动，势函数不存在。求流函数：由于，满足不可压缩流体的连续方程，流函数存在：。（2），求速度势函数：，为有旋流动，势函数不存在。求流函数：由于，不满足不可压缩流体的连续方程，流函数不存在。（3），求速度势函数：，为无旋流动，势函数存在：求流
14、函数：由于，满足不可压缩流体的连续方程，流函数存在：。3-7 已知欧拉参数表示的速度分布为，求流体质点的轨迹。答：由轨迹方程，并将和代入得到：或者写成：两端同时积分，得到：，即3-8 已知流场的速度分布为，求时通过点的流线。答：将速度分布函数代入连续方程：得到：因此可知，速度分布与坐标无关，流动为二维流动。由流函数定义式得到：。由于流函数为常数时表示流线，因此流线方程为：。将将条件：当，、代入上式，得；因此该瞬时过的流线方程为：。3-9已知平面不可压缩流体的速度分布为，求时过点的流线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。答：（1）求流线方程：由于，流函数存在，且为：；则流线方程为：；将
15、条件：当时，、代入，得；则该瞬时过将点的流线方程为：。（2）求加速度：将条件：时，、代入，得到该瞬时过将点的流体质点的加速度为：（3）轨迹方程：。3-10 设不可压缩流体的速度分布为（1） （2） 。其中a、b、c、d、e、f为常数，试求第三个速度分布。答：（1）将速度分布代入连续方程：，得到：，两端同时积分得到：。（2）将速度分布代入连续方程：，由于：，；因此：两端同时积分得到：。3-11 有一扩大渠道，已知两壁面交角为1弧度，在两壁面相交处有一小缝，通过此缝隙流出的体积流量为（m/s），试求（1）速度分布；（2）时壁面上处的速度和加速度。答：（1）求速度分布：设半径为处的径向速度为，周向速
16、度为。显然，且；其中：，因此径向速度分布为：；（2）求加速度：；（3）当时，在处：，。3-12 已知不可压缩平面势流的分速度为点上，试求通过及两点连线的体积流量。答：（1）求速度分布：由平面不可压缩流体的连续方程，得到：，两端同时对积分：；将条件：在点代入上式，得到：，因此：。流动的速度分布为：，。（2）求流函数：。（3）求流量：利用流函数的性质：流场中任意两点的流函数之差等于通过两点之间连线的体积流量。由于：，；因此流量为：。3-13 设流场的速度分布为，其中为常数。（1）求线变形速率，角变形速率，体积膨胀率；（2）问该流场是否为无旋场？若是无旋场求出速度势。答：（1）线形变速率为：，；角形
17、变速率为：，；体积膨胀率为：。（2）求速度势：由于平均角速度的三个分量分别为：，因此：即流场为无旋流场，速度势函数存在，且为：。3-14 设流场的速度分布为。试求（1）涡量及涡线方程；（2）平面上通过横截面积mm2的涡通量。答：（1）求涡量和涡线方程：流场的平均旋转角速度的三个分量分别为：，。因此平均旋转角速度为：；则涡量为：其三个分量分别为：，；将其代入到涡线方程：，得到：两端同时积分得到涡线方程：。（2）涡通量：将涡量在上积分，得到涡通量为：其中：，为平面的单位外法向量。设，则：，；平面外法向量在三个坐标轴上的分量为：，；因此：3-15 已知流场的流线为同心圆族，速度分布为：时，；时，。试
18、求沿圆周的速度环量，其中圆的半径分别为（1）， （2） ，和 （3） 。答：（1）极坐标下的速度分布：在半径为的圆周上，；当时：，；当时：，；。（2）求速度环量：速度环量。其中，；分别为和方向上的单位向量。因此：。当时：，；当时：，；当时：，。3-16 设在点置有的旋涡，在点置有的旋涡，试求下列路线的速度环量：（1），（2），(3)的一个方形框，（4）的一个方形框。答：（1）（2）（3）（4） 第四章 流体动力学基本定理及其应用4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：其物理意义
19、为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。4-2 设进入汽化器的空气体积流量为，进气管最狭窄断面直径D=40mm，喷油嘴直径d=10mm。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm，试计算喷油量。汽油的重度。答：（1）求A点处空气的速度：设进气管最狭窄处的
20、空气速度为，压力为，则根据流管的连续方程可以得到：，因此：。（2）求真空度选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A点；并且：在F点：，；在A点：，。将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：因此真空度为：若取空气的密度为，那么计算得到：。（3）求喷油量：设喷油嘴处汽油的速度为，并设空气的密度为，重度为，汽油的重度为。选一条流线，流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点；并且：在A点：，；在B点：，；代入到伯努利方程中，可以得到：；整理得到：；因此汽油喷出速度为：；其中空气重度；，并注意到喷油嘴的直径是6mm，而不是原来的10mm，则计算得到：因此汽油流量为：。4-3 如图所示，水流
21、流入形弯管的体积流量Q=0.01m3/s，弯管截面由=50cm2减小到=10cm2，流速和均匀，若截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作用力及作用点的位置。答：（1）求截面和上的流速和：由连续方程可知：，；（2）求上的压力：已知上的压力1个工程大气压；由伯努利方程：得到：。（3）求水流对弯管的作用力：由动量定理可以得到：。其中和分别为在和上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此：截面上作用力为：，截面上作用力为：。因此：（4）求作用力的作用点：设作用点距截面中心线的距离为，两管中心线之间的距离为。由动量矩定理可以得到：；即：。4-4 如图
22、所示，弯管的直径由d1=20cm减小到d2=15cm，偏转角为60，设粗端表压力p1=7840N/m2，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m3/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说，截面处压力和利用伯努利方程得到的截面的压力的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在和截面上，均应以相对压力值计算。（1）利用连续方程求截面和上的流速和：，；（2）利用伯努利方程求截面的相对压力：根据伯努利方程：可以得到：；（3）求管壁对流体的作用力和：求方向作用力分量：由动量定理：其中为截面上外界对管内流体的作用力；整理得到： 求方向作用
23、力分量：由动量定理：，其中为截面上外界对管内流体的作用力，整理得到： （4）求力的作用点：如图所示，设流体对弯管的作用力和与轴和轴的距离分别为和，由于和上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知，即合力作用点通过坐标原点。4-5 如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0=30m/s，水柱的体积流量Q=294m3/s，分流量Q1=118 m3/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角。设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。答：（1）由伯努利方程可知；（2）设流束宽度分别为，和，则有，；又由连续方程可知：因此：；（3）应用动量定理求平板对流体的作用力和
24、偏转角：求偏转角度：在方向，平板对流体的作用力，即：；整理得到：将代入，可以得到：，即：。求方向作用力分量：由动量定理得到：整理得到：4-6 图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度为h2，两孔口中心重合，而且直径d1=d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知h1和水的密度时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。答 ：（1）求水箱1出口处速度：在水箱1的自由液面上选取A点，在出口截面上选取B点；A点
25、：， 其中为大气压力；B点：，。由过A、B两点的伯努利方程：得到：；因此：，；（2）求水流对封板的作用力：由动量定理，沿垂直于封板的方向：；（3）求水箱2的最大高度：在封板右侧，水箱2形心处的静压力为，因此封板受到水箱2的静水压力：。当封板左右两侧压力相同时，即时：注意到，整理可得：。即水箱2 液面最大高度为。4-7 工程中常用文丘里（Venturi）管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为S1、S2，水的密度和U形测压计中液体的密度分别为，且。若不计水的粘性，试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。答：设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为
26、和，则由连续方程可知：；又设管路的流量为，则：，；选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：，整理得到：； （1）取形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，则有：，；由于，则可得到：；整理可得：； （2）将（2）代入到（1）中，可得：；再经整理得到：，。4-8 圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速U均匀，在某截面处为抛物形速度分布：，其中为离管轴的径向距离，为一未知常数。入口处和处管截面压力均匀分布，分别为和，流体密度为，不计重力。（1）试确定常数； （2）证明作用在至间，管壁上总的摩擦阻力。答：（1）入口处流量为：；由连续方程可知，处截面的流量也是。又由于通过截面半径处环形微元面积上
27、的流量为：对其积分可得到： ；即：；因此得到：；则速度分布为：。（2）入口处流体的动量为：；截面上，通过半径为处的环形面积流体的动量为：；将上式积分得到：；由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：；其中为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：。4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：；（1）求涡线对R点的诱导速度：诱导速度由3部分涡线产生，即涡线1、2和3：涡线1：方向垂直纸面向外：；其中，；因此：。涡线2：方向垂直纸面向内：，；则：；涡线3：方向垂直纸面向外：则对R点总诱导速度为：（
28、2）求涡线对Q点的诱导速度：涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：，；则：； 涡线2方向垂直纸面向外：；则对Q点总诱导速度为：；（3）求涡线对P点的诱导速度：涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：，；则：。 第五章 势流理论5-1流速为u0=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于(0，-5)，试求：(1)点涡的强度；(2) (0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。答：（1）求点涡的强度：设点涡的强度为，则均匀流的速度势和流函数分别为：，；点涡的速度势和流函数为：，；因此，流动的速度势和流函数为：，；则速度分布为：，；由于为驻点，代入上式第一式中则得到：，整理得到：。（2）
29、求点的速度：将代入到速度分布中，得到：，；将、代入上述速度分布函数，得到：（m/s），（m/s）；（3）求通过点的流线方程：由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程，则流线方程为：；将、代入，得到：；则过该点的流线方程为：，整理得到：5-2 平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为1=20m3/s，点汇位于（2,0）点，其流量为2=40m3/s，已知流体密度为=1.8kg/m3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。答：（1）求、和点的速度：点源的速度势为：，点汇的速度势为：；，；将、代入，并注意到及，得到点的速度为：，；其合速度为：
30、（m/s）。将、代入，得到点的速度为：，；其合速度为：（m/s）。将、代入，得到点的速度为：，；其合速度为：（m/s）。（2）设、和点的压力分别为、和，且由题意知，则由伯努利方程：，因此可得：（N/m2），（N/m2）。5-3 直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m以水平速度 u0=10m/s运动。试求（1）A、B、C、D四点的绝对压力；（2）若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min转动，试决定驻点的位置以及B、D两点的速度和压力。此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注：温度为15时，水的饱和蒸汽压力为2.332103N/m2）。答：（1）求A、B、C、D四点的绝对压力：
31、设A、B、C、D四点的绝对压力分别为、和，相对压力分别为、和；并注意到其压力系数分别为1、-3、1和-3，则： A点的绝对压力：（2）求驻点位置和B、D点的速度和压力：圆柱半径（m），旋转角速度（rad/s）；因此漩涡强度为：；柱面上处，速度分布为：，； 在驻点（A、C点），即：将、和代入上式，得到：，则：，； 在B点，则速度为：（m/s）；压力系数为：；相对压力为：（N/m2）；其中B点静水压力为：（N/m2），则B点处绝对压力为：（N/m2）； 在D点，则速度为：（m/s）；压力系数为：；相对压力为：（N/m2）；其中D点静水压力为：（N/m2），则D点处绝对压力为：（N/m2）；（3）
32、由于B点的压力系数最低，首先在B点发生空泡；当水深增至100m时，B点的静水压力为：（N/m2），压力系数为：；绝对压力为：B点发生空泡的临界值为，且由给定条件知（N/m2）；代入上式得到：，将上式整理得到关于的一元二次方程：其中系数：，；解得：（m/s）。即当（m/s）时将发生空泡。5-4写出下列流动的复势，（1）u=U0cosa，v=U0sina；（2）强度为m，位于（a，0）点的平面点源；（3）强度为位于原点的点涡；（4）强度为M，方向为a，位于原点的平面偶极。答：（1），：，；（2）强度为，位于点的平面点源：，；以点为原点，建立新的坐标系；在新坐标系中：，；由于新旧坐标系之间的关系为：
33、，；，；因此：；（3）强度为，位于原点的点涡：，；（4）强度为，方向为，位于原点的平面偶极：以原点为圆心，将坐标系逆时针旋转角，得到新坐标系；在新坐标系中，速度势和流函数分别为：，；由于新旧坐标系间的关系为：，；代入到上式可得：；5-5 设在点放置一强度为的平面点源，是一固壁面，试求：（1）固壁上流体的速度分布及速度达到最大值的位置；（2）固壁上的压力分布，设无穷远处压力为；(3)若，其中为时间变量，求壁面上的压力分布。答：（1）用位于和，强度均为的两个点源，可以构造位于的壁面，其速度势为：，；速度分布为：，；在壁面上，则壁面上速度分布为：，；由于：；令上式为0，则得到：，；即在点和，速度达到
34、最大值，且为：；（2）当时，由伯努利方程得到：，；将壁面上的压力分布沿整个壁面进行积分，得到流体作用于壁面的作用力：即沿壁面的作用力为。（3）当时，速度势为：，；速度分布为：，；在壁面上，则壁面上速度分布为：，；由于：；令上式为0，则得到：，；即在点和，速度达到最大值，且为：；（2）当时，由伯努利方程得到：，；5-6 已知复势为，求（1）流场的速度分布及绕圆周的环量；（2）验证有一条流线与的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力。答：（1）求速度分布及绕圆周的环量： 求速度分布：由复势的定义可知：；因此：，； 求环量：该流动由三个简单流动组成：第一个：为沿方向的均匀流，；第二个：是位于
35、原点的偶极，设其强度为，则，；第三个：是位于原点的点涡，设其强度为，则，。因此绕的环量为。（2）将复势改写成下述形式：则流函数为：当时，代入上式可得：（常数）说明确是一条流线。由卜拉休斯公式可知，作用在柱面上的共轭合力为：；其中：，；由留数定理可知，上式中仅第二项对积分有贡献，因此：，得到：；由于：，得到：水平分力：，垂向分力（升力）：。5-7 如习题5-3图所示，设直径为m的圆柱体在水下深度为m的水平面上以速度m/s作匀速直线运动，（1）试写出流动的绝对速度势、牵连速度势、相对速度势及对应的单位速度势；（2）求出圆柱体表面上A、B、C、D及=45、135六点的绝对速度。答：（1）设圆柱半径为
36、，则得到：单位相对速度势：，相对速度势：，牵连速度势：，绝对速度势：，单位绝对速度势：。（2）由绝对速度势可得速度分布为：，；在柱面上，代入上式，得到柱面上的速度分布为：，；A点，：，；B点，：，；C点，：，；D点，：，；：，；：，。5-8 若一半经为r0的圆球在静水中速度从0加速至u0，试求需对其作多少功？答：当圆球加速至时，其总动能为：；其中：为圆球的质量，为水的附加质量，为圆球的密度，为水的密度。做功等于动能：。5-9 无限深液体中，有一长为L半径为R的垂直圆柱体，设其轴心被长度为的绳子所系住。它一方面以角速度在水平面内绕绳子固定端公转，另一方面又以另一角速度绕自身轴线自转。已知圆柱体重
37、量为G，液体密度为，并假定，试求绳子所受的张力。答：设绳子的张力为，则圆柱体公转向心力为：；其中：为圆柱体自转所产生的升力，且等于：；其中：为公转线速度，为自转的速度环量，且等于：其中：为自转线速度，为柱体表面微元弧长；因此升力为：；为总质量：；其中：为柱体质量，为柱体密度；为水的附加质量，为水的密度；因此张力为：。5-10 设有一半径为R的二元圆柱体在液体中以水平分速度u=u0t（m/s）运动。设t=0时，它静止于坐标原点，液体密度为，圆柱体密度为。试求流体作用在圆柱体上的推力及t=2s时圆柱体的位置。答：由牛顿第二定律可知推力为：其中：；为柱体质量；为液体的附加质量；因此可以得到推力为：；
38、由于柱体运动微元距离为，因此：；由于时，代入上式得到，则：当时，得到：。 第六章 水波理论6-1 求波长为145m的海洋波传播速度和波动周期，假定海洋是无限深的。答：（m/s），（s）；即传播速度为15.052（m/s），波动周期为9.633（s）。6-2 海洋波以10m/s移动，试求这些波的波长和周期。答：（m），（s）；即波长为64（m），波浪周期为6.4（s）。6-3 证明为水深为的进行波的复势，其中为复变数，轴垂直向上，原点在静水面上。并证明（提示：）。答：在图示坐标系中，平面进行波的速度势为：在、方向的速度分别为：，；由上述速度分布得到二维波浪运动的流函数为：因此，二维波浪运动的复势
39、为：在上式中，令：，；则可得到：由提示，可以得到：6-4 在水深为的水平底部（即处），用压力传感器记录到沿方向传播的进行波的波压力为。设的最大高度（相对平衡态来说）为，圆频率为，试确定所对应的自由面波动的圆频率和振幅。答：微幅平面进行波的压力分布函数为。对于有限水深，其速度势为：，对时间求导得到：；其中为表面波幅值，为波动的圆频率，代入到压力分布函数中，得到：当时，代入上式得到：若波压高度为，则其幅值为，因此根据上式得到，整理得到：并且从波压分布方程可见，若波压频率为，则自由波面频率。6-5 有一全长70m的船沿某一方向以等速uo航行。今有追随船后并与船航行方向一致的波浪以传播速度c追赶该船。
40、它赶过一个船长的时间是16.5s，而赶过一个波长的时间是6s。求波长及船速uo。答：设船长为，波长为，波速为，波浪周期为，则可得到： （1） （2）两式相比较得到：波长：（m），波速：（m/s），船速：（m/s）。6-6 重力场中有限水深微幅进行波的波面为，其中为波幅；设流场的速度势为，试求（1）常数；（2）波数与频率关系；（3）波的传播速度与波长的关系。答：（1）由线性自由表面动力学条件得到：，注意到在自由表面，代入上式得到：将该式与给定的波面方程进行比较，可得到：整理得到：。（2）将上述常数代入到速度势函数中得到：，；在自由表面上，得到：，；代入到自由表面条件：中，得到：，整理得到：。（3）波速；由，得到；因此：。6-7 无限水深中一波浪高度h=1m，而波形的最大坡度角=/8。试决定流体质点的旋转角速度。答：设波面方程为，其中波幅为（m）；由于任意波倾角（坡度角）为：最大波倾角取在波节点处，即；因此：，（1/m），（rad/s）。6-8两种流体在y=0处有一分界面，流体被限制在y=-h和y=h之间，若上层流体密度为，下层流体密度为。证明重力波的波速为c2=g(-)/k(cothkh+cothkh)其中k为波数，g为重力加速度，忽略表面张力效应。并讨论两层流体均为无限深的情况。答：6-9边长为2a的方形柱置于均匀来流Uo和无限深波浪中，潜深为H，若设该流场的