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1、第3章 线性系统的时域分析法典型输入信号与时域性能指标一阶、二阶、高阶系统分析稳定性与代数判据控制系统的稳态误差线性系统的时域分析法是指在时间域中研究系统的运动规律，对控制系统输入一个给定信号，通过研究系统时间响应来分析系统的稳定性、动态性能和稳态精度。从数学上看，时域分析法表现为求微分方程的时间解，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。虽然时域分析法可以得出系统的时间响应，但是却难以判断系统结构和参数对动态性能的影响，不便于设计控制系统。特别是当系统的阶次较高时，分析的工作量较大，往往需要借助计算机才能确定其性能指标，工程上常将高阶系统简化近似为一阶或二阶系统进行分析。3.1
2、 典型输入信号与时域性能指标典型输入信号及其拉氏变换稳态响应和动态响应时域性能指标3.1.1 典型输入信号及其拉氏变换控制系统的输入信号一般具有随机性，无法预先知道，为便于分析和设计控制系统，我们选定一些基本的输入信号形式，称之为典型输入信号，用以评价和比较控制系统的性能，并可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。1.阶跃信号阶跃（位置）信号定义为A-幅值（强度）常数。阶跃是一个瞬间突变的信号，若A=1，称为单位阶跃信号，用1(t)表示。阶跃信号的拉氏变换为n恒值系统，相当于给定值突然变化或者扰动量突然变化；n对于随动系统，相当于加入一个突变的给定位置信号，如电动机负荷的突然改变、阀门的突然开关
3、、电源的突然开关等均可视为阶跃信号输入。t=0时突加一个不变信号2.斜坡信号斜坡（速度）信号的定义为A-斜率常数。特点：由零值开始随时间增加而线性增加，其导数即为阶跃信号。当A=1时，称为单位斜坡信号，记为 t1(t)。斜坡信号的拉氏变换为斜坡信号相当于随动系统中加入一个按恒速变化的位置信号，如跟踪通信卫星的天线控制系统、数控机床加工斜面时的进给系统、大型船闸的匀速升降系统等。输入信号随时间逐渐变化的控制系统的输入均可视为斜坡函数。单位阶跃信号经常作为统一的典型输入信号，对各种控制系统的特性进行比较和研究。单位斜坡函数是考察系统对等速率信号跟踪能力时的实验信号。3.抛物线信号抛物线（加速度）信
4、号的定义是A-加速度常数。特点：随时间增加以等加速度增加，其一阶导数为斜坡信号，二阶导数为阶跃信号。当 A=1时，称为单位抛物线信号。抛物线信号的拉氏变换为n常用于考察系统机动跟踪能力时的试验信号。n如宇宙飞船控制系统等的典型输入即可选抛物线信号。4.脉冲信号理想单位脉冲信号定义理想单位脉冲信号在时间轴上的积分面积，或称为脉冲强度为1，幅值为无穷大。理想脉冲信号难以实现。工程上用实际脉冲信号来近似。实际脉冲信号可视为一个持续时间极短的信号，其数学表达式为A为常数，当A=1时，称为单位脉冲信号，是一个宽度为，高度为1/的矩形脉冲，当0时，就得到理想的单位脉冲函数(t)。其拉氏变换为理想单位脉冲信
5、号是一个重要的数学工具。一些持续时间极短的脉冲信号，可视为理想脉冲信号。如风力发电机系统受到阵风的作用，脉动电压信号、冲击力、大气湍流等都可视为脉冲信号，也常用单位脉冲信号考察系统在脉冲扰动后的恢复过程。5.正弦信号定义A-幅值，-角频率。控制工程中常利用正弦信号作为输入信号，当输入频率发生变化时，就可以求得系统在不同频率输入作用下的输出响应，这种响应称为频率特性。幅值 A=1 的正弦信号，其拉氏变换为当输入信号具有周期变化特性时，可采用正弦函数作为典型输入信号。如机车设备上受到的振动力、伺服振动台的输入信号、电源及机械振动噪声等。典型输入信号选取，需要考虑以下方面：信号的形式应尽可能接近系统
6、在工作过程中的常见外加信号；形式上应尽可能简单，以便于分析处理；选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号为典型输入信号。3.1.2 稳态响应和动态响应1.稳态响应当控制系统的输入和扰动都恒定不变，被控变量也恒定不变时的状态称为稳态（静态、平衡态）。稳态响应也称为稳态过程，是指系统在典型输入信号的作用下，当时间 t 趋近于无穷大时（t），系统的输出响应状态。n反映了系统输出量最终复现输入量的程度即控制精度n工程上只讨论典型输入信号加入一段有限时间后的稳态过程2.动态响应n动态响应也称为暂（瞬）态响应或过渡过程，是指系统在典型输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。n由于实际
7、的控制系统大多存在惯性、阻尼及其它一些因素，系统的输出量不可能完全复现输入量的变化，动态过程曲线可能出现衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。n一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，或者说系统必须是稳定的。动态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性称为系统的动态性能。3.1.3 时域性能指标1.稳态性能指标稳态误差是控制系统重要的静态指标。当时间 t 趋于无穷大时，若系统的实际值不等于期望值，则系统存在稳态误差，其定义是 e(t)为偏差信号当稳态误差足够小以至于可忽略不计时，可认为系统的稳态误差为零，并称为无差系统；而稳态误差不为零的系统称为有差系统。稳态误差描述了进入稳态后，输出
8、的实际值与期望值（参考输入）的差值，是控制系统精度的一种度量。2.动态性能指标稳定的控制系统在单位阶跃信号作用下，动态过程随时间 t 变化的指标，称为动态性能指标。1）上升时间 tr上升时间是指单位阶跃响应第一次达到稳态值的时间，用 tr 表示。上升时间反映了系统的响应速度。上升时间越短，响应速度越快。2）延迟时间 td延迟时间是指单位阶跃响应第一次达到稳态值的50%所需的时间，用 td 表示。衰减振荡类型3）峰值时间 tp峰值时间是指单位阶跃响应超过其稳态值并到达第一个峰值所需的时间，用 tp 表示。4）最大超调量%最大超调量简称超调量，是单位阶跃响应的最大值 cmax（即最大偏离量c(tp
9、)）与稳态值c()的差与稳态值的百分比，用%表示，即若对于 t 0，恒有cmax c()，则单位阶跃响应无超调。最大超调量简称为超调量。5）调节时间ts调节时间是指当c(t)和c()之间误差达到规定的允许值（一般取c()的5%或2%为允许误差范围，称之为误差带，用表示。），且以后不再超过此值所需的最小时间，用ts表示。调节时间又称为过渡过程时间或暂态过程时间。工程上一般认为，当tts时，响应为动态过程。当tts后，响应进入了稳态过程。6）振荡次数N振荡次数是指在0tts时间内，单位阶跃响应c(t)穿越其稳态值c()次数的一半，定义为振荡次数，用N 表示。单调上升类型3.2 一阶系统分析一阶系统
10、的单位阶跃单位斜坡响应单位加速度响应单位脉冲响应由一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统，它是工程中最基本、最简单的系统。典型的一阶系统数学模型为一阶微分方程-时间常数时间常数，表征系统惯性的大小（量纲为时间秒）。由图3-4可得系统的闭环传递函数为为便于分析，均假设系统初始状态为零。3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入信号 r(t)=1(t)的拉氏变换为输出的拉氏变换整理可得上式取拉氏逆变换，得其单位阶跃响应为 响应是一条初始值为零、以指数规 律上升到终值c()=1的曲线与输出值c(t)的对应关系为t=T,c(T)=0.632 t=2T,c(2T)=0.865 t=3T,c(3T)=
11、0.950t=4T,c(4T)=0.982 单调上升的指数曲线，无振荡;稳态误差ess=03.2.2 一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入信号r(t)=t 的拉氏变换为输出的拉氏变换为 取拉氏逆变换可得稳态误差ess=T 响应曲线单调上升3.2.3 一阶系统的单位加速度响应单位加速度输入信号 r(t)=t2/2 的拉氏变换为输出的拉氏变换取拉氏逆变换，可得一阶系统的单位加速度响应为稳态误差 ess=，所以，一阶系统不能跟踪加速度信号3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲信号r(t)=(t)，其拉氏变换为R(s)=1，输出的拉氏变换为上式取拉氏逆变换，可得一阶系统的单位脉冲响应为特点：p按指数
12、规律单调下降，初值最大c(0)=1/T，终值最小c()=0。pT 越大，响应曲线下降越慢。p初始斜率为-1/T2，T 越小，响应的初始下降速度越快。一阶系统对典型输入信号的响应由上表可得线性定常系统具有的一个重要特性，即系统对输入信号导数的响应，可以通过系统对输入信号响应的导数来确定，而系统对输入信号积分的响应，等于系统对输入信号相应的积分，积分常数由零输入时的初始条件确定。值得指出的是，线性时变系统和非线性系统则不具有这个特性。例3-1 已知系统结构图如图所示，求该系统单位阶跃响应的调节时间ts；如果要求ts 0.1s，试问系统的反馈系数应取何值？解：由结构图可得系统闭环传递函数为上式相当于
13、典型一阶系统串接一个K=10的放大器，故也称为闭环系统的放大系数（或开环增益），它与调节时间无关，ts的大小完全由一阶系统的时间常数决定。比较上式与式(3-16)知T=0.1s，取误差范围5%，即=5，则有 ts=3T=0.3s求满足ts 0.1s的反馈系数：设反馈系数为Kb，闭环传递函数为由闭环传递函数可得一阶系统的时间常数T=0.01/Kb，当误差带=5时有:ts=3T=0.03/Kb 0.1s由上式可解出反馈系数的取值范围是 Kb 0.3例3-2 已知单位反馈系统如图所示，r(t)=1+t，c(t)=t计算系统的开环传递函数，并求性能指标 ts，%。解：由图可得系统闭环传递函数为对已知的
14、输入信号及输出响应进行拉氏变换可得则闭环传递函数为由闭环传递函数知，系统是时间常数为 T=1s 的一阶系统，故%=0，ts=3T=3s（=5）。3.3 二阶系统分析二阶系统的单位阶跃响应性能指标欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应增加零、极点对动态性能的影响二阶系统的微分方程:T-时间常数，-阻尼系数（阻尼比）传递函数：n-无阻尼自然振荡频率（一般是系统固有的）特征方程：特征根：时域模型域模型复复域模型域模型3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的动态性能由系统参数 和 n决定，称之为二阶系统的特征参数。不同，系统特征根的表现形式和在s平面的位置不同。当 1 时，特征方程具有两个不相等的负实根，它
15、们是位于 s 平面负实轴上的两个不等的实极点，称为过阻尼。当 =1 时，特征方程具有两个相等的负实根-n，它们是位于 s平面负实轴的相等实极点，称为临界阻尼。当 0 1 时，两个特征根为一对共轭复根，它们是位于 s 面左半平面的共轭复数极点，称为欠阻尼。当 =0 时，特征方程的两个根为共轭纯虚根 jn，它们是位于 s 平面虚轴上一对共轭极点，称为无阻尼。当-1 0 时，特征方程的两个根为具有正实部的一对共轭复根，它们是位于s平面右半平面的共轭复数极点。当 1）二阶系统的单位阶跃响应当 1 时，p1 和 p2均为实数，且有p2 p2，故p2对应的指数项衰减的速度远快于p1，所以二阶系统的动态响应
16、主要由p1决定，这时过阻尼二阶系统可以由具有极点 p1的一阶系统来近似表示。2.临界阻尼（=1）二阶系统的单位阶跃响应p2=p1=-n，二阶系统的两个特征根是两个负的实重根临界阻尼的二阶系统其单位阶跃响应是一个无超调的单调上升过程，曲线的斜率为在t=0 时曲线的变化率为零，随着时间的推移，响应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当时间趋于无穷时，变化率趋于零，响应过程趋于常值1。拉氏逆变换拉氏逆变换3.欠阻尼（0 1）二阶系统的单位阶跃响应 p1和p2为共轭复根令 称 d 为阻尼振荡频率取拉氏逆变换可得定义一个阻尼角。其中 响应曲线是振荡且随时间推移而衰减的；其振荡频率为阻尼振荡频率 ,共轭复
17、数极点p1和p2实部的绝对值n决定了欠阻尼响应的衰减速度,n越大，即共轭复数极点离虚轴越远，欠阻尼响应衰减得越快。而其虚部决定了阶跃响应的振荡程度,当 减小时，特征根接近虚轴，远离了实轴，系统阶跃响应振荡的幅值和频率都增大了，阶跃响应振荡得更激烈，平稳性变差。4.无阻尼（=0）二阶系统的单位阶跃响应当=0时，系统有一对共轭纯虚根p1=jn，p2=-jn响应曲线以频率n做等幅振荡，这便是称n为无阻尼自然振荡频率这一名称的由来，有时也简称为自然频率。5.-1 0时二阶系统的单位阶跃响应系统有一对具有正实部的共轭复根单位阶跃响应为阻尼比 为负，因此指数因子 具有正的幂指数，从而使单位阶跃响应为发散正
18、弦振荡的形式6.-1时二阶系统的单位阶跃响应特征方程具有两个不相等的正实根单位阶跃响应式中指数因子为正的幂指数，从而使单位阶跃响应为单调发散的形式。二阶系统的极点分布与阶跃响应3.3.2 二阶系统单位阶跃响应的性能指标1.欠阻尼二阶系统的性能指标1）稳态指标输入单位阶跃信号和单位阶跃响应之间的误差为误差也是呈衰减正弦振荡形式。当稳态时，即当t 时，有e(t)0，这表示二阶系统的欠阻尼响应能够完全跟踪输入单位阶跃信号，没有稳态误差，即ess=02）动态性能指标（1）上升时间t r 当t=t r时，c(t r)=1由此可解得上升时间为增大自然频率n 或减小阻尼系数，均能减小上升时间t r，从而加快
19、系统的初始响应速度。因为因为 （2）延迟时间t d 当t=t d时，c(t d)=0.5利用曲线拟合法，在较大的 值范围内，近似求得 当0 1时，可近似为增大自然频率n 或减小阻尼系数 都可以减小延迟时间。（3）峰值时间tp式 对t 求导，令导数为零得根据峰值时间的定义，tp为第一个峰值所需的时间，故有峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，峰值时间与闭环极点的虚部数值d成反比，当阻尼系数一定时，闭环极点离负实轴的距离越远，系统的峰值时间越短。（4）最大超调量（简称超调量）%最大超调量发生在峰值时间上，此时t=tp（5）调节时间ts进入误差带%的最小时间因为 ，包络线为设t=ts时 ，用ts近似ts，
20、整理得0 0 0.8 0.8时，时，故故左左式式可可近似为近似为调节时间与闭环极点的实部数值即 n成反比。闭环极点离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。由于阻尼系数的值是根据对系统超调量的要求来确定的，所以调节时间主要由自然频率n 决定。（6）振荡次数N 0 t ts时，单位阶跃响应c(t)穿越其稳态值c()次数的一半 t f 为阻尼振荡的周期时间有些动态性能指标之间是互相矛盾的。例如超调量和上升时间，两者难以同时获得比较小的数值。如果要提高系统的响应速度，减小上升时间，则需要使n很大，较小，而这样最大超调量必然比较大。在工程应用中选择动态性能指标时，需要采取合理的折衷方案，使各项性能指标都能
21、达到相对最佳，以获得较为满意的综合动态性能。阻尼系数可以选择在0.4到0.8之间。较小的 值（0.8）将使系统的响应速度变得缓慢。工程上常取最佳阻尼系数=0.707作为系统设计的依据2.过阻尼（临界阻尼）二阶系统的性能指标1）稳态指标过阻尼单位阶跃响应与输入单位阶跃信号的误差为当 1时，0T2时可得当 远大于1时，二阶系统的动态响应主要由p1决定，这时过阻尼二阶系统可以由具有极点 p1的一阶系统来近似表示。则系统调节时间也可按一阶系统的公式求取，即通过以上分析，对二阶系统的阶跃响应可得出如下结论：阻尼系数是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接判断一个二阶系统的动态品质。对过阻尼二阶系统，动态响
22、应特性为单调变化曲线，没有超调振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当 0时，输出响应将出现等幅振荡或发散，系统不能稳定工作。对于欠阻尼0 1二阶系统，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，动态控制品质差。注意到超调量只与有关，所以一般根据超调量要求来选择。当阻尼系数一定时，n越大，调节时间ts越小。为了限制系统的超调量，并使调节时间较小，系统的阻尼系数一般应择在0.4至0.8之间，这时二阶系统单位阶跃响应的超调量将在25.4%和1.5%之间。例3-3 设二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图3-20所示，确定系统的闭环传递函数。解：系统响应的稳态值为3，故此系统的增益是3，故系统的闭环传递函数
23、形式应为二阶系统的单位阶跃响应最大超调量及峰值时间为对上式求解可得：=0.33，n=33.2 rad/s，代入上面的闭环表达式有3.3.3 欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应输入信号r(t)=t 时，二阶系统输出响应的拉氏变换式为进行拉氏逆变换，可得欠阻尼（0 0(0 i n)。劳斯稳定判。劳斯稳定判据为表的形式。表中前两行是由据为表的形式。表中前两行是由系统的特征方程的系数直接构成系统的特征方程的系数直接构成的，第一行为第的，第一行为第1,3,51,3,5项系数组项系数组成，第二行为第成，第二行为第2,4,62,4,6项系数组项系数组成，其他各行的数值按下表所示成，其他各行的数值按下表所示的规则逐
24、行计算。的规则逐行计算。每行中的各个数乘以一个正实数，不会影响对系统稳定性的判断。劳斯判据：若上述劳斯行列表中第一列所有元素均为正数，那么系统的所有特征根的实部均在s 平面的左边，此即为系统稳定的充要条件。若第一列中出现小于零的元素，系统就不稳定，且其符号变化的次数等于系统特征方程在s 右半平面根的数目。例3-5 系统的特征方程为s4+6s3+12s2+11s+6=0，试用劳斯判据判断该系统的稳定性。解:由所列方程可知所有系数均为正数，且不缺项，满足稳定性的必要条件，故需作进一步的判别。列劳斯行列表如下因为左端的第一列各元素均为正实数，故该系统是稳定的。事实上，D(s)=s4+6s3+12s2
25、+11s+6=(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0可解出四个特征根分别为：-2,-3和 ，均位于s 左半平面。对于特征方程为a0s3+a1s2+a2s+a3=0的三阶系统，由其劳斯表不难发现，只要其特征方程式的所有系数均大于零并且有：a1a2 a0a3，则其所表示系统的所有特征根均具有负实部。所以，判别三阶系统的稳定性不一定要计算劳斯行列表，只要检验特征方程的系数是否全部大于零且满足式a1a2 a0a3即可。此外，二阶系统只要特征方程的系数全部为正就一定是稳定的。例3-8 设一单位反馈系统的开环传递函数为试确定使闭环系统稳定的增益K 的范围。解：闭环系统的特征方程为s(0.1s+1)(0.
26、25s+1)+K=0 亦即0.025s3+0.35s2+s+K=0由特征方程式的所有系数均大于零有K0，再由a1a2 a0a3可得0.350.025K解之可得 K14故使闭环系统稳定的增益K的范围是：0K14为了保证系统的稳定性且具有良好的动态特性，不仅要求系统的全部特征根在s 左半平面且还希望能与虚轴有一定的距离，这个距离称为稳定度。为此，可用新的变量s1=s+a 代入原系统的特征方程，从几何上看，就是将s 平面的虚轴左移一个常值a，此值就是要求的特征根与虚轴的距离（即稳定度）。此时，应用劳斯判据判别以s1为变量的系统稳定性，就相当于确定原系统的稳定度。如果这时能够满足稳定条件，就说明原系统
27、不但稳定，而且所有特征根均位于-a 的左侧。例3-9 在例子3-8中，已求出增益K 的稳定域为0K0，即K 0.675，再由a1a2 a0a3可得111540K-27 解之可得 K4.8故系统的全部特征根均位于s-1的左侧时，增益K 的允许调整范围：0.675K4.8。显然这要比原来的稳定域0K14要小。两种特殊情况：1）劳斯表中某行第一列元素为零，而该行其他元素不为零或不全为零用一个很小的正数 代替第一列的零元素，然后计算完劳斯表中其他项，表格计算完成后再令 0，进行判断，如果零（）上面的系数符号与零（）下面的系数符号相反，则说明有两次符号改变，系统有两个特征根在右半s平面，故系统是不稳定的
28、；如果零（）上、下的系数符号相同，则说明系统存在纯虚数形式的特征根，对应响应为等幅振荡，故系统也是不稳定的。由此可见，当劳斯表的某行第一列出现零时，系统至多属于临界稳定，或者说是不稳定的。例3-10系统的特征方程为s4+3s3+s2+3s+1=0，试用劳斯判据判断该系统的稳定性。解：特征方程对应的劳斯表为在表中第三行第一列元素出现零，用很小的正数 代替后继续计算，当 0时，显然第四行第一列3-3/0(0 i n)。胡尔维茨行列式的各主胡尔维茨行列式的各主子行列式全部为正值，即子行列式全部为正值，即例3-13 假设系统的特征方程为 s4+50s3+200s2+400s+1000=0，试用胡尔维茨
29、判据判别系统的稳定性。解：系统特征方程的各项系数显然均大于零，根据特征方程各项系数构成的胡尔维茨行列式为各主子行列式为 1=50 02=50200-1400=9600 03=40020050-14002-5021000=1.34106 04=31000=1.34109 0根据胡尔维茨稳定性判据可知系统稳定。3.6 控制系统的稳态误差误差的定义系统的类型给定稳态误差与扰动稳态误差改善稳态精度的方法3.6.1误差的定义误差的定义有两种方法：（1）从输入端可以定义为该误差是用系统的偏差定义的，又称作用误差，是可以测量的，但作用误差的理论含义不明显。（2）从输出端可以定义为即误差就是期望输出CR(s)
30、与实际系统输出C(s)的差，该误差又称系统误差。系统误差的理论含义明显，但一般难以测量，因此更多地具备数学意义。CR(s)定义为E(s)=0时的系统输出，令E(s)=R(s)-H(s)CR(s)=0可得上式说明两种误差定义之间的转换关系，相较而言，作用误差E1(s)更基本，特别地，对H(s)=1的单位反馈系统有E1(s)=E2(s)，因此，系统常用E1(s)的大小表示系统的控制精度。在本书以后的叙述中，均采用第一种定义即E1(s)来表示控制系统的误差。3.6.2 系统的类型系统开环传递函数G(s)H(s)可以表示为若干典型环节串联的形式K-开环增益；s 表示开环系统在s 平面坐标原点处有v 重
31、极点，即系统含有v 个积分环节。这一分类方法是以开环传递函数所包含的积分环节的数目为依据的。根据v 的数值，定义开环系统的类型为若v=0，则称该开环系统为0型系统；若v=1，则称该开环系统为型系统；若v=2，则称该开环系统为型系统。3.6.3 给定稳态误差称R(s)作用下系统误差ER(s)称为给定误差，它可以表示为整理得如果sER(s)在s 的右半平面及除原点外的虚轴上解析，则根据拉氏变换的终值定理，给定稳态误差essr可求得为给定稳态误差essr有两个因素决定：系统的结构和参数；系统输入信号形式。值得指出的是，当sER(s)在坐标原点上有极点时，虽也不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得系统稳
32、态误差无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此还是可用此公式求解的。上式说明除输入信号外，给定稳态误差只与系统的开环增益和开环传递函数中包含积分环节的个数有关，而与其它典型环节无关。下面分别就阶跃、斜坡、抛物线输入信号作用下的给定稳态误差进行分析。1.阶跃输入下的给定稳态误差设阶跃输入的拉氏变换为R(s)=r0/s，r0为阶跃信号的幅值 稳态位置误差系数对0型系统,Kp=K ,K 增大可减小essr，但不能消除误差。系统不能无差跟踪阶跃输入。对、型系统，Kp，有essr0。显然、型系统可以做到对阶跃信号的无差跟踪。对阶跃输入，消除给定稳态误差的条件是v 1，即开环传递函数中至少要串联一个积分
33、环节。2.斜坡输入下的给定稳态误差设斜坡输入的拉氏变换为R(s)=v0/s2，v0为斜坡信号的速度稳态速度误差系数对0型系统，Kv=0，此时有essr。这说明0型系统是无法跟踪斜坡输入的。对型系统，Kv=K，此时有essr=v0/K。可见K 增大可以减小给定稳态误差essr，故型系统能够跟踪斜坡输入，但存在一定误差。对型系统，Kv，此时有essr0，这说明型系统是可以无差地跟踪斜坡输入信号的。可见，在斜坡输入信号作用下，系统消除给定稳态误差的条件是v 2。3.抛物线输入下的给定稳态误差设抛物线输入的拉氏变换为R(s)=a0/s3，a0为斜坡信号的速度稳态加速度误差系数对0、型系统，Ka=0，此
34、时有essr。说明0、型系统无法跟踪抛物线输入。对型系统，Ka=K，此时有essr=a0/K，这说明型系统可以有差地跟踪抛物线输入。可见，在抛物线输入信号作用下，系统消除给定稳态误差的条件是v 3。当输入r(t)为阶跃、斜坡和抛物线信号的组合时，既可以直接采用式 进行求解，也可以分别求出各信号作用下的稳态误差，然后再根据线形系统的叠加原理得到。结论：增大开环传递函数的增益K，可以减小一定形式输入信号下的稳态误差；增加开环传递函数的类型v，可以消除一定形式输入信号下的稳态误差；对不同形式的输入量，要使开环传递函数具备相应的类型，才能保证误差精度的要求。3.6.4 扰动稳态误差给定输入R(s)=0
35、，扰动信号N(s)作用下的系统误差EN(s)称为扰动误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。如果闭环系统稳定，sEN(s)满足在s右半平面及除原点外的虚轴上解析的条件若扰动信号为阶跃N(s)=r0/sH(s)一般由测量元件实现，假设不含积分项，若取H(s)为比例环节，可得以下结论：若G2(s)含有积分环节，而G1(s)不含有积分环节，则G2(s)H(s)与G1(s)G2(s)H(s)含积分环节数相同，在s0时，二者趋向无穷的速度一致，容易理解这种情况下essn等于某个常数。若G1(s)含有积分环节，则s0时，G1(s)G2(s)H(s)趋向无穷的速度远大于G2(s)H(s)，所以此时essn
36、=0。若G1(s)包含一个积分，则essn=0；若G1(s)包含两个积分环节，则能使斜坡扰动稳态误差essn=0。加大G1(s)增益可减小阶跃扰动稳态误差，但G2(s)的增益大小对阶跃扰动稳态误差影响较小，可以忽略不计。例3-14 控制系统结构如图3-31所示，设r(t)=2t，n(t)=0.51(t)，求系统的稳态误差。解：由图可知，G1(s)=10/(s+5)，G2(s)=5/s(3s+1)，H(s)=2，系统的开环传递函数为 系统为型系统，且K=20。参考输入的拉氏变换为R(s)=2/s2当扰动输入的拉氏变换为N(s)=0.5/s时，扰动作用下的误差为因此，系统总的稳态误差为ess=es
37、sr+essn=0.1-0.25=-0.153.6.5 改善稳态精度的方法为达到在保证稳定的前提下提高稳态精度的目的，可采用以下方法：增大开环放大倍数K 或增大扰动作用点之前系统的前向通路增益K1的同时，附加校正装置，以确保稳定性。增加前向通路积分环节个数的同时，也要对系统进行校正，以防止系统不稳定，并保证具有一定的动态响应速度。采用复合控制。在输出反馈的基础上，再增加按给定作用或主要扰动作用而进行的补偿控制，构成复合控制系统。1.按给定补偿的复合控制引入前馈控制，通过补偿环节Gr(s)产生附加的开环控制作用，从而构成具有复合控制的随动系统。其传递函数为给定误差ER(s)为若Gr(s)满足则E
38、R(s)=0，即系统能完全复现给定输入作用。上式在工程上称为给定作用下实现完全不变性的条件，这种将误差完全补偿的作用称为全补偿。2.按扰动补偿的复合控制引入扰动补偿信号，即扰动作用通过补偿环节Gn(s)产生附加的开环控制作用，构成复合控制系统。扰动误差就是给定量为零时系统反馈量的负值，即若Gn(s)满足则EN(s)=0且C(s)=0，输出完全不受扰动影响，即实现对外部扰动作用的完全补偿。上式称为扰动作用下实现完全不变性的条件。值得指出的是，由于Gr(s)=1/G2(s)H(s)和Gn(s)=-1/G1(s)，而G1(s)和G2(s)H(s)一般是s 的有理真分式，尤其是G2(s)更是如此。所以在工程实践中，Gr(s)和Gn(s)比较难以实现。也就是说，实际应用中很难实现完全补偿。但即使采用部分补偿往往也可以取得显著效果，对改善系统的稳态性能仍能产生十分有效的作用。