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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填 空 题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1)设/(x)=0,/(x)=g(x)=右=：I 而D表示全平面,那么/=JJ f(x)g(y -x)cbcdy=0,其他，D(4)设n维向量a =(,(),(),a)、。v()；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-a a1,B=E+a a，,a其中A的逆矩阵为B,那么a=.(5)设随机变量X和Y的相关系数为0 9假设Z=X-0.4,那么Y与Z的 相 关 系 数 为.(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X-X 2,X为来自总体X的简单随机样本，那么当-8I ;依概率收敛于二、
2、选 择 题(此题共6小题，每题4分，总分值2 4分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且尸(0)存在，那么函数g(x)=3X(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃连续点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去连续点x=0.(2)设可微函数f(x,y)在点(4,比)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A)/(Xo，y)在y=%处的导数等于零.(B)/(X o，y)在y=y0处的导数大于零.(C)/(/，内在y=)，o处的导数小于零.(D)/(/，内 在y=%处的导数不存在.出 an+a a a设 P
3、“二 片，q“=n=1,2,-,那么以下命题正确的选项是(A)假 设 条 件 收 敛，那么P n与 乙”都收敛.=1 n=n=(B)假 设 绝 对 收 敛，那么几与 都 收 敛.=1n=/=!(C)假设z4条件收敛，那么z P n与 敛 散 性 都 不 定.=1 n=l(D)假 设 绝 对 收 敛，那么 p“与 敛 散 性 都 不 定.=1 =1 n=1abb(4)设三阶矩阵A=b a bb b a(A)(C)a=b 或 a+2b=0.a H b 且 a+2b=0.假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有(B)a=b 或 a+2bH 0.(D)aWb 且 a+2bW0.(5)设%,c，,见 均 为n
4、维向量，以下结论不正确的选项是(A)假 设 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数%,A：2，都有1%+4 2%+ksas 0.那么%,。2,见线性无关.(B)假 设 ,。2,4线 性 相 关，那 么 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 匕，七，,&，都有kxax+k2a-,H-F=0.(C)/,a2,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)%,。2,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A =掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面，A广 正、反面各出现一次,4=正面出现两次,那么事件(A)A，A2，A3相互独立.(B
5、)A2，A3，A4相互独立.(C)A，A2，A3两两独立.(D)4，A3，A4两两独立 三、(此题总分值8分)设试补充定义f使得f(x)在 上 连 续.四、(此题总分值8分)设f(u,v)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且 满 足 仁4 +2 4 =1,又g(x,y)=/k y-，-y 2)du d v 2五、(此题总分值8分)计算二重积分其中积分区域D=(尤,y)|/+y2 万六、(此题总分值9分)求幕级数1 +之(1)(|x|1)的和函数f(x)及其极值.n=l 2 七、(此题总分值9分)设F(X)=f(X)g(X),其中函数f(X),g(X)在(-8,+8)内满足以下条件：f(x)=
6、g(x),g(x)=f(x),且 f(0)=0,f(x)+g(x)=2 e 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求 出F(x)的表达式.八、(此题总分值8分)设 函 数f(x)在 0,3 上 连 续,在(0,3)内 可 导,且f(0)+f(l)+f =3,f(3)=l.试证必存在G(0,3),使r c)=o.九、(此题总分值13分)齐次线性方程组其中*0.试讨论a 1,，4和b满足何种关系时，0)，中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-1 2.(1)求a,b的值;(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(此题总分值13分)设随机变量X的概
7、率密度为F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(此题总分值13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为(1 2 )X ,(0.3 0.7 J而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学 三真题解析一、填 空 题(此题共6小题，每题4分，总分值2 4 分.把答案填在题中横线上)(1)设/。)=广 7 H 其导函数在x=0 处连续，那么4的取值范围是4 2.0 若 x =0,【分析】当XH0可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导.【详解】当彳 1 时，有显然当42时，有 lim/(x)=0 =/(0),即其导函数在x=0
8、 处连续.X TO(2)曲线y =与 x 轴相切，那么V 可以通过a表示为力2 =4*【分析】曲线在切点的斜率为0,即 y =0,由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即 可 找 到/与 a的关系.【详解】由题设，在切点处有y =3 x2 3 a2=0 有4=八又在此点y 坐标为0,于是有0 =X p -3 a2x0+b =0,故=(3 2 x)2=a2-4 a 4 =4 a6.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.一 才 彳 0 v (3)设 a 0,f(x)=g(x)=:：一 而 D 表示全平面，那么/=j f/(x)g(y -x)力
9、出=a2.0,其他，【分析】此题积分区域为全平面，但只有当0 4 1,0 4 3；-苫41时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】/=J J 7(x)g(y x)&f y=J J 2 d xd yD OSMOSy-xMl=f z2 d x d y =a1 (x+1)-xd x=a2.【评注】假设被积函数只在某区域内不为零，那么二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共局部上积分即可.(4)设 n维向量a ug O L:O MV HvO：E 为 n阶单位矩阵，矩阵A =E -aaT,B =E-a aT,a其中A的逆矩阵为B,那么a=-1.【分析】
10、这里a a 7 为 n阶矩阵，而。丁二=2/为数，直接通过A 3 =进展计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有=E-aa1+a a r-aa1-a a ra a=E-aa7-aaT-a(aTa)ara a=E-aaJ+a a -l a a a1a1 牙=E +(1 2。H)ctoc=E,a于是有 一1 一 2。+l=0,即 2a2+a-1=0,解得 a=La =-1.由于 A X.于是有cov(Y,Z)=c ov(y,Z)_ c ov(x,y)4DY4DZ 4DX4DY=PXY=0-9-【评注】注意以下运算公式：D(X+a)=DX ,c ov(X,Y +a)=c ov(X,y).(
11、6)设总体X 服从参数为2 的指数分布，X X2,X 为来自总体X 的简单随机样本,那么当 f oo1 I时，匕=-夕 X：依概率收敛于一.白 2【分析】此题考察大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X X2,X”，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】这里X：,X 3.,X；满足大数定律的条件，且 EX：=QX,+(E X,)2 =；+(g)2 =；,因此根据大数定律有r=-Y x;2依 概 率 收 敛 于EX：n,=i n i 2二、选 择 题(此题共6小题，每题4分，总分值2 4 分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前
12、的字母填在题后的括号内)(1)设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且/(0)存在，那么函数g(x)=/应x(A)在 x=0处左极限不存在.(B)有跳跃连续点x=0.(C)在 x=0处右极限不存在.(D)有可去连续点x=0.D 【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进展讨论即可.【详解】显然x=0为 g(x)的连续点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有l i m g(x)=l i m=l i m,一八)=/(0)存在，故 x=0为可去连续点.x-0 0 .10 x X TO X-0 J【评 注 1】此题也可用反例排除，例如f(x)=x,那么此时8 3
13、=土 =11、可排除/),伯),(0 三项，故x 0,x =0,应选(D).【评注 2】假设 f(x)在 x =x 0 处连续，那么=f(xo)=O,f,(x()A.-f。x-xQ(2)设可微函数f(x,y)在点(%,九)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A)/(%。)在=%处 的 导 数 等 于 零.(B)/(x 0,y)在y =y 0处的导数大于零.(C)/(/，历 在y =y()处 的 导 数 小 于 零.(D)/(而4)在y =0处的导数不存在.A【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可 微 函 数f(x,y)在点(,打)取得极小值，根据取极值的必要
14、条件知f：(x 0,y o)=。，即/(%,)，)在=%处的导数等于零，故应选(A).【评 注。此题考察了偏导数的定义，/(拓,y)在y =孔处的导数即/；(%,凡)；而/(X,打)在x =/处的导数即f；(x,y。).【评 注2】此题也可用排除法分析，取f(x,y)=/+y2,在(0处可微且取得极小值，并且有f(0,y)=y2,可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).(3)设p,=%?，4 =Q,=1,2,，那么以下命题正确的选项是(A)假设 勺条件收敛，那么 p,与 都 收 敛.M=1=1 n=(B)假设“绝对收敛，那么p 与之纵都收敛.=】71=1 M=1(C)假设 ,条件收敛
15、，那么 p,与 敛 散 性 都 不 定.M=1=1 n=(D)假设明 绝对收敛，那么与私 敛散性都不定.B =l n=l n=l【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.8 8 8 a+1/7 I【详解】假设Z明 绝对收敛，即收敛，当然也有级数Z%收敛，再根据p“=，n=In=n=l2=区 也 及 收 敛 级 数 的 运 算 性 质 知，外与 夕“都收敛，故应选(B).2=M=1a b(4)设三阶矩阵A=b ab bbb,假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有a(A)a=b 或 a+2b=0.(B)a=b 或 a+2bW0.(C)aHb 且 a+2b=0.(D)aRb
16、 且 a+2bN0.C【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有abbb a b=(a+2 b)(a-b)2=0,即有a+28=0或 a=b.b b a但当a=b时，显然秩(A)w 2,故 必 有a k b且a+2b=0.应选(C).【评注】n(nN 2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有以下关系:(5)设四,附,%均为n维向量，以下结论不正确的选项是(A)假 设 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 匕/2,人，都 有 匕%+&%+左。,。()，那么织,%,2S线性无关.(B)假 设%
17、,，见 线 性 相 关，那 么 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 占，攵2,，&，都有kat+k2a2 H-1-ksas=0.(C)四,&2,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)四。2,，&线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.B【分析】此题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A)：假 设 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 勺 都 有 匕/+七。2+&4。0,那么%,见,必线性无关，因为假设囚,。?，,线性相关，那么存在一组不全为零的数占，&，&，使得 匕%+左2a2T-卜
18、&%=0,矛 盾.可 见(A)成立.(B)：假设四。2,凡线性相关，那么存在一组，而不是对任意一组不全为零的数勺,心,都有 klal+k2a2 4-卜 ksas=0.(B)不成立.(C)%,%,见 线性无关,那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组名,的秩为s，那么四,。2,见 线性无关,因此(C)成立.(D)，见线性无关，那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选（B）.【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：假设存在一 组 不 全 为 零 的 数 占 使得占0+&%+幻4 =0成立，那么囚,。2,，&线性相关.其逆否命题为：假设对于任
19、意一组不全为零的数女|,42,，左，都有匕/+左 2%+女。S 工0，那么%,%,凡 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 产 掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面,4=正、反面各出现一次,4=正面出现两次,那么事件（A）A，A 2，A,相互独立.（B）A 2，A 3，A 4 相互独立.（C）A，A，A 3 两两独立.（D）4,4 3，4 4 两两独立.C 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进展验算即可，注意应先检查两两独立，假设成立，再检验是否相互独立.【详解】因为p（4）=g,P（A2）=1,P（A）=1,P
20、（A J=；,且 P（A&）=；，P（A4）=；,2（4 4）=：,P（A 2 A 4）=；P（A A 2 A 3）=（）,可见有P（A,A2）=/3（A,）P（A2）,P（A&）=P（4）P（A 3）,P（A2A3）=P（A2）P（A3）,尸（444）H 尸（A）尸（4）P（A 3）,P（A2A4）H P（A2）P（A4）.故 A，A 2,&两两独立但不相互独立；4，A 3，A a 不两两独立更不相互独立，应选（C）.【评注】此题严格地说应假定硬币是均匀的，否那么结论不一定成立.三、（此题总分值8分）设试补充定义f 使得f（x）在L上连续.2【分析】只需求出极限l im f（x）,然后定义f
21、（l）为此极限值即可.【详解】因为l im f（x）=l im +-J xf x-r 7i x s in T Z X 乃（1 一 x）1 1万（1-x）s in m;=+l im-乙-式 r e t-r （l-x）s in x1 1 一 一九一万 C O S=+l im-冗 乃 r f -s in ,T Z X+(1 -x)7i c os x1 1 乃 s in m；=I l ir n-7T 冗-71 C O S 7I X 7t C O S 7l X (X)7V s in 71X71由于f(x)在；)上连续，因此定义/(!)=-71使 f(x)在 己,1 上连续.2【评注】此题实质上是一求极限
22、问题，但以这种形式表现出来，还考察了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=l-x,转化为求y f()+的极限，可以适当简化.四、(此题总分值8 分)设 f(u,v)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且 满 足 空+*g=l,又 g(x,y)=/孙 一，一/),求du dv 2送 4 返dx2 dy2【分析】此题是典型的复合函数求偏导问题：g =f(,v),M=xy,v =1(x2-/),直接利用复合函数求偏导公式即可，注 意 利 用52/-=52 fdudv dvdu【详解】筌噜+糕，故 察 一2。du2+2外 亚+/吆+笠,dudv dv2 dv所 以 答+票=(Y+y 2)W+(
23、/+y2)dud2fSv22=x2+y2.【评注】此题考察半抽象复合函数求二阶偏导.五、(此题总分值8分)计算二重积分其中积分区域D=(X,y)k 2 +y 2 万【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进展计算.【详解】作极坐标变换：x=r c os e,y =r s in。，有-e71 dO r er s in r2 J r.J o J o令”严，那么1=:el s in td t.记 A =j el s in td t,那么=-el s in r)el cos tdto=-f c os td elJo=-el c os t o+J)si n td t二+1-A.因此 A =g
24、(l +e-),【评注】此题属常规题型，明显地应该选用极坐标进展计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分(均为最根底的要求)，即可得出结果，综合考察了二重积分、换元积分与分步积分等多个根底知识点.六、(此题总分值9 分)求基级数1 +之(一1)(|x|1)的和函数f(x)及其极值.=1 2【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】上式两边从0 到 x 积分，得由 f(0)=l,得令/(x)=0,求得唯一驻点x=0.由于r(o)=-i o,可见f(x)在 x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=l.【评注】求和函
25、数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、(此题总分值9 分)设 F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-00,+8)内满足以下条件：尸(x)=g(x),g(x)=f(x),且 f(0)=0,f(x)+g(x)=2e 求 F(x)所满足的一阶微分方程；(4)求 出 F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余局部转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】由=g 2(X)+/2(X)=(x)+g(x)2-
26、2f(x)g(x)=(2e，)2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为(2)尸(x)=e J4e2,，dx+C=e-2xf4e4dx+C=e2x+Ce2x.将F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得C=-l.于是【评注】此题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比拟新颖，但具体到微分方程的求解那么并不复杂，仍然是根本要求的范围.八、(此题总分值8 分)设函数f(x)在 0,3 上 连 续,在(0,3)内 可 导,且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=l.试证必存在G(0,3),使rc)=o.【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点ce
27、 0,3),使得/(c)=1 =/(3),然后在 c,3 上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(l)+f(2)=3等价于/()+/+偌)=,问题转化为1介于f(x)的最值之间，最3终用介值定理可以到达目的.【详解】因为f(x)在 0,3 上连续，所以f(x)在 0,2上连续，且在 0,2上必有最大值M和最小值m,于是m /(0)M,m /(I)M,m /(2),=(a a 当匕=一之勺时，有分*0,原方程组的系数矩阵可化为1=1(将第1 行的-1 倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以一 倍)/a；(将第n行-a“倍到第2 行的-倍加到第1 行，再将第1 行移到最后一行)由此得原方程组的同解
28、方程组为原方程组的一个根底解系为【评注】此题的难点在8 =-丑 4 时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n；(存在(=|n-l 阶子式不为零)，且显然a =(1,1,为方程组的一个非零解，即可作为根底解系.十、(此题总分值1 3 分)设二次型f(xt,x2,x3)=X AX=+2 x j +2hxx3(b 0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-1 2.(3)求 a,b 的值；(4)利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A的特征值和
29、特征向量，并将一样特征值的特征向量正交化 假设有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】1 1)二次型f 的矩阵为设 A的特征值为4。=1,2,3).由题设，有4+4+4=a +2 +（2）1,解得 a=l,b=-2.(2)由矩阵A的特征多项式2-1 0-2A E-A=0 2-2 0=(2-2)2(2+3),-2 0 2+2得 A 的特征值4=4=2,4 =-3.对于4 =%=2,解齐次线性方程组(2E A)x=0,得其根底解系$=(2,0,Dr.么=()，1，():对于4=-3,解齐次线性方程组(-3 E-A)x =0,得根底解系由于。,统,&已是正交向
30、量组，为了得到标准正交向量组，只需将&,乙，刍单位化，由此得令矩阵23013=-=1302飞0I0那么Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有2 0 0 QTAQ 0 2 0,0 0-3_且二次型的标准形为【评注】此题求a,b,也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定:二次型f的矩阵A对应特征多项式为设 A 的特征值为4,4,4 ,那么4 =2,4 +4 =a 2,冬冬=(2a+b2),由题设得4 +4,+4 =2+(a 2)1,解得 a=l,b=2.十一、(此题总分值1 3分)设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x
31、)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0 F(X)1),再对y分段讨论.【详解】易见，当x 8时，F(x)=l.对于X G 1,8,有设 G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当 y 0 时，G(y)=O；当 y 2 1 时，G(y)=l.对于ye0,1),有=Pifx-1 y =P X(y +l)3=/()+1尸=y.0,若y 0,于是，Y=F(X)的分布函数为G(y)=y,若0 W y 1,1,若y Nl.【评注】事实上，此题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布：当 y 0 时,G(y)=O
32、;当 y 2 1 时，G(y)=l;当 04 y 1 时，G(y)=PY y=PF(X)j=PXF (y)=F(F-(y)=y.十二、(此题总分值13分)设随机变量X 与 Y 独立，其中X 的概率分布为X|1 2|,(0.3 0.7)而 Y 的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进展计算.【详解】设 F(y)是 Y 的分布函数，那么由全概率公式，知 1*+丫的分布函数为=0.3PX+Y u X =1 +0.7尸X+丫 X =2=0.3Py M-I|x=
33、l+0.7Py M-2|X=2.由于X 和 Y 独立，可见G(u)=O.3PY u-+0.7PY u-2=0.3F(u-l)+0.7F(i/-2).由此，得 U 的概率密度=0.3/(1)+0.7/(2).【评注】此题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进展计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填 空 题 此题共6小题，每题4 分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1)假设 l i m(co s e 。)=5,那么。=_ _ _ _ _ _,b-_.x f0 ex a(2)设函数f
34、 (u,v)由关系式/xg(y),y =x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)xO,那 么 =dudv设/(x)=1 1 -1X,-2，那么 J,f x V)dx=2(4)二次型“七，2，%)=(+X2)2+(x2-x3)2+(x3+1)2 的秩为.设随机变量X服从参数为2的指数分布，那么P X&51)=.(6)设总体X服从正态分布N O 1,。?)，总体y服从正态分布N(M2，/),X 1,X 2,X,和 几为,匕,分别是来自总体x和y的简单随机样本，那么E,_ 2 n l _ 2(x,-X)+Z 化-丫)i=lj=l勺 +%一 2二、选 择 题(此题共6小题，每题4分，总分值2
35、4分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)函数/(x)=U ls in(x-2)在以下哪个区间内有界.x(x l)(x 2)(A)(-1,0).(B)(0zl).(C)(lz2).(D)(2,3).(8)设/(x)在(-00,+8)内有定义，且 lim/(x)=a,g(x)=5*,那么Xi 6,x=0(A)x=0必是g(x)的第一类连续点.(B)x=0必是g(x)的第二类连续点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与。的取值有关.(9)设f(x)=|x(l-x)|,那么(A)x=0是Ox)的极值点,但(0,0)不是曲线y
36、=/(x)的拐点.(B)x=O不是/(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.(C)x=0是f (x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f (x)的拐点.(D)x=0不是/(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=/(x)的拐点.(10)设有以下命题：0 0 0 0(1)假设Z(“2T+2”)收敛，那么 收敛.=1 /7=1o o 8 假设”收敛，那么+1000收敛.n=n=0 0(3)假 设lim殳 红 1,那 么 发 散 一 8 U,(4)假设(“+%)收敛，那么“，%都收敛.n=l 7 2=1 n=l那么以上命题中正确的选项是(A)(1)(2).(B)(2).。.(D).(11)
37、设尸(x)在a,b上连续，且/(a)0 S)/(。).(B)至少存在一 点e(a/),使得/(与)/(幼.(C)至少存在一点&e(a,b),使得。(而)=0.(D)至少存在一点x()e(a,。)，使得/(心)=0.D(12)设 阶矩阵A与8等价，那么必有(A)当|4|=“(4工0)时，|3|=4.(B)当|*=4(4工0)时，|8|=-4.(C)当|A|#0时，|B|=0.(D)当|A|=0时，|B|=0.(13)设阶矩阵A的伴随矩阵A*H 0,假设百，3，。3，或是非齐次线性方程组A r=6的互不相等的解，那么对应的齐次线性方程组Ax=0的根底解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C
38、)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.(14)设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a e(0,l),数“满足P X “=%假设口|X|g(t)dt,x ea,b)J a J a证明：bxfxdx0);(I I)推 导 处=Q(1-/)(其中R 为收益)，并用弹性/说明价格在何范围内变化时,d P降低价格反而使收益增加.(19)(此题总分值9分)设级数的和函数为S(x).求：(l)S(x)所满足的一阶微分方程；(l l)5(x)的表达式.(2 0)(此题总分值13 分)设G=(1,2,0),a2=(1,a +2,3 a)7,a3=2,a +2b)1,p (1,3,
39、3)r,试讨论当a/为何值时，(I ):不 能 由 4,0(2，&3 线性表示;(I I ):可由内,。2,0 3 唯一地线性表示,并求出表示式；(I I I)“可由火,。2，。3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.(2 1)(此题总分值13 分)设”阶矩阵 1 b Fb 1 bA=:.b (I )求 A的特征值和特征向量；(I I)求可逆矩阵P,使 得 为 对 角 矩 阵.(2 2)(此题总分值13 分)设 A,3为两个随机事件，且 P(A)=；,P(8|A)=,，P(A|8)=:，令求(I )二维随机变量(X/)的概率分布；(I I)X与 y的相关系数P x y；(I I I)Z =
40、X2+Y2的概率分布.(2 3)(此题总分值13 分)设随机变量X的分布函数为其中参数a 0,1.设 X“X 2,X,为来自总体X的简单随机样本，(I )当a =1时，求未知参数 i的矩估计量；(I I)当a =1时，求未知参数夕的最大似然估计量；(I I I)当夕=2时，求未知参数a 的最大似然估计量.2004年考研数学 三真题解析一、填 空 题(此题共6 小题，每题4 分，总分值24分.把答案填在题中横线上)假设 l im-(cosx-Z?)=5,那 么 1 ,b=-4 .v-o ex-a【分析】此题属于极限求参数的反问题.【详解】因为 lim aX(cosx。)=5,且 lim sinx
41、(cosx-Z?)=0,所以x-o ex a x-0lim(/一 a)=0,得。=1.极限化为x-0lim n，X-(cosx-Z?)=lim (cosx-h)=l-b =5，得 b=-4.Ao ex ci x f o x因此，a=1,b=-4.【评注】一般地，l i m D=4g(x)(1)假设 g(x)0,那么/(x)0；(2)假设f(x)-0,且那么 g(x)-0.(2)设函数/(u,v)由关系式/xg(y),y=x+g(y)确定,其中函数g(y)可微，且 g(y)工数那么豆二_母也.dudv g2(v)【分析】令 u=xg(y),v=y,可得到/(u,v)的表达式，再求偏导数即可.【详
42、解】令 u=xg(y),v=y,那么/(u,tz)=一+g(v),g3)所以，*=_,du g(u)dudvg3)g2(v)(3)设/(x)=,-1,X 0 3-3 ,、0 33)/而 =.e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于。X=,X的分布函数为故P X V 5 x =l-P X V ox =1-P X =/，E !y（K -y）2 =a2,“1 -I ,=l 2-1 j=故应填【评注】此题是对常用统计量的数字特征的考察.二、选 择 题（此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)函数/(x
43、)=lx|sm(七2)在以下哪个区间内有界.l)(x 2)(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(l,2).(D)(2,3).A 【分析】如/(x)在(a,b)内连续，且 极 限 l im /(x)与 l im /(x)存在，那么函数x)x a+x b 在(a,b)内有界.【详解】当斤 0,1,2 H 寸，/(x)连续，而l im /。)=一 些 ，l im /x)=更 叱，1 8 4l im f(x)=,l im /(x)=oo,l im /(x)=oo,1 0+4 x fl x f 2所以，函数/(x)在(-1,0)内有界，应选(A).【评注】一般地，如函数/(X)在闭区间。，句上连
44、续，那么/(X)在闭区间 明句上有界；如函数/(X)在开区间(a,b)内连续，且 极 限 l im /(x)与 l im /(尤)存在，那么函数/(x)在开区间(a,b)内有界.xfx-h(8)设f(x)在(-8,+8)内有定义，且 l im /(x)=a ,x 00g(x)J 冲“叫 那 么 0 ,x =0(A)x =0必是g(x)的第一类连续点.(B)x=0必是g(x)的第二类连续点.(C)x=O 必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x =0处的连续性与a 的取值有关.D 【分析】考察极限l im g(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元=4，x f 0X可将极限l i
45、 m g(x)转化为l i m 可x).X-0 X 00【详解】因为 l i m g(x)=l i m /()=l i m /()=o(令=),又 g(0)=0,所以，x-0 x-0 X 1 4 f g X当 a=0时，l i m g(x)-g(0),即 g(x)在点x =0处连续，当 火 0时，x-0l i m g(x)W g(0),即 x =0是 g(x)的第一类连续点，因此，g(x)在点x =0处的连续性x-0与。的取值有关，应选(D).【评注】此题属于基此题型，主要考察分段函数在分界点处的连续性.(9)设八x)=|x(D|,那么(A)x =O是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=
46、f(x)的拐点.(B)x =O不是x)的极值点,但(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.(C)x =O是/(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f (x)的拐点.(D)x =O不是/(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=/(x)的拐点.C 【分析】由于x)在 x =0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考察f(x)在 x =0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设 当*(-6,0)=(0,6)时，/w)0,而/(0)=0,所以 x =0 是/(x)的极小值点.显然，x=0 是f (x)的不可导点.当 xe(-3,0)时，/(x)=-x(l-x),f(x)=2 0,当
47、 xe(0,3)时，/(x)=x(l-x),f(x)=-2 +10()0收敛.n=l n=l00 假 设lim殳 红 1,那么2册 发散.78 Un=100 00 00(4)假设+%)收敛，那么，Z%都收敛.n=w=l w=l那么以上命题中正确的选项是(A)(2).(B)(2).(C).(D).B【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.00 00【详解】是错误的，如令”=(-1),显然，W X分散，而收敛w=l n-(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由lim 包 红 1可得到“”不趋向于零(n8),所 以 发 散.2 8
48、 un.1 1 00 00是错误的，如令“=上，丫”=一上，显然，“，“都发散，而nn=i=ioo+收敛.应选(B).n=l【评注】此题主要考察级数的性质与收敛性的判别法，属于基此题型.(11)设/)在a,b上连续，且r(Q)0，rS)/(。).(B)至少存在一点殉 (%/?),使得/(x()/(b).(C)至少存在一点胸 (a,。)，使 得/(殉)=0.(D)至少存在一点沟 (a,。)，使得/(x()=0.D【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由/(幻在a,b上连续，且/(Q)0，rS)v 0,那么由介值定理，至少存在一点XQ e(a
49、,h),使得f(x0)=0；另外，f(a)=lim /()-/o,由极限的保号性，至少存在一点 力)X f。+x-a使得/0,即/(与)/(4).同理，至少存在一点与(。,份与 一 a使 得 八 旬)/仍).所 以，(A)(B)(C)都正确,应选(D).【评注】此题综合考察了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(1 2)设”阶矩阵A与8等价，那么必有(A)当|4|=。(。工0)时，|3|=4.(B)当|4|=。(4工0)时，|8|=-。.(C)当|4伊0时，|B|=0.(D)当|A|=0时，|8|=0.D【分析】利用矩阵A与8等价的充要条件：r(A)=r(3)立即可得.【详解】因为当|A|=
50、0时，r(A)n,又A与8等价，故r(3)“=%假设尸|X|x =a,那么x等于(A)ua.(B)(C)(D)C 2 2 2【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由P|X|0 s i n x2 2-2 2c o s x、x-s i n x c o s x-2-)=11m-x x f 0 x s i n x2 1 2 x s i n 2x 2x s i n 4x A 一(4x)v=h m-4-=lvi m-?-=lvi m-l-c-o-s4x =l.i.m?5 x-0 X4 x f 0 4x X-O 6x2 X f 0 6x243【评注】此题属于求未定式极限的基此题型，