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1、计算方法非线性方程计算方法非线性方程求解求解2 二分法二分法 原理：原理：若若 f Ca,b，且，且 f(a)f(b)0，则，则 f 在在(a,b)上必上必有一根。有一根。abx1x2abx*2xx*误差分析：误差分析：第第1步产生的步产生的有误差有误差第第 k+1 步产生的步产生的 xk 有误差有误差 对于给定的精度对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数可估计二分法所需的步数 k：优点：优点：简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).缺点：缺点：无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。迭代法是一种重要的逐次逼
2、近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。2 迭代法迭代法等价变换为的不动点由此也称为不动点迭代法，迭代法的一般形式：,.迭代公式若 收敛，即存在 x*使得 ，且 连续，则由 可知 ，即 是 的不动点，也就是f 的根。从一个初值 出发，计算xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)(I)当当 x a,b 时，时，(x)a,b；(II)0 L 1 使得使得 则任取则任取 x0 a,b，由，由 xk+1=(xk)得到的
3、序列得到的序列 收敛收敛于于 (x)在在a,b上的唯一不动点。并且有误差估计式：上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,)k考虑方程考虑方程 x=(x),(x)Ca,b,若若定理定理1注2注1 不动点唯一不动点唯一反证：若不然，设还有反证：若不然，设还有 ，则，则而而 当当k 时，时，xk 收敛到收敛到 x*？令令有根有根证明：证明：(x)在在a,b上存在不动点上存在不动点连续注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：两个迭代值组合的方法：三个迭代值组合的方法：xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,y0)y0 z0P(y0,z0)3 牛顿法牛顿法引入：引入：将非线性方程线性化将非线
4、性方程线性化 Taylor 展开展开取取 x0 x*，将将 f(x)在在 x0 做一阶做一阶Taylor展开展开:，在在 x0 和和 x 之间。之间。将将(x*x0)2 看成高阶小量，则有：看成高阶小量，则有：xyx*x0（f C1，f(x*)0）单根情形定理定理1 （收敛的充分条件收敛的充分条件）设）设 f C2a,b，若，若(1)f(a)f(b)0；则则Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 收敛到收敛到f(x)在在 a,b 的的唯一根。唯一根。定理定理2 （局部收敛性局部收敛性）设）设 f C2a,b，若，若 x*为为 f(x)在在a,b上的根，且上的根，且 f(x*)0
5、，则存在，则存在 x*的邻域的邻域 使得任取初值使得任取初值 ，Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 收敛到收敛到x*，且满足，且满足证明：证明：Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代事实上是一种特殊的不动点迭代 其中其中 ，则，则收敛收敛由由 Taylor 展开：展开：只要只要 f(x*)0，则令，则令 可得结论。可得结论。定理定理3 （全局收敛性定理）设（全局收敛性定理）设 f C2a,b，若，若(1)f(a)f(b)0；(2)在整个在整个a,b上上 f(x)0,f”(x)0；(3)则则任取任取x0 a,b，Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 都都 收敛到收敛到f(x)=0 在在 a,b的根的根x*。重根情形原理：原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使|f|减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 。xkxk+1求复根求复根 Newton 公式中的自变量可以是复数记 z=x+i y,z0 为初值，同样有设代入公式，令实、虚部对应相等，可得4 5