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1、国家集训队的第一次测试试题1、 圆内接凸六边形ABCDEF，AB与CD交于G，AF与DE交于H，M、N为BCG、EFH的外心.证明：BE、CF、MN三线共点、2、已知p为素数，A为无穷整数集.证明：存在A的2p-2元子集B，B中任意p个元素的算术平均数不在A中。3、已知a，b，c，p，q，r是正整数且p，q，r2，集合Q=(x，y，z)Z3.在Q中放上M枚棋子(一个点上可以放上多枚棋子）并可执行下面三类操作：（1）在(x，y，z)上拿掉p枚棋子，在(x-1，y，z)上放一枚棋子；（2）在(x，y，z)上拿掉q枚棋子，在(x，y-1，z)上放一枚棋子（3）在（x，y，2)上拿掉r枚棋子，在(x，
2、y，z-1）上放一枚棋子求最小的M，使得无论如何放棋子，总可以经过适当操作，使得最后（0,0,0）有一枚棋子.2022年国家集训队的第二次测试试题1、求所有正整数对（m，n），在m+1条横线与n+1条竖线构成的方格表中，可以对其中的一些方格添加一条对角线（允许不添加，但不能在一个方格内添加两条对角线）。使得整个图形可以一笔画并回到起点。2、非直角ABC满足BCACAB，平面上两个不重合的点P1，P2、使得若APi、BPi、CPi分别与ABC的外接圆交于Di，Ei，Fi，则有DiEiDiFi且DiEi=DiFi0其中i=1,2。直线P1P2与ABC外接圆交于Q1，Q2。Q1,Q2关于ABC的西姆松线交于W。证明：W在ABC的九点圆上。3、 a1，a2，an为n个两两互相不整除的正整数，即对任意ij.ai不整除aj。证明：a1+a2+an1.1n2-2n学科网（北京）股份有限公司