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1、解：解：xy450错误做法：错误做法：1 秒钟时的速率：秒钟时的速率：例例 1 1：已知运动方程已知运动方程 x=2 t y=t2求求 及及 1 1 秒时的速率秒时的速率x=-4 时，时，t=2解：解：质点的运动轨道方程为：质点的运动轨道方程为：xyO以及以及 x=-=-4 时时(t 0)粒子的速度、速率、加速度。粒子的速度、速率、加速度。例例2：一质点运动函数为一质点运动函数为(SI)，求质点的运动轨道求质点的运动轨道速度：速度：速率：速率：加速度：加速度：例：己知一质点按顺时针方向沿半径为例：己知一质点按顺时针方向沿半径为R 的圆周运动。的圆周运动。其路程与时间关系为其路程与时间关系为(V
2、0、b 为常数为常数)求求:(1)t 时刻时刻,质点的加速度质点的加速度(2)t=?时时,，此时质点己沿圆周运行了多少圈，此时质点己沿圆周运行了多少圈?(3)质点何时开始逆时针方向运动质点何时开始逆时针方向运动?解解:(1)大小大小:方向方向:mo o.t 时刻路程：时刻路程：(3)(3)由前面由前面a t =-b 可知可知,质点作减速率圆周运动质点作减速率圆周运动。当当 V 减到减到 0 0 值时，质点将终止顺时针转，而值时，质点将终止顺时针转，而开始开始逆时针转。此时刻记为逆时针转。此时刻记为 t 也正是前求也正是前求 a=b 的时刻的时刻 t。例：雨天一辆客车在水平马路上以例：雨天一辆客
3、车在水平马路上以 20 m/s 的速度向东的速度向东 开行，雨滴在空中以开行，雨滴在空中以 10 m/s 的速度垂直下落。的速度垂直下落。求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。解：已知解：已知方向向东方向向东方向向下方向向下所以雨滴相对于车厢的速度大小为所以雨滴相对于车厢的速度大小为 22.4 m/s，方向为南偏西方向为南偏西 。例：一人骑车向东而行，当速度为例：一人骑车向东而行，当速度为10 10 m/sm/s时感到有南风，时感到有南风，速度增加到速度增加到15 15 m/sm/s时，感到有东南风，求风的速度。时，感到有东南风，求风的速度。解：解：xy1
4、0 m/s南风南风45m/s =2715 m/so？考虑：？考虑：在不同的参照系在不同的参照系,对同一质点的运动状态进行描述对同一质点的运动状态进行描述设设 t=0 时，两坐标系原点重合。时，两坐标系原点重合。t 时刻的运动情况如下：时刻的运动情况如下：例：一列车（例：一列车（S 系）系）相对于地面（相对于地面（S系）作匀速直线运动系）作匀速直线运动,一人一人在在 车厢内运动车厢内运动。分别在。分别在 S、S系分别对其进行描述。系分别对其进行描述。S 相对相对 S 平动平动速度为速度为 uA ABrr r0OO xx y yS 系系S 系系u位矢变换关系式位矢变换关系式:两边微分两边微分再对上
5、式求导得再对上式求导得绝对速度绝对速度=相对速度相对速度+牵连速度牵连速度我们能看出什么？我们能看出什么？位移变换关系式位移变换关系式:例：质量都等于例：质量都等于 m m 的二物的二物 A A 和和 B B由两根不可伸由两根不可伸 长的轻绳和两个不记质量的滑轮长的轻绳和两个不记质量的滑轮 I I、II II 连接。连接。求求:A:A、B B 二物的加速度和两绳的拉力。二物的加速度和两绳的拉力。A AB BI IIIIIT T1 1T T2 2a a1 1a a2 2A AmgmgT T1 1a a1 1B BmgmgT T2 2a a2 2T T1 1T T2 2T T2 2解：隔离物体，分
6、别做受力分析：解：隔离物体，分别做受力分析：列动力学方程：列动力学方程：A：mg-T1=ma1B：mg-T2=ma2滑轮滑轮 II：T1=2 T2A、B两物关联两物关联：a2=-2a1求解求解.x xmgmgT T例例 2 2：质量为：质量为 m m 的物体通过不可伸长的轻绳和不记质的物体通过不可伸长的轻绳和不记质 量的滑轮与弹簧（弹性系数量的滑轮与弹簧（弹性系数 k k）连接，初始时刻连接，初始时刻 物体静止，弹簧为原长物体静止，弹簧为原长,让物体自由下落。让物体自由下落。求求:物体的速度随位置变化的关系。物体的速度随位置变化的关系。解：解：mg-T=ma列动力学方程：列动力学方程：T=kx
7、解解:二维空间的变力情况。二维空间的变力情况。(1)选选 m 为研究物体；为研究物体；(3)分析受力分析受力(2)建坐标建坐标 xoy；vx 0=v0 cos vy 0=v0 sin 初始条件：初始条件：t=0 时时x=0，y=0 xyo o m例：有阻力的抛体问题：例：有阻力的抛体问题：质量为质量为 m 的炮弹，以初速度的炮弹，以初速度 v0 与水平与水平 方向成仰角方向成仰角 射出。射出。若空气阻力与速度成正比若空气阻力与速度成正比，即即求求:运动轨道方程运动轨道方程 y(x)=?)=?(4)列方程列方程:分量方程分量方程分离变量分离变量分别积分分别积分(5)解方程解方程:消去消去 t，得
8、轨道方程：得轨道方程：再次积分再次积分得得得得例例 ：一一根根不不可可伸伸长长的的轻轻绳绳跨跨过过固固定定在在 O 点点的的水水平平光光滑滑细细杆杆，两两端各系一个小球。端各系一个小球。a球放在地面上，球放在地面上，b 球被拉到球被拉到水平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将水平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将 b 球球自静止释放。设两球质量相同。自静止释放。设两球质量相同。求：求：(1)b 球下摆到与竖直线成球下摆到与竖直线成 角时的角时的 v ；(2)=?=?a 球刚好离开地面。球刚好离开地面。aOb(1)B的运动：的运动：解：解：aOb选选自然坐标系自然坐标系列分量方程：列分量方程：a 球离
9、开地面前球离开地面前 b 做半径为做半径为 lb 的竖直的竖直圆周运动圆周运动。由切向方程式得：由切向方程式得：(2)a 的受力和的受力和运动：运动：mgNT当当 T=mg 时，时，a 球刚好离地。球刚好离地。由法向方程式得：由法向方程式得：例例 5：一一匀匀质质细细绳绳，质质量量 m，长长 L，一一端端固固定定在在 O，另另一一端端有有一一 质量为质量为 M 的小球，其在光滑水平面上以的小球，其在光滑水平面上以 绕绕 O 点旋转。点旋转。求求:绳上各点的张力。绳上各点的张力。LOM 隔离物体法分析绳上一小段隔离物体法分析绳上一小段 dm 的受力的受力解解 I：r rr rr+r+r rL L
10、T(rT(r)T(r+T(r+r r)绳上张力是距绳上张力是距 O 点距离点距离 r 的函数的函数:T(r)动力学方程：动力学方程：求解求解每点（无限小，每点（无限小，m-0）合张力为合张力为0.解解 II：绳某点绳某点 r 的张力可理解为此点以外各小段分别所受向心力的代的张力可理解为此点以外各小段分别所受向心力的代数和。数和。微元微元 r r:r+r+r r r rr ri ir rr rr rL LT(rT(r)牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律建立坐标系，取建立坐标系，取 r 处处 dr 长的一微元，其作圆周运动所需向心力为：长的一微元，其作圆周运动所需向心力为：总向心力为
11、：总向心力为：例例：质质量量为为M，倾倾角角为为 的的斜斜面面放放在在光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，斜斜面面光光滑滑，长长为为l，斜斜面面顶顶端端放放一一个个质质量量为为m的的物物体体，开开始始时时斜斜面面和和物物体体都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。其中其中 maM 就是惯性力。而就是惯性力。而 mg 和和 N 是真实力。是真实力。分析物体受力分析物体受力物体相对于斜面有物体相对于斜面有沿斜面方向的加速度沿斜面方向的加速度a 解：以斜面为参考系解：以斜面为参考系(非惯性系），非惯性系），maMNmg当当 m 滑下时，滑下时
12、，M 加速度方向如图：加速度方向如图：aM垂直于斜面方向垂直于斜面方向:N-mgcos+maMsin=0 分析分析M(相对惯性相对惯性系系)运动，运动，水平方向水平方向：N sin=M aM由此解得相对加速度由此解得相对加速度 a=(m+M)sin g/(M+msin2)列方程列方程:沿斜面方向沿斜面方向:mgsin+maMcos=ma方向方向例：水桶以例：水桶以 旋转，求水面形状？旋转，求水面形状？解：水面解：水面 z 轴对称，选柱坐标系。任选轴对称，选柱坐标系。任选水面一小质元，其在切线方向静止。水面一小质元，其在切线方向静止。r rz 在旋转参考系中，做受力分析：在旋转参考系中，做受力分
13、析：mgmr 2N N切线方向：切线方向：抛物线方程抛物线方程解：解：(1)例例:已知已知 m 在水平面内作半径为在水平面内作半径为 R 的匀速率圆运动，的匀速率圆运动，(R,v)已知，已知，求：求：(1)(1)A 到到 B 时动量的改变，时动量的改变，(2)(2)A 到到 B 时向心力平均值及方向。时向心力平均值及方向。xOyAB (2)建坐标系，建坐标系，规定正方向规定正方向解：子弹解：子弹 m 在枪内在枪内水平水平只受力只受力 F(t)，加速时间加速时间 0 t(N)(N)例例:已知子弹在枪筒内受到推进力已知子弹在枪筒内受到推进力 x x0tO 其加速过程其加速过程 v0=0 到到 v=
14、300 m/s 求：子弹质量求：子弹质量 m=?=?子弹在枪筒内加速时间子弹在枪筒内加速时间 t=?h1 h2y例：一质量例：一质量 m=1010-3 kg 的小球，从的小球，从 h1=0.256 m 的的高处由静高处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度 h2=0.196 m，接触接触时间时间,求小球和桌面碰撞时对桌面的冲量是多少？若接触时间求小球和桌面碰撞时对桌面的冲量是多少？若接触时间为为(1)=0.01s，(2)=0.002s,试求小球对桌面的平均冲力。试求小球对桌面的平均冲力。解解 I：mgNmv1mv2(N mg)=mv2(mv1)小球和桌面碰
15、撞时对桌面的冲量小球和桌面碰撞时对桌面的冲量I=N =mg +=0.01 sI=4.3102 NSN=4.3(N)=0.002 sI=4.22102 NSN=21.1(N)重力的重力的40多倍多倍重力的重力的200多倍多倍小球自重（小球自重（0.1N)利用冲量定理解题时利用冲量定理解题时利用冲量定理解题时利用冲量定理解题时一般可忽略物体自身一般可忽略物体自身一般可忽略物体自身一般可忽略物体自身重力产生的冲量。重力产生的冲量。重力产生的冲量。重力产生的冲量。解解 II：将动量定理应用于整个过程将动量定理应用于整个过程设下落时间为设下落时间为 t1,上升时间为上升时间为 t2,N mg(t1+t2
16、)=0I=N =mg(t1+t2)h1 h2ymgN例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为 m 和和 M 的物体，的物体，M m,M 静止在地面，当静止在地面，当 m自由下落自由下落 h 后，绳子被拉紧，后，绳子被拉紧，M 刚好离开地刚好离开地面，面，求绳子刚拉紧时，求绳子刚拉紧时，m 和和 M 的速度及的速度及 M 能上升的最大高度。能上升的最大高度。Mmh解：解：m 自由下落自由下落h后速度后速度Tmgmv0mvmpTMgMvMpym:M:vm=vM=vmg T=m aT Mg=M aM 匀减速运动匀减速运动0=v22aHRyxCo解：解：dm=l dl l=
17、m/(R)例例:求均匀半圆铁环的质心（半径为求均匀半圆铁环的质心（半径为R）.d 由对称性由对称性:xC=0,取长度为取长度为 dl 的一段铁丝的一段铁丝,以以 l 表示线密度表示线密度dldm例：例：弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算 m 由由 x1 x2 弹性力的功。弹性力的功。x1x2x 0m由由此此式式可可见见,弹弹力力的的功功只只与与小小球球的的初初末末位位置置有有关关,而而与与移移动动的的中中间间过过程程无无关关,例例如如若若先先将将 m 从从 x1 点点向向右右拉拉伸，然后再压缩至伸，然后再压缩至 x2 点点,弹力的功仍为上式弹力的功仍为
18、上式hh1h2ab解：解：m 受力和重力方向如图，受力和重力方向如图，例：例：m 沿曲线由沿曲线由a b,求重力的功求重力的功 i img与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起起 末位置，末位置，与中间过程无关与中间过程无关。h0h1解：解：建立如图所示建立如图所示 h 坐标系，取离坐标系，取离地面地面 h 处处厚度为厚度为 dh 的一层水。的一层水。将这层水吸到地面需克服重力所作元功为：将这层水吸到地面需克服重力所作元功为：hdhh0例：例：地下贮水池横截面地下贮水池横截面 S，池贮水深度池贮水深度 h1，水平面与地水平面与地面间距面间距
19、h0。求：将池中水全部吸到地面所需作功求：将池中水全部吸到地面所需作功 A。思路：思路：思路：思路：将池中水全部吸到地面所需作将池中水全部吸到地面所需作将池中水全部吸到地面所需作将池中水全部吸到地面所需作 总功总功总功总功等于将等于将等于将等于将每一层水吸到地面每一层水吸到地面每一层水吸到地面每一层水吸到地面 所需元功所需元功所需元功所需元功的的的的代数和代数和代数和代数和。总功：总功：例：例：长度为长度为 L、质量为质量为 M 的均匀链条，置于水平光滑桌面上。的均匀链条，置于水平光滑桌面上。开始时，有少部分链条（长度为开始时，有少部分链条（长度为a）下垂在桌外。在重力作用下，下垂在桌外。在重
20、力作用下，链条下落。链条下落。求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v=?解解:建立坐标系建立坐标系,下端点坐标为下端点坐标为 x 时时a L，M光滑光滑0axx思路：思路：思路：思路：链条下落是重力做功的结果，链条下落是重力做功的结果，链条下落是重力做功的结果，链条下落是重力做功的结果，当下落长度变化时当下落长度变化时当下落长度变化时当下落长度变化时,重力大小重力大小重力大小重力大小也变化，因此为也变化，因此为也变化，因此为也变化，因此为变力做功变力做功变力做功变力做功。下落部分下落部分所受重力为：所受重力为：在此下落部分在此下落部分重力作用下链条向下运动重力
21、作用下链条向下运动 dx 所作所作元功元功：总功总功由动能定理由动能定理例例:质量为质量为 m 的小球经长为的小球经长为 l 的摆线悬挂于固定点的摆线悬挂于固定点 O，开始时把小球拉到水平位置开始时把小球拉到水平位置,并自由释放并自由释放，求摆线下摆角为求摆线下摆角为 0 时小球的速率时小球的速率 v。O 0lABdr d mgT解解：外外力力为为绳绳子子张张力力和和重重力力，绳绳子子张张力力始始终终与与位位移移垂垂直直，不作功。不作功。mg l sin 0=mvB2 0 由动能定理由动能定理例例1 1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量三、几种典型刚体的转动惯
22、量三、几种典型刚体的转动惯量RmCdm相当于质量为相当于质量为 m 的质点对轴的的质点对轴的 J如果在如果在 R R 处有一质量为处有一质量为 M M 的均匀圆环与此圆环轻的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：例例2 2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量RmCdJ=r2 dm解：在圆盘上取解：在圆盘上取 r r 处处 d dr r 宽的一圆环，其宽的一圆环，其 转动惯量为：转动惯量为：思路：思路：,圆盘对中轴转动惯量可看圆盘对中轴转动惯量可看 成圆盘上成圆盘上分割出的无数圆环对中轴分割出的无数圆
23、环对中轴 转动惯量的代数和转动惯量的代数和。rdrCr比比 R R 处质量为处质量为 m m 的均匀圆的均匀圆环中轴的转动惯量小环中轴的转动惯量小如果在圆盘上离中心周距离为如果在圆盘上离中心周距离为 R R 处放一质量为处放一质量为 M M 的物体，此系统对中心轴的转动惯量为：的物体，此系统对中心轴的转动惯量为：例例3 3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量CAmL2L2xdxx0对质心轴对质心轴，建立如图坐标系，建立如图坐标系，取取 x 处处 dx 小段：小段：利用平行轴定理：利用平行轴定理：例：例：求均匀圆盘对于通过其边缘一点求均匀圆盘对于通过其边缘
24、一点 O 的平行轴的平行轴的转动惯量的转动惯量:R C mO利用平行轴定理：利用平行轴定理：得：得：问题：问题：问题：问题：一质点相对于一转轴有无转动惯量？一质点相对于一转轴有无转动惯量？一质点相对于一转轴有无转动惯量？一质点相对于一转轴有无转动惯量？问题：问题：问题：问题：转动系统的转动贯量是否会变？转动系统的转动贯量是否会变？转动系统的转动贯量是否会变？转动系统的转动贯量是否会变？例：某飞轮直径例：某飞轮直径 d=50 cm,绕中心垂直轴转动，转动绕中心垂直轴转动，转动惯量惯量 J=2.4 千克千克米米2,转速转速 n0=1000 转转/分，若制动分，若制动时闸瓦对轮的压力为时闸瓦对轮的压
25、力为 N=50千克力，闸瓦与轮间的滑动千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数摩擦系数 =0.4。问：制动后飞轮转过多少圈停止？问：制动后飞轮转过多少圈停止？fd解：解：(1)求求 （2）求圈数求圈数例例 2：如图，设滑块：如图，设滑块 A，重物重物 B及滑轮及滑轮 C 的质量分别为的质量分别为 MA，MB，MC。滑轮滑轮 C 是半径为是半径为 r 的均匀圆板。滑块的均匀圆板。滑块 A 与与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。求无滑动。求:（1）滑块滑块 A 的加速度的加速度 a （2）滑块滑块 A 与滑轮与滑轮 C 之间绳的张力之间
26、绳的张力 T1，（3）滑轮滑轮 C 与重物与重物 B 之间绳的张力之间绳的张力 T2。ABCT2 MCg T1 N解：解：T1MAgNAT2MBgB解方程得：解方程得：T2 MCg T1 NT1MAgNAT2MBgB例例3:己知：质量为己知：质量为 m、径为径为 R 的均匀圆盘。初角速度的均匀圆盘。初角速度 ,绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度正比其线速度,即即 。不计轴承处的摩擦。不计轴承处的摩擦。求：圆盘在停止转动时所转过的圈数求：圆盘在停止转动时所转过的圈数 N=?=?m O解：解：用积分法求力矩：在圆盘上选取
27、半用积分法求力矩：在圆盘上选取半径为径为 r、宽度为宽度为 dr 的圆环，圆环的圆环，圆环上的质元具有相同的线速度上的质元具有相同的线速度 v。则作用到圆环上的元阻力大小为则作用到圆环上的元阻力大小为:rdS思路：思路：思路：思路：变力矩问题，应用转动定理，积分求解；变力矩问题，应用转动定理，积分求解；变力矩问题，应用转动定理，积分求解；变力矩问题，应用转动定理，积分求解；力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：总阻力矩
28、总阻力矩利用刚体定轴转动定律利用刚体定轴转动定律分离变量，并积分：分离变量，并积分：例例 4：均匀直杆均匀直杆 M，长为长为 l，其一端挂在一个水平光滑其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一子弹轴上而静止在竖直位置。一子弹质量为质量为 m，以水以水平速度平速度 v0 射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起运动时的角速度。运动时的角速度。解解:考虑考虑以以子弹和杆组成的子弹和杆组成的系统，所受外力系统，所受外力（重力和轴支持力）对转轴的力矩为零，（重力和轴支持力）对转轴的力矩为零，角动量守恒角动量守恒:mM lv0 问题：问题：问题：问题：如果不是杆，而是用
29、绳悬挂一重物如果不是杆，而是用绳悬挂一重物如果不是杆，而是用绳悬挂一重物如果不是杆，而是用绳悬挂一重物 MM，碰撞过程中是什么守恒？为什么？碰撞过程中是什么守恒？为什么？碰撞过程中是什么守恒？为什么？碰撞过程中是什么守恒？为什么？注意注意质点对轴的角动量的表达方式质点对轴的角动量的表达方式:例例5：质量为：质量为M，半径为半径为 R 的水平放置的均匀园盘，以的水平放置的均匀园盘，以角速度角速度 1 绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为面内转动时，有一质量为 m 的小物块以速度的小物块以速度 v 垂直落垂直落在园盘的边沿上，并粘在盘上
30、，求：（在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在）小物块粘在盘上后，盘的角速度盘上后，盘的角速度 2=？（？（2）小物块在碰撞过程小物块在碰撞过程中受到的冲量中受到的冲量 I 的方向及大小。的方向及大小。mvRM 解解:(1)以以 m,M为一个系统，过程中为一个系统，过程中其其 所受合外力矩为零，角动量守恒所受合外力矩为零，角动量守恒碰前碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零。对轴的角动量为零，但其动量不为零。（2）求求 I 应用动量定理应用动量定理碰撞前后碰撞前后 m 动量方向不同，分方向讨论。动量方向不同，分方向讨论。讨论：讨论：1）碰撞过程中动能是否守恒？）碰撞过程中动能是否守恒
31、？2）角动量守恒时，动量不一定守恒。角动量守恒时，动量不一定守恒。方向向上方向向上方向沿切线方向沿切线解：杆解：杆地球系统，地球系统，+只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。守恒。初始：初始：Ek1=0，令令 Ep1=0例例6 6：均匀直杆：均匀直杆 m，长为长为 l，初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑，AO=l/4。求杆下摆求杆下摆 角后，角速度角后，角速度 =?=?轴对杆作用力轴对杆作用力 N=?=?末态：末态：则：则：由平行轴定理由平行轴定理解解得：得：另解（功能定理）：另解（功能定理）：应用质心运动定理：应用质心运动定理：解解得：得：解：解：例例 7：如图，一匀质圆盘可在竖直平
32、面内绕光滑的中心：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m 的粘土块从的粘土块从 h 高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：之后一起转动。已知：M=2m,=600求：求：(1)碰撞后瞬间盘的碰撞后瞬间盘的 0=?(2)P 转到转到 x 轴时的轴时的 =?=?（1）m 自由下落自由下落碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m+盘系统，冲盘系统，冲力远大于重力，故重力对力远大于重力，故重力对O力矩可力矩可忽略，忽略，角动量守恒角动量守恒：动量不守恒？动
33、量不守恒？对对m+M+地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功，E守恒守恒，（2）P、x 重合时重合时EP=0。令令smMRkm1 h例例8：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连，另一端与质量为端与弹簧相连，另一端与质量为 m 的物体相连，弹簧的物体相连，弹簧另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止状态，此时一质量为状态，此时一质量为 m1 的小物块从的小物块从 h 高度处自由落下，高度处自由落下，与与 m 碰撞后粘在一起。求：碰撞后粘在一起。求：m 下降的最大位移下降的
34、最大位移 s。解：解：自由落体，碰时角动量守恒，自由落体，碰时角动量守恒，碰后机械能守恒碰后机械能守恒最大位移最大位移 sl,mv0m例例 1：一光滑水平面上静放一长为：一光滑水平面上静放一长为 l，质量为质量为 m 的细直杆，今有一的细直杆，今有一质量也为质量也为 m 的质点，在与杆垂直的方向上以的质点，在与杆垂直的方向上以 v0 运动，并在杆的一运动，并在杆的一端和杆发生完全非弹性碰撞，求端和杆发生完全非弹性碰撞，求(1)碰后质心的速度和转动的角速碰后质心的速度和转动的角速度；度；(2)碰撞过程中损失多少机械能。碰撞过程中损失多少机械能。解解(1)碰碰前后前后动量守恒动量守恒，思路：考虑质
35、点和杆组成的系统思路：考虑质点和杆组成的系统思路：考虑质点和杆组成的系统思路：考虑质点和杆组成的系统（质点系）（质点系）（质点系）（质点系）碰撞时水平方向有无外力？碰撞时水平方向有无外力？水平方向无外力，故水平方向无外力，故质点系动量守恒。质点系动量守恒。质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？无，无，惯性系中质心角动量守恒。惯性系中质心角动量守恒。碰前后碰前后角动量守恒角动量守恒，对质心：对质心：(2)碰碰前后损失机械能为：前后损失机械能为：例例 2：半径为半径为 R 质量为质量为 m 的均匀实心圆柱体，沿倾角为的均匀实心圆柱体，沿倾角为 的斜面的斜面无滑
36、动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。解解:对质心的平动对质心的平动，刚体的刚体的刚体的刚体的滚动滚动滚动滚动可看作随可看作随可看作随可看作随质心平动质心平动质心平动质心平动和刚体和刚体和刚体和刚体绕质绕质绕质绕质心轴转动心轴转动心轴转动心轴转动的两运动的叠加。平动满足的两运动的叠加。平动满足的两运动的叠加。平动满足的两运动的叠加。平动满足质心质心质心质心运动定理运动定理运动定理运动定理，转动满足转动满足转动满足转动满足转动定律转动定律转动定律转动定律。对对对对纯滚动纯滚动纯滚动纯滚动，满足，满足，满足，满足 v vc c=R R，a ac c
37、=R=R ，即即即即滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬时速度为零，该线为时速度为零，该线为时速度为零，该线为时速度为零，该线为瞬时转轴。瞬时转轴。瞬时转轴。瞬时转轴。mgfN对绕质心的转动对绕质心的转动，刚体的刚体的刚体的刚体的滚动滚动滚动滚动可看作刚体随可看作刚体随可看作刚体随可看作刚体随质心平动质心平动质心平动质心平动和和和和绕质绕质绕质绕质心轴转动心轴转动心轴转动心轴转动的两运动的叠加。平动满足的两运动的叠加。平动满足的两运动的叠加。平动满足的两运动的叠加。平动满足质心质心质心质
38、心运动定理运动定理运动定理运动定理，转动满足转动满足转动满足转动满足转动定律。转动定律。转动定律。转动定律。在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律？力学总结力学总结力学总结力学总结滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动
39、动能怎么表达？此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？刚体的纯滚动可以看做是刚体的纯滚动可以看做是绕瞬时轴的转动绕瞬时轴的转动，如果，如果支撑面支撑面是固定在是固定在惯性系惯性系上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。纯滚动纯滚动中刚体与支撑面中刚体与支撑面接触处的速度为零接触处的速度为零，作用于刚体的为，作用于刚体的为静摩擦静摩擦力，不做功力，不做功，机械能守恒。滚动动能为：，机械能守恒。滚动动能为：定轴定轴ORthmv0=0绳绳解：解：轮与轮与 m 为联结体为联结体，轮为定轴轮为定轴 转动、转动、m
40、 为平动，二者用绳联系起来。为平动，二者用绳联系起来。m 的速的速度大小与轮边缘线速度大小相等。度大小与轮边缘线速度大小相等。mgT =-Tm例例 3.己己知知：定定滑滑轮轮为为均均匀匀圆圆盘盘，其其上上绕绕一一细细绳绳，绳绳一一端端固固定定在在盘盘上上，另另一一端端挂挂重重物物 m。绳绳与与轮轮无无相相对对滑滑动动，绳绳不不可可伸伸长长。轮轮半半径径 R=0.2m，m=1kg,m 下下落落时时间间 t=3 s，v0=0,h=1.5 m。求：轮对求：轮对 O 轴轴 J=?=?=aR(3)hat=122(4)求解求解T恒定恒定例例4：转台绕过质心的铅直轴转动：转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为
41、初角速度为 0 ,转台转台对此轴的转动惯量对此轴的转动惯量 J=5 10-5(kgm2),今有砂粒以每秒今有砂粒以每秒 1 g 速率垂直落在转台上速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴砂粒落点距轴 r =0.1m,求砂求砂粒落在转台上粒落在转台上,使转台角速度减为使转台角速度减为 0/2 所需时间所需时间?o解：解：例例5：已知圆盘半径为：已知圆盘半径为 R，质量为质量为 M，在垂直平面内可在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为倔强系数为k的弹簧和质量为的弹簧和质量为 m 的物体，设轮轴光滑，的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，
42、绳与轮间无相对滑动，今用手托住绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住 m 使弹使弹簧保持原长，然后静止释放。求簧保持原长，然后静止释放。求（1）m 下落下落 h 距离时距离时的速度。（的速度。（2）弹簧的最大伸长量。）弹簧的最大伸长量。解：解：取取 m+M+绳绳+弹簧弹簧+地地球为一系统球为一系统hmMRk外力：外力：轴承支承力和地面对弹轴承支承力和地面对弹 簧的支承力功为零。簧的支承力功为零。内力：重力，弹性力为保守力内力：重力，弹性力为保守力 绳不伸长，张力功为零。绳不伸长，张力功为零。绳与轮间无相对滑动，绳与轮间无相对滑动，摩擦力功为零。摩擦力功为零。系统机械能守恒系统机械能守恒1 1
43、 薄圆环对中心轴的转动惯量薄圆环对中心轴的转动惯量三、几种典型刚体的转动惯量三、几种典型刚体的转动惯量相当于质量为相当于质量为 m 的质点对轴的的质点对轴的 J如果在如果在 R R 处有一质量为处有一质量为 M M 的均匀圆环与此圆环轻的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：2 2 细圆环对任意切线的转动惯量细圆环对任意切线的转动惯量平行轴定理平行轴定理垂直轴定理垂直轴定理3 3 圆柱体对柱体轴线的转动惯量圆柱体对柱体轴线的转动惯量薄片的转动惯量薄片的转动惯量圆柱体对柱体轴线的转动惯量圆柱体对柱体轴线的转动惯量4 4 圆柱环对柱体轴线的转动惯量圆柱环对柱体轴线的转动惯量细环的转动惯量细环的转动惯量圆柱环对柱体轴线的转动惯量圆柱环对柱体轴线的转动惯量5 5 细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量对质心轴对质心轴，建立如图坐标系，建立如图坐标系，取取 x 处处 dx 小段：小段：CAmL2L26 6 实圆柱体对中心直径的转动惯量实圆柱体对中心直径的转动惯量任取与中心直径相距为任取与中心直径相距为 x 的薄圆片的薄圆片平行轴平行轴7 7 实球体对任意直径的转动惯量实球体对任意直径的转动惯量8 8 薄球壳对任意直径的转动惯量薄球壳对任意直径的转动惯量