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1、函数对称性与周期性的联系函数对称性与周期性的联系高三数学组高三数学组 张文根张文根很多同学在研究函数的性质问题时，经常会感觉很多同学在研究函数的性质问题时，经常会感觉函数的性质不够解题。而问题的实质是我们没发函数的性质不够解题。而问题的实质是我们没发现函数的隐含性质。现函数的隐含性质。如：一个函数如果具备两种对称性，如：一个函数如果具备两种对称性，则这个函数一定是一个周期函数则这个函数一定是一个周期函数例：已知函数f(x)的图象关于x=a和x=b轴对称(ab)，求函数f(x)的周期。两对称轴型两对称轴型由题意知：f(a-x)=f(a+x)(1)f(b-x)=f(b+x)(2)在（1）式中令x=
2、x+a得f(-x)=f(2a+x)(3)在（2）式中令x=x+b得f(-x)=f(2b+x)(4)由（3）、（4）知：f(2a+x)=f(2b+x)再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)所以f(x)的周期为T=2b-2a.例：已知函数f(x)的图象关于(a,0)和(b,0)对称(ab)，求函数f(x)的周期。两对称中心型两对称中心型由题意知：f(a-x)=-f(a+x)(1)f(b-x)=-f(b+x)(2)在（1）式中令x=x+a得f(-x)=-f(2a+x)(3)在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)(4)由（3）、（4）知：-f(2a+x)=-f(2b+
3、x)再令上式中x=x-2a得：f(x)=f(x+2b-2a)所以f(x)的周期为T=2b-2a.例：已知函数f(x)的图象关于x=a和(b,0)对称(ab)，求函数f(x)的周期。一对称轴一对称中心型一对称轴一对称中心型由题意知：f(a-x)=f(a+x)(1)f(b-x)=-f(b+x)(2)在（1）式中令x=x+a得f(-x)=f(2a+x)(3)在（2）式中令x=x+b得f(-x)=-f(2b+x)(4)由（3）、（4）知：f(2a+x)=-f(2b+x)再令上式中x=x-2a得：-f(x)=f(x+2b-2a)在-f(x)=f(x+2b-2a)中，令x=x+2b-2a得：f(x+2b-
4、2a+2b-2a)=-f(x+2b-2a)=f(x)所以f(x)的周期为T=4b-4a.通过本节课的学习，你知道函数的对称性和周期性间的通过本节课的学习，你知道函数的对称性和周期性间的关系了吗？关系了吗？一个函数如果具备两种对称性，则这个函数一定是一个函数如果具备两种对称性，则这个函数一定是一个周期函数。一个周期函数。1、函数、函数f(x)图象关于图象关于x=a和和x=b对称对称(ab),则则f(x)的的周期为周期为2(b-a)2、函数、函数f(x)图象关于图象关于(a,0)和和(b,0)对称对称(ab),则则f(x)的周期为的周期为2(b-a)3、函数、函数f(x)图象关于图象关于x=a和和(b,0)对称对称(ab),则则f(x)的周期为的周期为4(b-a)