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1、 正方形与45角的基本图问题【模型分析】例1（2020深圳亚迪九年级期中）已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且，AE与AF分别交对角线BD于点M、N则下列结论：；正确的有（ ）A4个B3个C2个D1个例2（2019武汉七一华源八年级月考）已知E、F是边长为1的正方形ABCD内部两点，且满足EAFECF45，若AEF面积为，则BEC与DFC的面积之和为_例3（2019四川北师大锦江区海威教育培训中心九年级期中）已知：四边形为正方形，是等腰，（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接试写
2、出此时三线段、的数量关系并加以证明若，求：正方形的边长以及中边上的高【巩固提升】1（2020四川宜宾市八年级期末）如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：，的面积，其中正确的个数为（ ）A个B个C个D个2（2020广东深圳市九年级一模）如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM则下列结论，其中正确的是（）12； 34； GDCM； 若AG1，GD2，则BMABCD3（2020河北石家庄市九年级其他模拟）如图，已知在中，在内作第一个内接正方形，则第1个内接正方形的边
3、长_；然后取的中点，连接、，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形依次进行下去，则第2020个内接正方形的边长为_4（2020长沙市长郡双语实验中学九年级一模）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MNAQ交BC于点N，作NPBD于点P，连接NQ，下列结论：AMMN；MPBD；BNDQNQ；为定值一定成立的是_5（2020四川成都市八年级期末）分层探究（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45，连接EF求证：EFBE+DF，解题思路：把ABE绕点A逆时针旋转 度至ADG，可使AB与AD重合由FDG
4、ADG+ADC180，则知F、D、G三点共线，从而可证AFG （ ），从而得EFBE+DF，阅读以上内容并填空（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，ABAD，BAD90，点E、F分别在边BC、CD上，EAF45探究：若B、D都不是直角，当B、D满足什么数量关系时，仍有EFBE+DF？（3）联想拓展：如图3，在ABC中，BAC90，ABAC，点D、E均在边BC上，并且DAE45猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由6（2020全国九年级模型练习）（1）如图，在正方形 ABCD 中，FAG=45，请直接写出 DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明（2）如图，在 RtABC 中，BAC=
5、90，AB=AC，E，F 分别是 BC 上两点，EAF=45，写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明若将（2）中的AEF 绕点 A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？ 若不成立，直接写出新的结论 ，无需证明（3）如图，AEF 中EAF=45，AGEF 于 G，且GF=2，GE=3，则 = 正方形与45的有关模型（巩固篇）巩固1如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：AG+EC=GE；的周长是一个定值；连结FC，的面积等于在以上4个结论中，正确的是（ ）A1B2C3D4巩固2如图，在正方
6、形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=3若EOF=45，则F点的纵坐标是 ( ) A2BCD1巩固3如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：，的面积，其中正确的个数为（ ）A个B个C个D个巩固4如图，正方形ABCD中，点E在BD上，且，延长CE交AD于F，则为()ABCD巩固5正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则EAF的度数是_巩固6如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，则EAG_度巩固7如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABC
7、D，BEFG的边长分别为2，3，H为线段DF的中点，则BH_巩固8如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为_巩固9如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且EAF45，下列结论：ABEADF；AEBAEF；正方形ABCD的周长2CEF的周长；SABE+SADFSCEF，其中正确的是_（只填写序号）巩固10如图，在正方形中，、分别是边、上的点，的周长为6，则正方形的边长为_.巩固11如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上已知，则_度；如图，已知正方形的边长为分别是边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到若，
8、则的长为_ 巩固12如图，正方形被与边平行的线段、分割成4个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰好是矩形面积的2倍，则的大小为_巩固13如图，在四边形纸片 ABCD 中，BD90，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，EAF45（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；（2）若 ECFC1，求 AB 的长度巩固14如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是边BC、CD上的点，EAF=45（1）求证：BE+DF=EF（2）当BE=1时，求EF的长巩固15如图，点、分别在边、上，过点作，且点在的延长线上（1）与全等吗？为
9、什么？（2）若，求的长巩固16如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点（1）求证：四边形是正方形；（2）若，求证：；（3）在（2）的条件下，已知，求的长巩固17分层探究（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45，连接EF求证：EFBE+DF，解题思路：把ABE绕点A逆时针旋转 度至ADG，可使AB与AD重合由FDGADG+ADC180，则知F、D、G三点共线，从而可证AFG （ ），从而得EFBE+DF，阅读以上内容并填空（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，ABAD，BAD90，点E、F分别在边BC、CD上，EAF45探究：若B、D都不是直
10、角，当B、D满足什么数量关系时，仍有EFBE+DF？（3）联想拓展：如图3，在ABC中，BAC90，ABAC，点D、E均在边BC上，并且DAE45猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由巩固18正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且EDF45，将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM（1）求证：EFCF+AE；（2）当AE2时，求EF的长巩固19（1）如图1所示，已知正方形中，是上一点，是延长线上一点，且求证：；（2）如图2所示，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）中的结论证明：巩固20（1）如图，在正方形 ABCD 中，FAG=45，请直接写出 DG，B
11、F 与FG 的数量关系，不需要证明（2）如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，E，F 分别是 BC 上两点，EAF=45，写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明若将（2）中的AEF 绕点 A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？ 若不成立，直接写出新的结论 ，无需证明（3）如图，AEF 中EAF=45，AGEF 于 G，且GF=2，GE=3，则 = 巩固21正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，求的度数巩固22如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且EAF45，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转
12、是一种常用的分析思路例如图中ADF与ABG可以看作绕点A旋转90的关系这可以证明结论“EFBEDF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程（1）延长CB到点G，使BG ，连接AG；（2）证明：EFBEDF巩固23如图，过线段AB的端点B作射线BGAB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使EAPBAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）（1）求证：；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）试探究AE+EF+AF与2AB是否相等，并说明理由正方形与45的有关模型（提高篇）提高1已知在正方形ABCD中，点E、F
13、分别为边BC与CD上的点，且，AE与AF分别交对角线BD于点M、N则下列结论：；正确的有（ ）A4个B3个C2个D1个提高2如图，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为点，将绕点顺时针旋转得到，若，则以下结论：，正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个提高3如图，在正方形有中，是上的动点，（不与、重合），连结，点关于的对称点为，连结并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接，那么的值为（ ）A1BCD2提高4在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，EAF45，下列几个结论中：EFBEDF；MN2BM2DN2；FA平分DFE；连接MF，则AMF为等腰直角三角形
14、；AMNAFE 其中一定成立的结论有（ ）A2个B3个C4个D5个提高5如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，下列说法：；连接，则为直角三角形；若，则的长为，其中正确结论的个数是（ ）A4B3C2D1提高6如图，已知E、F是边长为1的正方形ABCD内部两点，且满足EAFECF45，若AEF的面积为，则BEC与DFC的面积之和为_提高7如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），下列三个结论：当MNMC时，则；2；MNC的周长不变；AMNAMB60其中正确结论的序号是_提高8如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，A
15、Q交BD于点M，过M作MNAQ交BC于点N，作NPBD于点P，连接NQ，下列结论：AMMN；MPBD；BNDQNQ；为定值一定成立的是_提高9如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，点P为ABC外一点，且APC=45，过B作BEAC分别交PA、PC于点E、F，若BE=3EF=3，则AE=_提高10如图，正方形中，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且.若，则_提高11如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且，将绕点D逆时针旋转90，得到 若，则EF的长为_提高12七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形(其中的一个平行四边形是正方形)组成用七巧板可以
16、拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为_提高13如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，EAF=45，BE=3，CF=4，则正方形的边长为_提高14如图，已知在中，在内作第一个内接正方形，则第1个内接正方形的边长_；然后取的中点，连接、，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形依次进行下去，则第2020个内接正方形的边长为_提高15如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接求证：； 求的值；若正方形的边长为5，求的长提高16如图，在正方形中，交、于、，交于、
17、（1）求证：；（2）求证：；（3）求证：提高17如图，若点为正方形外一点，连.求的度数.提高18如图所示，点为正方形的对角线的交点，若点在正方形内部时，且.试探究，之间的数量关系.提高19已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（1）当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），请你直接写出BM、DN和MN的数量关系：_（2）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎
18、样的数量关系？请写出直接写出结论提高20如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点（1）问题解决：如图，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）问题探究：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB判断PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形，连接BO，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB若正方形ABCD的边长为1，求PQB的面积提高21已知：四边形为正方形，是等腰，
19、（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接试写出此时三线段、的数量关系并加以证明若，求：正方形的边长以及中边上的高提高22如图，正方形ABCD中，边长为4，M、N在AB、AD上(1) 若MCN45，则BMDN_MN（填“”“”或“”）；(2) 如图1，若NMCMCD，求AMN的周长；(3) 如图2，若M、N在AB、AD反向延长线上，在(2)的条件下，直接写出DN、MN、BM的数量关系 提高23已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BHDE（2）
20、如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转度（090），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论（3）如图3，PDG45，DHPG于H，PH2，HG4直接写出DH的长提高24已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上（1）若BEDF，求证：BAEDAF；联结AC交EF于点O，过点F作FMAE，交AC的延长线于M，联结EM，求证：四边形AEMF是菱形（2）联结BD，交AE、AF于点P、Q若EAF45，AB1，设，求 关于的函数关系及定义城提高25问题背景：如图1，在正方形中，点分别在边上，求证：洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的
21、证明过程证明：延长到点使，连接，正方形，在和中，迁移应用：如图2，在正方形中，交于点，若，求的长联系拓展：如图3，在矩形中，点分别在边上，若，探究与的数量关系，并给出证明提高26探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且（1）如果将绕点顺时针方向旋转请你画出图形（旋转后的辅助线）你能够得出关于，的一个结论是_（2）如果点，分别运动到，的延长线上，如图，请你能够得出关于，的一个结论是_（3）变式：如图，将题目改为“在四边形中，且，点，分别为边，上的动点，且”，请你猜想关于，有什么关系？并验证你的猜想提高27如图所示，在正方形中，为上一点，为上一点，求证：（1）；（2）；（3）.提高28如
22、图所示，正方形中，点，分别为，上一点，点为上一点，关于直线对称.连结并延长交的延长线于，求证：.提高29如图所示，正方形中，点，分别为，上一点，点为上一点，关于直线对称.若的平分线交的延长线于，连结，求证：.提高30如图所示，正方形中，点，分别为，上一点，点为上一点，关于直线对称.（1）求证：，关于对称；（2）若的平分线交的延长线于，求证：.提高31如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF；当AB=4，AD=时，求线段BG的长提高32已知A（m，n），且满足|m2|+（n2）2=0，过A作ABy轴，垂足为B（1）求A点坐标（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边ABC和AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由（3）如图2，过A作AEx轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足FBG=45，设OF=a，AG=b，FG=c，试探究ab的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由