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1、揭秘若干高考数学题的数学史背景与速解决窍 浙江省嘉兴一中特级教师沈新权已经谈到我国高考浙江省嘉兴一中特级教师沈新权已经谈到我国高考浙江省嘉兴一中特级教师沈新权已经谈到我国高考浙江省嘉兴一中特级教师沈新权已经谈到我国高考数学题四大来源：数学题四大来源：数学题四大来源：数学题四大来源：源自教材、陈题改编、高数下放、竞源自教材、陈题改编、高数下放、竞源自教材、陈题改编、高数下放、竞源自教材、陈题改编、高数下放、竞赛背景。读后，我受益匪浅赛背景。读后，我受益匪浅赛背景。读后，我受益匪浅赛背景。读后，我受益匪浅.作为作为作为作为高考数学题高考数学题高考数学题高考数学题研究的研究的研究的研究的延续，延续，
2、延续，延续，这里，我刍谈若干高这里，我刍谈若干高这里，我刍谈若干高这里，我刍谈若干高考数学题的数学史背景，期望对于高中数学教师的数学考数学题的数学史背景，期望对于高中数学教师的数学考数学题的数学史背景，期望对于高中数学教师的数学考数学题的数学史背景，期望对于高中数学教师的数学高考备考、丰富专业涵养能发挥出抛砖引玉的作用。我高考备考、丰富专业涵养能发挥出抛砖引玉的作用。我高考备考、丰富专业涵养能发挥出抛砖引玉的作用。我高考备考、丰富专业涵养能发挥出抛砖引玉的作用。我本人的观点不成熟、有偏差，请指正！本人的观点不成熟、有偏差，请指正！本人的观点不成熟、有偏差，请指正！本人的观点不成熟、有偏差，请指
3、正！1.1.揭秘若干高考数学题的数学史背景揭秘若干高考数学题的数学史背景 链接21.揭秘若干高考数学题的数学史背景 数学史数学史是研究数学学科发生、发展及其是研究数学学科发生、发展及其规律的科学，它不仅追溯数学内容、思想规律的科学，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及数学科学发响这种过程的各种因素，以及数学科学发展对人类文明带来的影响。展对人类文明带来的影响。数学进展的累积性、延续性不同于其数学进展的累积性、延续性不同于其它学科进展的颠覆性、割裂性（例如物理它学科进展的颠覆性、割裂性（例如物理学的学的“以太说
4、以太说”、化学的、化学的“燃素说燃素说”、天、天文学的文学的“地心说地心说”、医学的、医学的“抗生素抗生素”等）等），这说明学习、研究数学史尤其重要，这说明学习、研究数学史尤其重要。31.揭秘若干高考数学题的数学史背景 人们研究数学史可以研究数学思想、方法、理人们研究数学史可以研究数学思想、方法、理人们研究数学史可以研究数学思想、方法、理人们研究数学史可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与其它学论、概念的演变史；可以研究数学科学与其它学论、概念的演变史；可以研究数学科学与其它学论、概念的演变史；可以研究数学科学与其它学科、人类社会的互动关系；可以研究数学思想的科、人类社
5、会的互动关系；可以研究数学思想的科、人类社会的互动关系；可以研究数学思想的科、人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流；可以研究数学家的生平；等等。传播与交流；可以研究数学家的生平；等等。传播与交流；可以研究数学家的生平；等等。传播与交流；可以研究数学家的生平；等等。国际数学组织国际数学组织国际数学组织国际数学组织HPMHPMHPMHPM的研究方向是数学史及其与的研究方向是数学史及其与的研究方向是数学史及其与的研究方向是数学史及其与数学教育的关系。作为高中数学教师，我们不但数学教育的关系。作为高中数学教师，我们不但数学教育的关系。作为高中数学教师，我们不但数学教育的关系。作为高中数学教
6、师，我们不但可以把数学史研究用于编写数学校本教材、改进可以把数学史研究用于编写数学校本教材、改进可以把数学史研究用于编写数学校本教材、改进可以把数学史研究用于编写数学校本教材、改进数学课堂教学，而且更应该关注高考数学题的数数学课堂教学，而且更应该关注高考数学题的数数学课堂教学，而且更应该关注高考数学题的数数学课堂教学，而且更应该关注高考数学题的数学史背景（命题背景、解题背景）。学史背景（命题背景、解题背景）。学史背景（命题背景、解题背景）。学史背景（命题背景、解题背景）。41.1 将军饮马 唐朝诗人李欣唐朝诗人李欣(690-751,(690-751,四川三台四川三台)的诗古从军行的诗古从军行的
7、开头两句是：的开头两句是：“白日登山望峰火，白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河黄昏饮马傍交河.”.”例例1 1（20132013年湖南省高考题）在等腰直角三年湖南省高考题）在等腰直角三角形角形 例例2 (20132 (2013年重庆市高考题年重庆市高考题)已知两个定已知两个定圆圆 链接51.2 韦达定理 法国数学家韦达（法国数学家韦达（VieteViete，1540-16031540-1603）早年在巴黎）早年在巴黎普瓦捷大学学习法律，后任律师和法官，主业巅峰时普瓦捷大学学习法律，后任律师和法官，主业巅峰时当当上上法国最高法院律师，业余钻研数学，出版应用于三法国最高法院律师，业余钻研数学，出版应用
8、于三角形的数学定理（角形的数学定理（15791579）、分析方法入门（）、分析方法入门（15911591）、各种）、各种数学解答（数学解答（15931593）、论方程的识别与论证（）、论方程的识别与论证（16151615）、斜截）、斜截面（面（16151615）等数学专著，一直到殂后）等数学专著，一直到殂后4343年的年的16461646年经晚辈在荷兰年经晚辈在荷兰出版韦达全集后才得到数学界的佩服，被公认为数学符号化之出版韦达全集后才得到数学界的佩服，被公认为数学符号化之父。论方程的识别与论证记载了被后人所称谓的父。论方程的识别与论证记载了被后人所称谓的“韦达定理韦达定理”。例例1 (2012
9、1 (2012年山东省高考理科数学试卷的最后一道选择题）设年山东省高考理科数学试卷的最后一道选择题）设函数函数 例例2 2 （20102010年江西省高考题）如果函数年江西省高考题）如果函数 例例3 3 （20082008年复旦大学自主招生题）设年复旦大学自主招生题）设是三次方程是三次方程的三个根，则行列式的三个根，则行列式链接61.3 斐波拉契数列 意大利数学家斐波那契（意大利数学家斐波那契（意大利数学家斐波那契（意大利数学家斐波那契（L.Fibona-L.Fibona-L.Fibona-L.Fibona-ccicciccicci，约，约，约，约1170-12501170-12501170-
10、12501170-1250）在）在）在）在1228122812281228年修订的算年修订的算年修订的算年修订的算盘全书中保留了兔子问题：盘全书中保留了兔子问题：盘全书中保留了兔子问题：盘全书中保留了兔子问题：“如果每对如果每对如果每对如果每对新生的雌雄兔子在第新生的雌雄兔子在第新生的雌雄兔子在第新生的雌雄兔子在第3 3 3 3个月开始每月又能生一对雌个月开始每月又能生一对雌个月开始每月又能生一对雌个月开始每月又能生一对雌雄兔子，假设不发生死亡，那么由一对初生的雌雄雄兔子，假设不发生死亡，那么由一对初生的雌雄雄兔子，假设不发生死亡，那么由一对初生的雌雄雄兔子，假设不发生死亡，那么由一对初生的雌
11、雄兔子繁殖到兔子繁殖到兔子繁殖到兔子繁殖到50505050个月后共有多少对雌雄兔子？个月后共有多少对雌雄兔子？个月后共有多少对雌雄兔子？个月后共有多少对雌雄兔子？”例例例例1 (20121 (20121 (20121 (2012年江西省高考题年江西省高考题年江西省高考题年江西省高考题)观察下列各式观察下列各式观察下列各式观察下列各式 例例例例2 2 2 2 （2009200920092009年福建省高考题）五位同学围成年福建省高考题）五位同学围成年福建省高考题）五位同学围成年福建省高考题）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：一圈依序循环报数，规定：一圈依序循环报数，规定：一圈依序循环报数，规定
12、：第一位同学首次报出的数为第一位同学首次报出的数为第一位同学首次报出的数为第一位同学首次报出的数为1 1 1 1，第二位同学首次报出的数也为，第二位同学首次报出的数也为，第二位同学首次报出的数也为，第二位同学首次报出的数也为1 1 1 1，之后每位，之后每位，之后每位，之后每位链接71.4 费 马 点 法国数学家费马（法国数学家费马（FermatFermat，16011601-16651665）出生于法国）出生于法国南部图卢兹的一个皮革商的富贵家庭，从小喜爱浏览多南部图卢兹的一个皮革商的富贵家庭，从小喜爱浏览多种图书，种图书，在在图卢兹大学学习法律，毕业后返回家乡图卢图卢兹大学学习法律，毕业后
13、返回家乡图卢兹当律师、法官和议员，主业巅峰时担任法国大理院法兹当律师、法官和议员，主业巅峰时担任法国大理院法庭法官和天主教联盟主席。庭法官和天主教联盟主席。虽然钻研数学只是费马的业余爱好，但费马在数学上的总体造虽然钻研数学只是费马的业余爱好，但费马在数学上的总体造诣却远远超过同时代法国的职业数学家诣却远远超过同时代法国的职业数学家，后世被数学界称为后世被数学界称为“业余业余数数学家之王学家之王”。在平面几何中，把到任意的三个顶点的距离之和最小的点称为在平面几何中，把到任意的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点费马点F F。当该三角形的最大内角小于。当该三角形的最大内角小于120120度度时；否
14、则，费马点时；否则，费马点F F重合重合于最大内角的顶点。于最大内角的顶点。例例1 1 （20082008年江苏省高考题）如图，某地年江苏省高考题）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形有三家工厂，分别位于矩形ABCDABCD的两个顶点的两个顶点A A、B B及及CDCD的中点的中点P P处处 例例2 (2 (第第1414届北京市高中数学应用初赛题届北京市高中数学应用初赛题)ABCDOP1.481.5 卡尔达诺的旋轮问题 意大利意大利科学科学家、医学博士卡尔达诺家、医学博士卡尔达诺(G.Cardano(G.Cardano，15011501-1576)1576)出生于一个法官的家庭，上大学时学习医出
15、生于一个法官的家庭，上大学时学习医学取得医学博士学位，主业从医，学取得医学博士学位，主业从医，3333岁时兼任数学教岁时兼任数学教师，师，4242岁又到帕维亚大学任医学教授并逐渐成为闻名全欧的医生，岁又到帕维亚大学任医学教授并逐渐成为闻名全欧的医生，他是医学、哲学、宗教、数学、物理、化学、生物学、天文学、占他是医学、哲学、宗教、数学、物理、化学、生物学、天文学、占星星预测预测、棋类、赌博的杂家和玩家。、棋类、赌博的杂家和玩家。卡尔达诺最重要的数学著作是卡尔达诺最重要的数学著作是15451545年出版的大术，年出版的大术，其中包其中包含了一元含了一元三三次方程次方程、四次方程的、四次方程的求根公
16、式求根公式。此外，他提出了著名的。此外，他提出了著名的旋轮问题：旋轮问题：“一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘相切一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘相切而旋转，则这个小圆盘上一个定点的运动轨迹是一个椭圆而旋转，则这个小圆盘上一个定点的运动轨迹是一个椭圆”。例例1 1（20112011年江西省高考题）一个直径为年江西省高考题）一个直径为1 1的小圆沿着直径为的小圆沿着直径为2 2的大圆内壁的逆时针方向滚动，的大圆内壁的逆时针方向滚动，例例2 2（20122012年山东省高考题）如图，一单位圆的圆心的初始位年山东省高考题）如图，一单位圆的圆心的初始位置在置在1.591.6 伯努利的
17、装错信笺 瑞士数学家尼瑞士数学家尼 伯努利伯努利(Danil Bemoulli(Danil Bemoulli，17001700-1782)1782)提出了装错信笺问题提出了装错信笺问题某人写了某人写了n n封不封不同的信，并在同的信，并在n n个信封上写下对应的地址，问把所个信封上写下对应的地址，问把所有信笺全部装错的方法共有多少种？有信笺全部装错的方法共有多少种？后来，瑞士数学家欧拉后来，瑞士数学家欧拉(Euler(Euler，17071707-1783)1783)运运用递推数列独立地解决了这道用递推数列独立地解决了这道组合组合妙题妙题。例例6 6 （20102010年浙江省高考题）有年浙江
18、省高考题）有4 4位同学在同位同学在同一天的上、下午参加一天的上、下午参加“身高与体重身高与体重”、例例7 (20127 (2012年全国高考题年全国高考题)将字母排成三行两将字母排成三行两列，要求每行的字母列，要求每行的字母1.6101.7 从阿氏圆，到极点、极线 阿波罗尼阿波罗尼(奥奥)斯斯(P.Apollonius(P.Apollonius，约前，约前262262-约约 前前190)190)是希腊数学家、天文学家，经典巨著圆是希腊数学家、天文学家，经典巨著圆锥曲线论锥曲线论领先领先18001800年。年。目前比较流行的阿波罗目前比较流行的阿波罗尼尼(奥奥)斯圆是斯圆是“与两定点的距离之比
19、为常数与两定点的距离之比为常数(不等不等于于1)1)的点的轨迹是一个圆的点的轨迹是一个圆”。例例1 (20081 (2008年江苏省高考题年江苏省高考题)满足满足AB=2AB=2，AC=AC=三角形三角形ABCABC面面积的最大值是积的最大值是 。例例2 (20132 (2013年辽宁省高考题年辽宁省高考题1919（2 2）)如图，如图，抛物线抛物线求线段求线段ABAB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。1.7111.8 琴生不等式 丹麦工程师和业余数学家琴生丹麦工程师和业余数学家琴生(Jensen(Jensen，18591859-19251925）出生于丹麦，跟随当房地产经理的父亲在）出生于丹麦
20、，跟随当房地产经理的父亲在瑞典度过了大部分童年时光，瑞典度过了大部分童年时光，1717岁回国中断了在岁回国中断了在哥本哈根科技学院的学业，哥本哈根科技学院的学业，2424岁成为一家电话公岁成为一家电话公司的工程师，司的工程师，3131岁成为技术主管，没有专修数学岁成为技术主管，没有专修数学和和讲授讲授数学的历练，自学高等数学，业余研究数数学的历练，自学高等数学，业余研究数学。学。著名著名的琴生不等式不但在数学竞赛中常被运的琴生不等式不但在数学竞赛中常被运用，而且在高考数学命题中也常常若隐若现。用，而且在高考数学命题中也常常若隐若现。例例1 1 （20112011年我国内地招收侨港澳台学生入年我
21、国内地招收侨港澳台学生入学试题）设三角形学试题）设三角形ABCABC为锐角三角形为锐角三角形 例例2 2 （20112011年湖北省高考末题）设年湖北省高考末题）设1.8121.9 拉格朗日中值定理 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange，17361736-18131813）是法国数）是法国数学家、力学家、天文学，出生于生于意大利，幼年学家、力学家、天文学，出生于生于意大利，幼年家境衰落，家境衰落，1717岁就喜爱研读微积分，岁就喜爱研读微积分，1919岁时当上都岁时当上都灵皇家炮兵学院教授，灵皇家炮兵学院教授，2020岁受数学家欧（岁受数学家欧（17071707-1783178
22、3）的举荐被任命为德国皇家普鲁士科学院通讯）的举荐被任命为德国皇家普鲁士科学院通讯院士，院士，3030岁受德国大帝的邀请前往柏林担任普鲁士岁受德国大帝的邀请前往柏林担任普鲁士科学院数学部主任，科学院数学部主任，5151岁以后受法国国王的邀请定岁以后受法国国王的邀请定居巴黎，居巴黎，5959岁当选法兰西研究院数理委员会主席。岁当选法兰西研究院数理委员会主席。例例1 1（20092009年辽宁省高考题年辽宁省高考题2121）已知函数）已知函数 例例2 2（20102010年辽宁省高考题年辽宁省高考题2121）已知函数）已知函数1.9131.10 (揭秘若干数学高考题的数学史背景)其它 古希腊的形数
23、、柯西函数方程、杨辉三角、古希腊的形数、柯西函数方程、杨辉三角、阿贝尔求和、欧拉线、蝴蝶、雪花曲线、幻方、阿贝尔求和、欧拉线、蝴蝶、雪花曲线、幻方、阿基米德三角形、四色、七桥、帕斯卡赌金分配、阿基米德三角形、四色、七桥、帕斯卡赌金分配、正整数的二进制正整数的二进制,级数，级数，彭色列闭形定理、彭色列闭形定理、调和点列，交比，包络、调和点列，交比，包络、高阶等差数列，高阶等差数列，羨除，羨除，。142.2.揭秘若干数学高考题的速解揭秘若干数学高考题的速解诀窍诀窍 北京师大数学通报北京师大数学通报19971997年第年第2 2期发表了我的论期发表了我的论文文“通法与特技的相对性及启示通法与特技的相
24、对性及启示”，受到专家的好评，受到专家的好评，这一年我这一年我3838岁被破格评为湖北省第岁被破格评为湖北省第5 5批特级教师与这篇批特级教师与这篇代表作代表作密切关联密切关联。写这篇学术争鸣论文的初衷只是要。写这篇学术争鸣论文的初衷只是要鼓励数学教师乐于潜心研究解题方法，却想不到引起鼓励数学教师乐于潜心研究解题方法，却想不到引起了全国不少中学数学教师的共鸣，后来者居上，比如了全国不少中学数学教师的共鸣，后来者居上，比如东北的特级教师金钟植对数学解题通法与特技进行了东北的特级教师金钟植对数学解题通法与特技进行了更加系统的研究更加系统的研究(http:/ /2eb84c17eff9aef8941
25、e06a5.html /2eb84c17eff9aef8941e06a5.html),),新颖地提出了通新颖地提出了通法的概括性、隐蔽性、发展性、层次性等等特点法的概括性、隐蔽性、发展性、层次性等等特点.在数学解题中，通法与特技（妙法），孰优孰劣，在数学解题中，通法与特技（妙法），孰优孰劣，目前再很少有人去辩论了。再强调，无论是通法还是目前再很少有人去辩论了。再强调，无论是通法还是特技（妙法），易学且省时的解法就是好法。特技（妙法），易学且省时的解法就是好法。2.0152.2.揭秘若干数学高考题的速解揭秘若干数学高考题的速解诀窍诀窍 2001 2001年秋季我在陕西师大接受第年秋季我在陕西师大
26、接受第3 3期高中数学国家级期高中数学国家级骨干教师培训班（兼任学习委员），聆听到裘宗沪教授骨干教师培训班（兼任学习委员），聆听到裘宗沪教授的专题报告（时任教务长的罗增儒教授主持报告会），的专题报告（时任教务长的罗增儒教授主持报告会），裘教授直白地说道：裘教授直白地说道：“熟能生巧熟能生巧”几乎是数学教育的全几乎是数学教育的全部，部，。裘宗沪教授的这种说法务实求真，与华罗。裘宗沪教授的这种说法务实求真，与华罗庚先生提倡的庚先生提倡的“勤能补拙勤能补拙”是一脉相承的。是一脉相承的。在高考数学备考中，教师引导学生熟悉解题的若干在高考数学备考中，教师引导学生熟悉解题的若干速解技巧、多熟悉几套解题妙招
27、，学生就会对数学学习速解技巧、多熟悉几套解题妙招，学生就会对数学学习增加乐趣、在数学高考中增加胜算。增加乐趣、在数学高考中增加胜算。162.1 函数图象的轴对称和点对称 2012201220122012年年年年4 4 4 4月，上海市七宝中学特级教师文卫星委托我月，上海市七宝中学特级教师文卫星委托我月，上海市七宝中学特级教师文卫星委托我月，上海市七宝中学特级教师文卫星委托我为他点评复习课为他点评复习课为他点评复习课为他点评复习课“函数图像的对称性、周期性函数图像的对称性、周期性函数图像的对称性、周期性函数图像的对称性、周期性”的教学实的教学实的教学实的教学实录录录录,文卫星文卫星文卫星文卫星老
28、师的探究成果与在座的多位教师的探究心得可能老师的探究成果与在座的多位教师的探究心得可能老师的探究成果与在座的多位教师的探究心得可能老师的探究成果与在座的多位教师的探究心得可能不谋而合。不谋而合。不谋而合。不谋而合。思考：若函数图象有两条对称轴，则周期如何？思考：若函数图象有两条对称轴，则周期如何？思考：若函数图象有两条对称轴，则周期如何？思考：若函数图象有两条对称轴，则周期如何？2.1172.2 指数、对数的分隔不等式2.22.2182.3 不 动 点 2.3192.4 平面的截距式法向量 2.4202.5 巧求平均数、方差链接212.6 三 角 法2.6222.7 平面几何帮大忙 链接232
29、.8 居 高 临 下 2.8242.9 先 猜 后 证 2.9252.10(揭秘若干数学高考题的速解诀窍)其它 等等等等积积积积（面积或体积）（面积或体积）（面积或体积）（面积或体积）法法法法，解析法解析法解析法解析法，直观感悟、直观感悟、直观感悟、直观感悟、分类、分类、分类、分类、分析，分析，分析，分析，逆向思维逆向思维逆向思维逆向思维，经典特例经典特例经典特例经典特例，极限化极限化极限化极限化，整体换元整体换元整体换元整体换元，归纳概归纳概归纳概归纳概括括括括，寻找引理寻找引理寻找引理寻找引理（复合函数的反函数、（复合函数的反函数、（复合函数的反函数、（复合函数的反函数、“对勾对勾对勾对勾
30、”函数性质、函数性质、函数性质、函数性质、空空空空间三直角折线、三角形内的向量等式、共轭复数性质、圆间三直角折线、三角形内的向量等式、共轭复数性质、圆间三直角折线、三角形内的向量等式、共轭复数性质、圆间三直角折线、三角形内的向量等式、共轭复数性质、圆的根轴、等等），质疑辟误的根轴、等等），质疑辟误的根轴、等等），质疑辟误的根轴、等等），质疑辟误。2.1026结 语3.027思 考、调 研 题 某董事长的司机和保镖两人某次闲暇时掷硬币猜某董事长的司机和保镖两人某次闲暇时掷硬币猜赢，商约先掷出赢，商约先掷出4 4次正面就归司机赢得全部网络游戏币次正面就归司机赢得全部网络游戏币30003000元，反
31、之先掷出元，反之先掷出4 4次反面就归保镖赢得这些游戏币，次反面就归保镖赢得这些游戏币，掷硬币最少掷硬币最少4 4次、最多次、最多7 7次就可见分晓。正当他们掷出次就可见分晓。正当他们掷出3 3次次正面、正面、2 2次反面时，董事长要这两人陪同去接见外商，两次反面时，董事长要这两人陪同去接见外商，两人受到人受到“再犯就开除再犯就开除”的严厉警告。投掷过程不能了结，的严厉警告。投掷过程不能了结，就委托旁观者肖雪圣为他们分配这就委托旁观者肖雪圣为他们分配这30003000元游戏币。元游戏币。肖雪圣认为，应按肖雪圣认为，应按3 3：2 2为司机和保镖分配这为司机和保镖分配这30003000元元游戏币。游戏币。你是否有改进方案？若没有，请按照肖雪圣的方案你是否有改进方案？若没有，请按照肖雪圣的方案计算司机和保镖各得多少元游戏币；若有，请详述你的计算司机和保镖各得多少元游戏币；若有，请详述你的改进方案及其合理性。改进方案及其合理性。（gandawanggandawang ）28再 见！请大家提出批评意见！请大家提出批评意见！祝大家工作顺利、专业进步、祝大家工作顺利、专业进步、身体健康、家庭幸福！身体健康、家庭幸福！甘大旺的电子邮箱： 29此此课课件下件下载载可自行可自行编辑编辑修改，修改，仅仅供参考！供参考！感感谢谢您的支持，我您的支持，我们们努力做得更好！努力做得更好！谢谢谢谢