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1、导数专题之函数零点与方程问题函数 yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0 通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易 ,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之 ,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点. 1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则
2、 f(x)至多有 一个零点(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号2三个等价关系方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点3.(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数(3) 已知函数零点情况求参数的步骤判断函数的单调性；利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；解不等式 (组),即得参数的取值范围(4)函数零点个数可转
3、化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围(5) “ af(x)有解 ” 型问题 ,可以通过求函数yf(x)的值域解决例 1函数f(x) x22，x0，2x6ln x，x0的零点个数是 _解析：当x0 时，令x220，解得x2( 正根舍去 ) ，所以在 ( ， 0 上有一个零点当x0 时，f(x)21x0 恒成立，所以f(x) 在(0 ，) 上是增函数又因为f(2) 2ln 2 0，f(3) ln 30，所以f(x)在(0 ， ) 上有一个零点，综上，函数f(x) 的零点个数为2.类型二、求参数的值或范围例 2若函数f(x)xln xa有两个零点，则实数a的取值范围为 _类型三、研究
4、函数图像的交点个数例 3、已知函数f(x) x33x2ax2，曲线yf(x) 在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. (1)求a； (2)证明：当k0. 当x0 时，g(x) 3x26x 1k0，g(x) 单调递增，g( 1)k 10时，令h(x) x33x24，则g(x) h(x) (1 k)xh(x) h(x) 3x26x 3x(x2) ，h(x) 在(0,2) 单调递减，在 (2，) 单调递增，所以g(x)h(x) h(2) 0. 所以g(x) 0 在(0，) 没有实根综上，g(x) 0在 R上有唯一实根，即曲线yf(x) 与直线ykx2 只有一个交点例 4. 设函数f(x) l
5、n xmx，mR. (1)当me(e 为自然对数的底数) 时，求f(x) 的极小值； (2) 讨论函数g(x) f(x) x3零点的个数；解析： (1) 由题设，当me 时，f(x) ln xex，则f(x) xex2，当x(0 ，e)，f(x) 0，f(x)在(0 ， e)上单调递减，当x(e ，) ，f(x) 0，f(x) 在(e ，) 上单调递增，xe 时，f(x) 取得极小值f(e) ln e ee2，f(x) 的极小值为2. (2) 由题设g(x) f(x) x31xmx2x3(x0) ，令g(x) 0，得m13x3x(x 0)设(x) 13x3x(x0)，则(x) x21 (x1)
6、(x1) ，当x(0,1) 时，(x) 0，(x) 在(0,1)上单调递增；当x(1 ，) 时，(x) 0，(x) 在(1， ) 上单调递减x1 是(x) 的唯一极值点，且是极大值点，因此x1 也是(x)的最大值点，(x) 的最大值为(1) 23. 又(0) 0，结合y(x) 的图象 ( 如图 ) ，可知当m23时，函数g(x) 无零点；当m23时，函数g(x) 有且只有一个零点；当 0m23时，函数g(x) 有两个零点；当m0 时，函数g(x) 有且只有一个零点综上所述， 当m23时，函数g(x) 无零点； 当m23或m0时，函数g(x) 有且只有一个零点；当 0m23时，函数g(x) 有两
7、个零点例 3.（2017 全国 1 理 21）已知函数2e2 exxfxaax. （1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围 . 解析 （1）由于2e2 exxfxaax，所以22 e2 e1e12e1xxxxfxaaa. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当0a,时，e10 xa，2e10 x，从而0fx恒成立，所以fx在R上单调递减 . 当0a时，令0fx，从而e10 xa，得lnxaxln a，ln al
8、n a，fx0fx极小值Z综上所述，当0a,时，( )fx在R上单调递减；当0a时，( )f x在(,ln)a上单调递减，在( ln,)a上单调递增 . （2）由（ 1）知，当0a,时，fx在R上单调递减，故fx在R上至多一个零点，不满足条件当0a时，min1ln1lnffaaa令11ln0g aa aa，则2110gaaa，从而g a在0，上单调递增 .而10g，所以当01a时，0g a；当1a时0g a；当1a时，0g a. 由上知若1a，则min11ln0fag aa，故0fx恒成立，从而fx无零点，不满足条件若1a，则min11ln0fag aa，故0fx仅有一个实根ln0 xa，不满
9、足条件；若01a，则min11ln0fag aa，注意到ln0a，22110eeeaaf，故fx在1ln a，上有一个实根.而又31ln1lnln aaa，且33ln1ln133ln1ee2ln1aafaaaa33132ln1aaaa331ln10aa，故fx在3lnln1aa，上有一个实根又fx在ln a，上单调递减，在ln a，单调递增，故fx在R上至多两个实根综上所述，01a评注对于已知零点个数，求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上，对于一般的赋值方法要把握两点：限定要寻找0 x的范围，如本题中分别在,ln a及ln , a上各寻找一个零点；将函数不等式变形放缩，据0 x
10、的范围得出0 x. 在本题中，实际上在区间,ln a上找到0 x，使得00fx，则说明fx在区间,ln a上存在零点，在区间ln , a上找到0 x，使得00fx，则证明fx在区间ln , a上存在另一个零点. 小结：已知函数有零点( 方程有根 ) 求参数取值范围常用的方法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域
11、问题加以解决（3）先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【针对性练习】1设 f(x)x3bxc，若导函数f (x)0 在1，1上恒成立，且f(-21) f(21)0 在1，1上恒成立，所以得函数在区间 1，1上单调递增，又因为，所以函数在区间内至少有一个零点；由于函数在区间 1，1上单调递增，所以函数在区间 1，1内有唯一的零点。答案选C。2函数在 上有三个零点，则的取值范围是ABCD【答案】 D 【解析】 当时，函数恒成立，不合题意，所以，作函数与的图象如图，由图象可知，当时，两图象必有一个交点，故当时，两图象有两个交点，则有两个正根，即有两个正根，的图象在
12、轴右边由两个交点，记，在上递减，在递增，故，故时，两图象有两个交点；故若函数有三个不同零点，则， 的取值范围是，故选 D.3已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】 D 【解析】 解：由题意可得f（x）=0，即为 ax32x2+1=0，可得 a=，令 g（x）=，g（x） =精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 可得 x，x时，g（x）递减；当x0，0 x时，g（x）递增作出g（x）的图象，可得g（x）的
13、极大值为 g（）=，由题意可得当 a时， f（x）存在唯一的零点x0，且 x00，故选： D4.（2017 全国 3 理 11）已知函数2112eexxfxxxa有唯一零点，则a（）. A12B13C12D1 解析 由条件2112(ee)xxfxxxa，得：221(2) 1211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)xxxxfxxxaxxxa2112(ee)xxxxa.所以2fxfx ，即1x为fx的对称轴，由题意，fx有唯一零点，故fx的零点只能为1x，即21 11 1(1)12 1(ee)0fa，解得12a故选 C. 5.已知函数e0( )ln0 xxf xxx，( )( )g xf
14、 xxa若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是_ 1，+）6已知函数f(x)ex，xR. (1)求f(x) 的反函数的图象上点(1,0) 处的切线方程； (2)证明：曲线yf(x) 与曲线y12x2x1 有唯一公共点7已知函数的图像过点，且在处取得极值 .（1）若对任意有恒成立 ,求实数的取值范围 ;（2）当,试讨论函数的零点个数 .【详解】（1）点在函数f(x)图像上, 所以-3=aln1+b,所以b=-3.所以当 x时，x时，.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 -
15、 - - - - - - - - - 所以函数在上为增函数，在为减函数 .因为所以 m -ln3-1,即实数 m 的取值范围为.（2）的定义域为, .所以令,得. x1+0-0+y增极大减极小增而,当,即,函数有 3 个零点当,即,函数有 2个零点 . 当即,函数有 1 个零点8.(全国卷 II 理 21）已知函数2( )exf xax （1）若1a，证明：当0 x时，( )1f x；（2）若( )f x 在 (0,) 只有一个零点，求a【 解 析 】（ 1 ） 当1a时 ，( )1f x等 价 于2(1)e10 xx 设 函 数2( )(1)e1xg xx， 则22( )(21)e(1) e
16、xxg xxxx 当1x时 ，( )0g x， 所 以( )g x在(0,)单 调递 减 而(0)0g，故当0 x时，( )0g x，即( )1f x（2）设函数2( )1exh xax( )f x在(0,)只有一个零点当且仅当( )h x在(0,)只有一个零点（i）当0a时，( )0h x，( )h x没有零点；（ii）当0a时，( )(2)exh xax x当(0,2)x时，( )0h x；当(2,)x时，( )0h x所以( )h x在(0, 2)单调递减，在(2,)单调递增故24(2)1eah是( )h x在0,)的最小值若(2)0h，即2e4a，( )h x在(0,)没有零点；若(2
17、)0h，即2e4a，( )h x在(0,)只有一个零点；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以( )h x在(0,2)有一个零点，由（ 1）知，当0 x时，2exx，所以33342241616161(4 )11110e(e)(2 )aaaaahaaa故( )h x在(2,4)a有一个零点，因此( )h x在(0,)有两个零点综上，( )f x在(0,)只有一个零点时，2e4a第二课时例 1
18、. 已知函数221( )ln(1),( ).1f xxg xax求方程( )( )f xg x的根的个数 . （2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。例 2已知bxaxxxf2ln)(（1）若1a，函数( )f x在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）)(xf的图象与x轴交于)(0 ,(),0 ,(2121xxxBxA）两点 ,AB中点为0(, 0)C x，求证：0)(0 xf试题解析：（1）依题意：2( )lnf xxaxbx1( )2fxxbx1 分( )f x在(0,)上递增， 1( )20fxxbx对(0,)x恒
19、成立，即12bxx对(0,)x恒成立，只需min1(2 )bxx3 分0 x，122 2xx，当且仅当22x时取 “ ” ，4 分2 2b， b 的取值范围为(,226 分（2）由已知得221111111222222222()lnln()lnlnf xxaxbxxaxbxf xxaxbxxaxbx两式相减，得11212122ln()()()xa xxxxb xxx112122ln() ()xxxa xxbx8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - -
20、- - - - 由1( )2fxaxbx及0122xxx，得10012012121221221()2 ()lnxfxaxba xxbxxxxxxxx10 分11212111212212222(1)2()11lnln(1)xxxxxxxxxxxxxxxx令1222, ( )ln(01)1xtttttxt22(1)( )0(1)ttt t，( ) t在(0,1)上递减， ( )(1)0t1211222(1)ln01xxxxxx，即1211222()ln0 xxxxxx，又12xx，0()0fx【针对性练习】1设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是( )ABCD【答案】 D 【 详 解
21、】 令，则使 得的 整 数 即 是 使 得的 整 数， 当时，单调递减，当时，单调递增，且当时，作出函数和的图象如图所示由图可知，当时，使得的整数有很多个当时，要使得的整数唯一，则解得则故选.2设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是ABCD【答案】 A 【解析】 令因为仅存在两个正整数使得，即仅有两个整数使得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - ，令，解得且当，；当，所以且，所以当时，另一个满足条件的整数为2所以，代入解
22、得综上，的取值范围为所以选 A3设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为 _详解： 设，则由题意可知，存在唯一的整数，使函数的图象在函数的图象的下方，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，的最小值为，又，函数过定点，或，解得或，故实数的取值范围为4、设函数21( )ln.2f xxaxbx当0a，1b，方程22( )mf xx有唯一实数解，求正数m的值解: 因为方程2)(2xxmf有唯一实数解，所以02ln22mxxmx有唯一实数解，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共
23、12 页 - - - - - - - - - - 5. 设函数21( )ln( ,0)2f xcxxbx b cR c，且1x为( )f x的极值点 () 若1x为( )fx的极大值点，求( )f x的单调区间（用c表示） ； ()若( )0f x恰有两解，求实数c的取值范围解：2( )cxbxcfxxbxx，又(1)0f，所以(1)()( )xxcfxx且1c，10bc（I ）因为1x为( )f x的极大值点，所以1c当01x时，( )0fx；当1xc时，( )0fx；当xc时，( )0fx所以( )f x的递增区间为(0,1)，( ,)c；递减区间为(1, )c（II ）若0c，则( )f
24、 x在(0,1)上递减，在(1,)上递增( )0f x恰有两解，则(1)0f，即102b，所以102c； 若01c，则21( )( )ln2fxf ccccbc极大，1( )(1)2fxfb极小因为1bc，则( )f x的极大值为22ln( 1)ln022ccccccccc，( )f x的极小值为12c， 从而( )0fx只有一解； 若1c，则( )f x的极小值为22ln( 1)ln022ccccccccc( )f x的极大值为12c，则( )0f x只有一解 . 综上，使( )0f x恰有两解的c的范围为102c6已知函数( ) 求函数的单调增区间；（）记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个
25、不同点，如果曲线上存在点，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由【答案】 （1） 当时, 函数在上单调递增；当时, 函数在和上单调递增； 当精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 时, 函数在上单调递增；当时, 函数在和上单调递增；（2）见解析 .【分析】 ( ) 由函数知其导数，根据的正负及与 1 的大小分类讨论即可写出函数的单调区间 ( ) 假设函数存在“中值相依
26、切线”，设,是曲线上的不同两点，且，计算，再利用导数几何意义，转化为是否有解，再构造函数利用其单调性最值确定是否有解。【详解】（）函数的定义域是 由已知得， 当时, 令, 解得;函数在上单调递增； 当时， 当时，即时, 令, 解得或;函数在和上单调递增 , 当时，即时, 显然，函数在上单调递增；当时，即时, 令, 解得或函数在和上单调递增综上所述 : 当时, 函数在上单调递增当时, 函数在和上单调递增当时, 函数在上单调递增；当时, 函数在和上单调递增( ) 假设函数存在“中值相依切线”设,是曲线上的不同两点，且，则， 曲线在点处的切线斜率，依题意得：化简可得， 即=设 ()，上式化为：, ,
27、 令,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 因为, 显然， 所以在上递增 , 显然有恒成立 所以在内不存在, 使得成立 综上所述，假设不成立所以，函数不存在“中值相依切线”【点睛】本题主要考查了利用了导数正负求函数单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，涉及反证法，属于难题.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -