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1、第四章 留 数一、重点与难点二、内容提要三、典型例题第四章 留 数一、重点与难点二、内容提要三、典型例题 一、重点与难点重点：重点：难点：难点：留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用留数定理在定积分计算上的应用二、内容提要留数留数计算方法计算方法可去奇点可去奇点孤立奇点孤立奇点极点极点本性奇点本性奇点函数的零点与函数的零点与极点的关系极点的关系留数定理留数定理留留数数在在定定积积分分上上的的应应用用1）定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析,但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析,则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.1.孤立奇点的概念与分类孤
2、立奇点孤立奇点奇点奇点2）孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点可去奇点;ii)极点极点;iii)本性奇点本性奇点.定义定义 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,那末那末孤立奇点孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.i)可去奇点ii)极点极点 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成极点的判定方法极点的判定方法在点在
3、点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.(a)由定义判别由定义判别(b)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(c)利用极限利用极限判断判断.如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,注意注意:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为iii)本性奇点i)零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正
4、整数,那末那末称为称为的的 m 级零点级零点.3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系零点与极点的关系如果如果是是的的 m 级极点级极点,那末那末就是就是的的 m 级零点级零点.反过来也成立反过来也成立.2.留数记作记作定义定义 如果如果的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以1)留数定理留数定理 设函数设函数在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那末那末立奇点立奇点留数定理
5、将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数积分转化为求被积函数在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.(1)如果如果为为的可去奇点的可去奇点,则则如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末 a)(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,则需将则需将成洛朗级数求成洛朗级数求展开展开(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则2)留数的计算方法 c)设设及及在在如果如果那末那末为一级极点为一级极点,且有且有都解析，都解析，如果如果 为为 的的 级极点级极点,那末那末b)3.留数在定积分计算上的应用1）三角函数有理式的积分）三角函数有理式的积分当当历经变程历
6、经变程时时,z 沿单位圆周沿单位圆周的的正方向绕行一周正方向绕行一周.2）无穷积分3）混合型无穷积分）混合型无穷积分 特别地三、典型例题解解解解例例2 2 求函数求函数 的奇点，并确的奇点，并确定类型定类型.解解是奇点是奇点.是二级极点是二级极点;是三级极点是三级极点.例例3 3 证明证明 是是 的六级极点的六级极点.证证例例4 4 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.解解(1)在在 内内,解解解解为奇点为奇点,当当 时时 为一级极点，为一级极点，例例5 5 计算积分计算积分 为一级极点，为一级极点，为七级极点为七级极点.解解由留数定理得由留数定理得例例6 6 解解在在 内内,解解例例7 7 计算计算 例例8 8 计算计算解解令令极点为：极点为：例例9 计算积分计算积分解解极点为极点为其中其中由留数定理，有由留数定理，有例例1010 计算积分计算积分解解在上半平面内有一级极点在上半平面内有一级极点