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1、优秀领先 飞翔梦想 成人成才解题技巧专题:特殊平行四边形中的解题方法类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1(2017青山区期中)如图,四边形ABCD是菱形,AC8,DB6,P,Q分别是AC,AD上的动点,连接DP,PQ,则DPPQ的最小值为_ 第1题图 第2题图2(2017安顺中考)如图,正方形ABCD的边长为6,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PDPE的和最小,则这个最小值为_二、利用面积法求定值3 如图,在矩形ABCD中,点P是线段BC上一动点,且PEAC,PFBD,AB6,BC8,则PEPF的值为_ 【变式题】矩形两条垂
2、线段之和菱形两条垂线段之和正方形两条垂线段之和(1)(2017眉山期末)如图,菱形ABCD的周长为40,面积为25,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF,则PEPF等于_ 变式题(1)图 变式题(2)图(2)如图,正方形ABCD的边长为1,E为对角线BD上一点且BEBC,点P为线段CE上一动点,且PMBE于M,PNBC于N,则PMPN的值为_类型二正方形中利用旋转性解题4 如图,在四边形ABCD中,ADCABC90,ADCD,DPAB于P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是_5如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,EAF45.求证:SAEF
3、SABESADF.6如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,P为正方形ABCD外一点,且BPCP,连接OP.求证:BPCPOP.参考答案与解析1. 解析:如图,过点Q作QEAC交AB于点E,则PQPE.DPPQDPPE.当点D,P,E三点共线的时候DPPQDPPEDE最小,且DE即为所求当DEAB时,DE最小四边形ABCD是菱形,ACBD,OAAC4,OBBD3,AB5.S菱形ABCDACBDABDE,865DE,DE.DPPQ的最小值为.26解析:如图,设BE与AC交于点P,连接BD.点B与D关于AC对称,PDPB,PDPEPBPEBE,即P为AC与BE的交点时,PDPE最小,为
4、BE的长度正方形ABCD的边长为6,AB6.又ABE是等边三角形,BEAB6.故所求最小值为6.故答案为6.3. 解析:四边形ABCD为矩形,ABC90.AB6,BC8,AC10,OBOCAC5.如图,连接OP,SOBPSOCPSOBC,SOBC,SOBC.SOBCS矩形ABCDABBC6812,12,PEPF. 【变式题】(1)解析:菱形ABCD的周长为40,面积为25,ABAD10,SABD.连接AP,则SABDSABPSADP,10(PEPF),PEPF.(2)解析:连接BP,过点E作EHBC于H.SBPESBPCSBEC,.又BEBC,即PMPNEH.BEH为等腰直角三角形,且BEBC
5、1,EH,PMPNEH.435证明:延长CB到点H,使得HBDF,连接AH.四边形ABCD是正方形,ABHD90,ABAD.ADF绕点A顺时针旋转90后能和ABH重合,AHAF,BAHDAF.HAEHABBAEDAFBAE90EAF904545,HAEEAF45.又AEAE,AEF与AEH关于直线AE对称,SAEFSAEHSABESABHSABESADF.6证明:四边形ABCD是正方形,OBOC,BOC90.将OCP顺时针旋转90至OBE(如图所示),OEOP,BECP,OBEOCP,BOECOP.BPCP,BPC90.BOCOBPBPCOCP360,OBPOCP180,OBPOBE180,E,B,P在同一直线上POCPOBBOC90,BOECOP,BOEPOB90,即EOP90.在RtEOP中,由勾股定理得PEOP.PEBEBP,BECP,BPCPOP. 第 4 页 共 4 页