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1、目录 上页 下页 返回 结束 6.3 函数的最大（小）值最大（小）值6.2 函数的极值函数的极值第六节函数性态的研究 第二二章 6.1 函数的单调性函数的单调性6.4 函数的凸性函数的凸性目录 上页 下页 返回 结束 函数单调性的判定法函数单调性的判定法定理定理 6.1 设在 I 上连续，在I 内可导,则下述命题成立：（1）在 I 上单调增 的充要条件是在I 内（2）若在I 内在 I 上严格单调增 .（减）（减）则目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1)充分性任取由拉格朗日中值定理得在 I 上单调增(2)必要性在 I 上单调增（减）.对I内的任何 ，仍在 I 内则有因此，（减）.设取使目录
2、上页 下页 返回 结束 从而目录 上页 下页 返回 结束 例例1.确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明时,成立不等式证证:令从而因此且证明 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明：当 证证:令则内，上严格单调减，从而在或因此原不等式成立.时,由于在故在内在 内严格单调减，得由此又知目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:在其中当时,(1)则称 为 的极大值
3、点极大值点,称 为函数的极大值极大值;(2)则称 为 的极小值点极小值点,称 为函数的极小值极小值.极大值点与极小值点统称为极值点极值点.6.2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如例如,为极大值点,是极大值 是极小值 为极小值点,函数目录 上页 下页 返回 结束 由费马定理（定理4.1）知，使的点称为的驻点.可导函数的极值点必定是它的驻点.但是，反过来不一定成立.例如，是的驻点但不是的极值点.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理
4、 6.2(极值第一判别法极值第一判别法)设函数在的某邻域内可导，并且（1）若时，时，则在处取极大值;（2）若时，时，则在处取极小值;（3）若在的左右两侧符号不变，在则处不取极值.目录 上页 下页 返回 结束 注：不可导点也可能是函数的极值点.例如，函数在点 x=0处不可导，但函数在该点取得极小值.由定理6.2，我们得到确定函数极值的第一种方法，步骤如下：(1)求出函数 f 在所讨论区间内的所有驻点与不可导点;(2)考察导函数在各驻点与不可导点左右两侧符号的变化，判定它们是否为 f 的极值点，是极大值点还是极小值点；(3)求出 f 的极值.目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求函数求函数的极值
5、.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.3(极值第二判别法极值第二判别法)证证:(1)由于 f 在处二阶可导，故由带peano余项的二阶Taylor公式得二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.目录 上页 下页 返回 结束 从而有由于右端第二项是第一项的高阶无穷小，因此，在的充分小的邻域内，的符号取决于第一项.所以，若则即f 在取极大值.(2)类似可证.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.36.3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小
6、值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.4(判别法的推广判别法的推广)则:数,且1)当 为偶数时,是极小点;是极大点.2)当 为奇数时,为极值点,且不是极值点.当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证证:利用 在 点的泰勒公式,可得目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,例5中所以不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例
7、如例如:为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.目录 上页 下页 返回 结束 6.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值目录 上页 下页 返回 结束 特别特别:当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解解:显然且故函数在取最小值 0;在及取最大值 5.目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过例例6.求函数说明说明:求
8、最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.目录 上页 下页 返回 结束(k 为某常数)例例7.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运为使货物从B 运到工 20解解:设则令得 又所以 为唯一的极小值点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费厂C 的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?Km,公路,价之比为3:5,目录 上页 下页 返回 结束 6.4 函数的凸性函数的凸性定义6.1（凸函数）设f：IR，若则称 f 为 I 上的凸 函数.若则称 f 为 I 上的严格凸
9、 函数.（凹）（凹）目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.5 设函数 f 在区间 I 上一阶可导，若在 I 上严格单调增则 f 在 I 是(凸）严格凸 的.（单调增）,证：仅证 f 在 I 上是严格凸的结论，关于 f 是凸的证明完全类似.在 I 上严格单调增，设则令则在与上分别用Lagrange定理，存在与使目录 上页 下页 返回 结束 从而有由于故因此，f 是 I 上的严格凸函数.目录 上页 下页 返回 结束 推论推论6.1设函数 f 在区间 I 上二阶可导，若则 f 在 I 是严格凸 的.(凸）定义6.2 连续曲线 y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点.目录 上页 下页 返
10、回 结束 例例8.判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是凸的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,且在 两侧异号异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求曲线的拐点.解解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凸凹目录 上页 下页 返回 结束 对应例例10.求曲线的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上是凸的,是凹的,点(0,1)及均为拐点.凹凸凸目录 上页 下页 返回 结束 利用函数的凸性也可以证明一些不等式.例例11
11、.设与为任意两个实数，且证明不等式证：若 f 为 区间I 上的严格凸函数，则不等式成立.取该式变为因此，只要证明是上的严格凸函数，由上式立即得所证不等式.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上严格单调递增在 I 上严格单调递减2.连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.目录 上页 下页 返回 结束 3.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广定理3目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习上则的大小顺序是()提示提示:利用单调增加,及B1.设在目录 上页 下页 返回 结束 .2.曲线的凸区间是凹区间是拐点为提示提示:及及 ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P159 3（2）（4）;7（1）；8；12（1）（3）；第五节