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1、专题12 立体几何中的平行与垂直问题【自主热身，归纳总结】1、 设，为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：若mn，n，则m；若m，n，m，n，则；若，m，n，则mn；若，m，n，nm，则n.其中正确命题的序号为_【答案】.【解析】：对于，直线m可能在平面内，故错误；对于，没有m与n相交的条件，故错误；对于，m与n也可能异面，故错误2、已知平面，直线m，n，给出下列命题：若m，n，mn，则；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中是真命题的是_(填序号)【答案】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD平面ABC1D1，BC平面ADC1B1，且B
2、CCD，又因为平面ABC1D1与平面ADC1B1不垂直，故不正确；因为平面ABCD平面A1B1C1D1，且B1C1平面ABCD，AB平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故不正确同理，我们以正方体的模型来观察，可得正确3、若，是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线；若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直；若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线；若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线【答案】：4、已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm
3、；lm；ml；lm.其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号)【答案】： 【解析】：由l，得l，又因为m，所以lm；由l，得l或l，又因为m，所以l与m或异面或平行或相交；由l，m，得lm.因为l只垂直于内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于；由l，l，得.因为m，所以m. 5、 设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若b，bc，则c；若c，则c；若c，c，则.其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)【答案】： 【解析】：b和c可能异面，故错；可能c，故错；可能c，c，故错；根据面面垂直判定，故正确6、在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别
4、是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：(1) BC平面PDF； (2) DF平面PAE；(3) 平面PDF平面ABC； (4) 平面PDF平面PAE.其中正确命题的序号为_【答案】：(1)(4)【解析】 由条件可证BCDF，则BC平面PDF，从而(1)正确；因为DF与AE相交，所以(2)错误；取DF中点M(如图)，则PMDF，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DMPM，DMAM，则DM平面PAE.又DM平面PDF，故平面PDF平面PAE，所以(4)正确综上所述，正确命题的序号为(1)(4) 7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1
5、重合)，且AMBN，那么AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1异面以上4个结论中，正确结论的序号是_【答案】：【解析】过M作MPAB交BB1于P，连接NP，则平面MNP平面A1C1，所以MN平面A1B1C1D1，又AA1平面A1B1C1D1，所以AA1MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以正确【问题探究，变式训练】 :例1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中点，求证：(1) 平面AB1E平面B1BCC1；(2) A1C平面AB1E.【解析】： (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC.因为AE平面A
6、BC，所以CC1AE因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BCCC1C，所以AE平面B1BCC1.因为AE平面AB1E，所以平面AB1E平面B1BCC1(2) 如图，连结A1B，设A1BAB1F，连结EF.在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点又因为E是BC的中点，所以EFA1C因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C平面AB1E.【变式1】、【如图，在三棱锥PABC中，ABPC，CACB，M是AB的中点，点N在棱PC上，点D是BN的中点求证：(1) MD平面PAC； 又因为CE
7、平面BEC，所以AHCE.(14分) 【变式6】、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的高为，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点求证：(1) B1M平面A1BN；(2) AD平面A1BN.【解析】： (1) 如图，连结MN，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ACC1是矩形因为M，N分别是棱A1C1，AC的中点，所以四边形A1ANM也是矩形，从而MNA1A.(2分) 又因为A1AB1B，所以MN B1B.所以四边形B1BNM是平行四边形，则B1MBN.(4分) 因为B1M平面A1BN，BN平面A1BN, 所以B1M平面A1BN.(6分)
8、 (2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BN平面ABC，所以AA1BN.因为N是正三角形ABC的边AC的中点，所以ACBN.又因为A1AACA，A1A，AC平面A1ACC1，所以BN平面A1ACC1.因为AD平面A1ACC1，所以BNAD.(10分) 在平面A1ACC1中，tanA1NAtanDAC1，所以A1NA与DAC互余，得ADA1N.(12分) 因为ADBN，ADA1N，BNA1NN，且A1N，BN平面A1BN，所以AD平面A1BN.(14分) 【关联1】、 如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，点D，E分别是A1C，AB的中点(1) 求证：ED平面BB1C1C；(
9、2) 若ABBB1，求证：A1B平面B1CE.【解析】 (1) 连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点(2分)在ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DEBC1.(4分)因为DE平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以ED平面BB1C1C.(6分)(2) 因为ABC是正三角形，E是AB的中点，所以CEAB.又因为正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面ABB1A1AB，CE平面ABC，所以CE平面ABB1A1.从而CEA1B.(9分)在矩形ABB1A1中，因为，所以RtA1B1BRtB1BE，从而B
10、1A1BBB1E.因此B1A1BA1B1EBB1EA1B1E90，所以A1BB1E.又因为CE，B1E平面B1CE，CEB1EE，所以A1B平面B1CE.(14分)例2、如图，在四棱锥中，点为棱的中点（1）若，求证：；（2）求证：/平面【解析】： 证明：（1）取的中点，连结，因为，所以为等腰三角形，所以因为，所以为等腰三角形，所以又，所以平面 因为平面，所以 （2）由为中点，连，则，又平面，所以平面 由，以及，所以，又平面，所以平面 又，所以平面平面， 而平面，所以平面 【变式1】、如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平面ABD； （2）若
11、BDCD，AE平面BCD，求证：平面AEF平面ACD【解析】：（1）因为BD平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以 BDEF 因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以 EF平面ABD （2）因为AE平面BCD，CD平面BCD，所以 AECD 因为 BDCD，BDEF，所以 CDEF， 又 AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以 CD平面AEF 又 CD平面ACD，所以 平面AEF平面ACD 【变式2】、如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点（1）求证：；ABCDEFP(第16题)（2）若平面平面，求证：【变式3】、如图，在四棱锥中，底面
12、ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，AP=AD， M，N分别为棱PD，PC的中点求证：（1）MN平面PAB； （2）AM平面PCD【解析】（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MNDC， 又因为底面ABCD是矩形，所以ABDC，所以MNAB 又平面PAB，平面PAB，所以MN平面PAB （2）因为AP=AD，M为PD的中点，所以AMPD 因为平面PAD平面ABCD， 又平面PAD平面ABCD= AD，又因为底面ABCD是矩形，所以CDAD，又平面ABCD，所以CD平面PAD 又平面PAD，所以CDAM 因为CD，平面PCD， 所以AM平面PCD 【易错警示】立几的证明必须严格按教材
13、所给的公理、定理、性质作为推理的理论依据，严禁生造定理，在运用定理证明时必须在写全定理的所有条件下，才有相应的结论，否则会影响评卷得分.【变式4】、 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点(1) 求证：PC平面BDE；(2) 若PCPA，PDAD，求证：平面BDE平面PAB.易错警示 在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时，一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将予以扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求较高【关联1】、如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ACBD，AC与BD交于点O，且平面PAC平面ABCD，
14、E为棱PA上一点(1) 求证：BDOE；(2) 若AB2CD，AE2EP，求证：EO平面PBC. 【解析】(1) 因为平面PAC 平面ABCD，平面PAC 平面ABCDAC，BDAC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC.又因为OE平面PAC，所以BDOE.(6分)(2) 因为ABCD，AB2CD，AC与BD交于点O，所以COOACDAB12.又因为AE2EP，所以COOAPEEA，所以EOPC.又因为PC平面PBC，EO平面PBC，所以EO平面PBC.(14分)【关联2】、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CACB，AA1AB，D是AB的中点(1) 求证：BC1平面A1CD；(2) 若
15、点P在线段BB1上，且BPBB1，求证：AP平面A1CD.【解析】 (1)连结AC1，交A1C于点O，连结OD.因为四边形AA1C1C是矩形，所以O是AC1的中点. (2分)在ABC1中， O，D分别是AC1，AB的中点，所以ODBC1. (4分)又因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(6分)(2) 因为CACB，D是AB的中点，所以CDAB又因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC侧面AA1B1B，交线为AB，CD平面ABC，所以CD平面AA1B1B (8分)因为AP平面A1B1BA，所以CDAP. (9分)因为BB1AA1BA ，BPBB1，所以，所以R
16、tABPRtA1AD，从而AA1DBAP，所以AA1DA1APBAPA1AP90，所以APA1D.(12分)又因为CDA1DD，CD平面A1CD，A1D平面A1CD，所以AP平面A1CD.(14分)【关联3】、如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点(1) 求证：PB平面MNC；(2) 若ACBC，求证：PA平面MNC.【解析】 (1) 因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB.(2分)因为MN平面MNC，PB平面MNC, 所以PB平面MNC.(4分)(2) 因为PAPB，MNPB，所以PAMN.(6分)因为ACBC，AMBM，所以CMAB.
17、(8分)因为平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以CM平面PAB. (12分)因为PA平面PAB，所以CMPA. 因为PAMN，MN平面MNC，CM平面MNC，MNCMM，所以PA平面MNC.(14分)【关联4】、如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点(1) 求证：MN平面PAB；(2) 若平面PMC平面PAD，求证：CMAD.【解析】 (1) 如图，取PB的中点E，连结AE，NE.因为E，N分别是PB，PC的中点，所以ENBC且ENBC.因为底面ABCD是平行四边形，M是AD的中点，所以AMBC且A
18、MBC，(3分)所以ENAM且ENAM，四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE，(5分)因为MN平面PAB，AE平面PAB，所以MN平面PAB.(7分)(2) 如图，在平面PAD内，过点A作AHPM，垂足为H.因为平面PMC平面PAD，平面PMC平面PADPM，因为AH平面PAD，AHPM，所以AH平面PMC，从而AHCM.(10分) 因为PA平面ABCD，CM平面ABCD，所以PACM.(12分)因为PAAHA，PA，AH平面PAD，所以CM平面PAD，因为AD平面PAD，所以CMAD.(14分)例3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱BC上一点(1) 若ABAC，D为棱BC的
19、中点，求证：平面ADC1平面BCC1B1；(2) 若A1B平面ADC1，求的值【解析】： (1) 因为ABAC，点D为BC中点，所以ADBC.(2分)因为ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1平面ABC.因为AD平面ABC，所以BB1AD.(4分)因为BCBB1B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1. 因为AD平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B1.(6分)(2) 连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点(8分)因为A1B平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1平面A1BCOD，所以A1BOD.(12分)因为O为AC1中点，
20、所以D为BC中点，所以1.(14分)【变式1】、如图，在四面体ABCD中，ABACDBDC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且.(1) 若EF平面ABD，求实数的值；(2) 求证：平面BCD平面AED.【解析】 (1) 因为EF平面ABD，EF平面ABC，平面ABC平面ABDAB，所以EFAB.(3分)又E是BC的中点，点F在线段AC上，所以F为AC的中点由得.(6分)(2) 因为ABACDBDC，E是BC的中点，所以BCAE，BCDE.(9分)又AEDEE，AE，DE平面AED，所以BC平面AED.(12分)而BC平面BCD，所以平面BCD平面AED.(14分)【变式2】、如图，在四棱锥
21、PABCD中，ADCDAB，ABDC，ADCD，PC平面ABCD.(1) 求证：BC平面PAC；(2) 若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PNPB的值 【解析】 (1) 连结AC.不妨设AD1.因为ADCDAB，所以CD1，AB2.因为ADC90，所以AC，CAB45.在ABC中，由余弦定理得BC，所以AC2BC2AB2.所以BCAC.(3分)因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC.(5分)因为PC平面PAC，AC平面PAC，PCACC，所以BC平面PAC.(7分)(2) 因为ABDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，所以AB平面CDMN.(9分
22、)因为AB平面PAB，平面PAB平面CDMNMN，所以ABMN.(12分)在PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PNPB的值为.(14分)【关联1】、 如图，在三棱锥PABC中，D为AB的中点(1) 与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由；(2) 若PAPB，且锐角三角形PCD所在平面与平面ABC垂直，求证：ABPC.【解析】(1) E为AC的中点理由如下：平面PDE交AC于点E，即平面PDE平面ABCDE，而BC平面PDE，BC平面ABC，所以BCDE.(4分)在ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC的中点(7分)(2) 因为PAPB
23、，D为AB的中点，所以ABPD，如图，在锐角三角形PCD所在平面内过点P作POCD于点O，因为平面PCD平面ABC，平面PCD平面ABCCD，所以PO平面ABC.(10分)因为AB平面ABC，所以POAB.又POPDP，PO，PD平面PCD，所以AB平面PCD.又PC平面PCD，所以ABPC.(14分)【关联2】、 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PBPD.(1) 求证：BDPC； (2) 若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BCl.【解析】 (1) 如图，连结AC，交BD于点O，连结PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC.(2分)又因为O为BD的中点，PBPD，所以BDPO.(4分)又因为ACPOO，所以BD平面APC.又因为PC平面APC，所以BDPC.(7分)(2) 因为四边形ABCD为菱形，所以BCAD.(9分)因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.(11分)又因为BC平面PBC，平面PBC平面PADl.所以BCl.(14分)【关联3】、如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC平面ABC.(1) 若ABBC，CPPB，求证：CPPA：(2) 若过点A作直线l平面ABC，求证：l平面PBC.16