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1、相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质本课内容本节内容3.43.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 在八年级上册，在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来研究下述问题来研究下述问题.动脑筋动脑筋如图，在如图，在ABC中，中，D 为为AB上任意一点上任意一点.过点过点D作作BC的平行线的平行线DE，交，交AC于点于点E.（1）ADE与与ABC的三个角分别相等吗的三个角分别相等吗？（
2、2）分别度量）分别度量ADE 与与ABC 的边长，它们的边的边长，它们的边 长是否对应成比例？长是否对应成比例？（3）ADE 与与ABC之间有什么关系？平行移动之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？的位置，你的结论还成立吗？我发现只要我发现只要DEBC，那，那么么ADE 与与ABC是相是相似的似的 在在ADE与与ABC中，中，A=A.DEBC，ADE=B，AED=C.下面我们来证明：下面我们来证明：如上图所示，过点如上图所示，过点D作作DFAC，交交BC于点于点F.DEBC，DFAC，F 四边形四边形DFCE为平行四边形为平行四边形，DE=FC.ADEABC.F结论结论平行于三
3、角形一边的直线与其他两边相交，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似截得的三角形与原三角形相似.由此得到如下结论：由此得到如下结论：举举例例例例1 如图，在如图，在ABC 中，已知点中，已知点D，E分别是分别是AB，AC边的中点边的中点.求证：求证：ADE ABC.ADE ABC.证明证明 点点D，E分别是分别是AB，AC边的中点边的中点，DEBC.举举例例例例2 如图，点如图，点D为为ABC的边的边AB的中点，过点的中点，过点D作作DEBC，交边，交边AC于点于点E.延长延长DE至点至点F，使，使DE=EF.求证：求证：CFEABC.证明证明 DEBC，点点D为为A
4、BC的边的边AB的中点，的中点，AE=CE.又又 DE=FE，AED=CEF，ADE CFE CFEABC DEBC，ADEABC，练习练习如图，在如图，在RtABC中，中，C=90正方形正方形EFCD的三个顶点的三个顶点E、F、D分别在边分别在边AB，BC，AC 上上.已知已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长，求正方形的边长1.解解ADEACB.由已知条件易知由已知条件易知BCED,由相似三角形由相似三角形的判定定理可得的判定定理可得 设设正方形正方形EFCD的边长的边长为为x,则有则有答：答：正方形正方形EFCD的边长的边长为为3.解得解得 如图，已知点如图，已知点O在四边形在四边形
5、ABCD 的对角线的对角线AC上，上，OEBC，OFCD.试判断四边形试判断四边形AEOF与四边与四边形形ABCD是否相似，并说明理由是否相似，并说明理由.2.解解 AEOABC，AFOADC.又又 四边形四边形AEOF四边形四边形ABCD.解解OEBC，OFCD，解解 解解动脑筋动脑筋任意画任意画ABC 和和 ，使，使A=，B=.（1）C=吗吗？（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应 成比例成比例？（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现由此你有什么发现？我发现这两个三角形是相似的我发
6、现这两个三角形是相似的.在在 的边的边 上截取点上截取点D，使，使 =AB.过点过点D作作DE ，交，交 于点于点E.下面我们来证明：下面我们来证明：DE如图，在如图，在ABC 与与 中，中，已知已知 ，B=.A=在在ABC 与与 DE 中，中，=AB，=B，A=又又 DEBC，ABCABC结论结论由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似.举举例例例例3 3 如图，在如图，在ABC 中，中，C=90从点从点D分别作分别作边边AB，BC的垂线，垂足分别为点的垂线，垂足分别为点E，F，DF与与AB交交于点于点H求证：求证：
7、DEHBCA举举例例证明证明 C=90，DFBC，BHF=A，DHE=A.又又 DEH=90=C，DFAC.DEH BCA（两角分别相等的两个两角分别相等的两个三角形相似三角形相似.)举举例例例例4 4 如图，在如图，在RtABC 与与RtDEF中，中，C=90，F=90若若A=D，AB=5，BC=4，DE=3，求，求EF的长的长例例4 4 EF=2.4.ABC DEF.又又 AB=5，BC=4，DE=3，C=90，F=90，A=D，解解练习练习 如图，点如图，点E为平行四边形为平行四边形ABCD的边的边BC延长延长线上一点，连接线上一点，连接AE，交，交CD于点于点F.请指出图请指出图中有几
8、对相似三角形，并说明理由中有几对相似三角形，并说明理由.1.答：有三对相似三角形答：有三对相似三角形.即即CEFBEA.ADFEBA,ADFECF,理由是每组三角形中有两个角分别相等理由是每组三角形中有两个角分别相等.RtABC Rt ACD.解解 ACB+A=90，ACB+ECD=90，2.如图，如图，ABBD，EDBD，点，点C是线段是线段BD 的中点，且的中点，且ACCE.已知已知ED=1，BD=4，求求AB的长的长 A=ECD.任意画任意画ABC 和和 ，使，使A=A，（1）分别度量）分别度量B和和 ，C和和 的大小，它的大小，它 们分别相等吗们分别相等吗？（2）分别量出）分别量出BC
9、和和 的长，它们的比等于的长，它们的比等于k吗吗？（3）改变）改变A或或k的大小，你的结论相同吗的大小，你的结论相同吗？由此你由此你 有什么发现有什么发现？动脑筋动脑筋我发现这两个三角形是相似的我发现这两个三角形是相似的.在在 的边的边 上截取点上截取点D，使，使 =AB.过点过点D作作DE ，交，交 于点于点E.下面我们来证明：下面我们来证明：DE如图，在如图，在ABC 与与 中，中，已知已知 A=A，DE ，又又 =AC.ABC ABC.ADE ABC.结论结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.结论结论由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的
10、判定定理2：例例5 5举举例例 如图，在如图，在ABC与与DEF中，已知中，已知C=F=70，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：求证：ABC DEF.例例5 5举举例例证明证明 AC=3.5 cm，BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm，又又 C=F=70，ABC DEF（两边成比例且夹角相等（两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似）的两个三角形相似）.例例6举举例例 如图，在如图，在ABC中，中，CD是边是边AB 上的高，上的高，且且 求证：求证：ACB=90.证明证明 CD是边是边AB 上的高上的高，ADC=CDB=90.又又
11、 ACDCBD.ACD=B.ACB=ACD+BCD=B+BCD=90.练习练习如图，如图，在四边形在四边形ABCD中，中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求，求AD的长的长1.解解 ABC ACD.B=ACD,又又如图，点如图，点B，C分别在分别在ADE 的边的边AD，AE上，上，且且AC=6，AB=5，EC=4，DB=7.求证：求证：ABCAED2.证明证明 CAB=DAE,又又 ABCAED动脑筋动脑筋 任意画两个三角形任意画两个三角形ABC 和和 ，使，使ABC的的边长是边长是 的边长的的边长的k倍倍.分分别度量别度量A和和 ，B和和 ，C和和 的大小，的大小，它
12、们分别相等吗它们分别相等吗？由此你有什么发现由此你有什么发现？我发现这两个三角形我发现这两个三角形是相似的是相似的在在 的边的边 上截取点上截取点D，使，使 =AB.过点过点D作作DE ，交，交 于点于点E.如图，在如图，在ABC 与与 中，中，已知已知下面我们来证明：下面我们来证明：DE ABC DE 又又 =AB，DEABC 结论结论三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似.由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理3：举举例例例例7 7如图，在如图，在RtABC 和和Rt 中，中，C=90，=90，求证：求证：RtABCRt分析分析 已知两边成比例，只要得到三边
13、成比例，已知两边成比例，只要得到三边成比例，即可完成证明即可完成证明.则则证明证明设设由勾股定理，得由勾股定理，得 RtABCRt（三边成比例的两个（三边成比例的两个三角形相似）三角形相似）判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由.举举例例例例8 8解解在在ABC中，中，ABBCCA，在在DEF中，中，DEEFFD，DEFABC.练习练习如图，已知点如图，已知点D，E，F分别是分别是ABC 三边的中点，三边的中点，求证：求证：EDFACB.1.即即DF、DE、EF是是ABC的三条的三条中位线，中位线，证明证明 点点D，E，F分别是分别是ABC 三边的
14、中点，三边的中点，EDFACB.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.2.解解在在 中，由勾股定理得中，由勾股定理得在在ABC中，中，在在ABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得 三角形相似）三角形相似）（三边成比例的两个（三边成比例的两个 三角形相似）三角形相似）ABC 三角形相似）三角形相似）中考中考 试题试题例例1 如图所示，已知如图所示，已知ACP ABC，AC=4，AP=2，则则AB的长为的长为 .8解解因为因为ACP ABC，所以所以 ，所以所以 BACP中考中考 试题试题例例2 已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，DEF的一边长为的一边长为4cm，当，当DEF的另两边长是下的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（列哪一组时，这两个三角形相似（）.A.2cm，3cm；B.4cm，5cm；C.5cm，6cm；D.6cm，7cm.C解解因因 ABC的三边长分别为的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm,若若DEF的三边长分别为的三边长分别为4cm，5cm，6cm,则有则有故应选择故应选择C.结结 束束