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1、第七章 模糊集理论在可靠性工程中的应用一、随机性与模糊性 现实生活和工程中的现象，存在着许多不确定性，这些不确定主要表现为两种类型：随机性与模糊性。随机性：是指事件本身有明确含义，只是由于发生的条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现确定的因果关系。换言之，结果明确，但是这样的结果是否发生不能确定，在某种程度上说出现与否是不可预测的。数理统计就是描述了涉及一个事件是否发生的不确定性，数理统计方法能较好反映了“一因多果”的随机性。随机性也可称为偶然性，它是用随机模型来描述。在可靠性分析中它是用符合某种分布的随机量来模拟的。模糊性：是指事物概念本身是模糊的，即任一个对象是否符合这个概念难以确定。也
2、就是说概念内涵模糊，边界不清楚，在质上没有确切的含义，在量上没有明确的界限。对于随机性是采用概率论方法来研究其不确定性。对于模糊性就必须用模糊集理论来研究对象本身不明确的不确定性及产生的不明确性。二、模糊集的概念及其运算 1.模糊集的概念 Zadeh(扎德）首先引入模糊集的概念，其基本思想是把普通集合中的绝对隶属关系灵活化，使元素对集合的隶属度从只能取0，1中的值扩充为可以取区间0，1中的任一数值，具体地说，我们有以下定义：定义：论域x上的一个模糊子集A完全被一个映射 所决定，并称 为A的隶属函数。称为x对于A的隶属度。模糊子集A也称模糊集。隶属度的概念：就是从0，1闭区间内给模糊子集 模糊集
3、通常用下面带波浪号的大写字母来表示，例如 等。中每一个元素 一个相应的数字 用以表示 对于模糊子集 的隶属程度。对于有限论域中的模糊子集（模糊集）可表示为：若 ，则X的模糊子集A可表示为：式中表示 属于A的隶属度；X为论域；“/”下面记的是X中的各元素，上面记的是元素隶 属度。“+”表示X中的各元素和它的隶属度的总括。“A”是普通集合（亦称为论域）中的一个模糊子集。对于一般的论域（包括有限论域和无限论域），扎德给出另一种记法：式中是一种记号不是积分，它们表示X中各个元素及其隶属度的总括。由此可见，原先，是否隶属于集合是模糊不清的，但是通过隶属度将原来具有的不确定性（即模糊性）在形式上转化为确定
4、性，即确定其隶属于A的程度，采用不同确定的隶属度来表达模糊性。2.模糊集的运算下面将普通集合的并，交，余运算推广到模糊集中。隶属度值为 对于所有 。有设A，B为论域X上的一个模糊子集，它们分别具有以下关系：（2）A是B的一个余集，（1）（3）空模糊集定义为：（4）对于X中每一个元素x，都有 则说A包含B，记作 ，反之，称为B包含A，如果 且 ，则说A与B相等，记作A=B。（5）设A,B是论域X上的两个模糊子集，规定A与B 的并 集用 表示，其隶属函数为 ，并且对于X的每一元素x有隶属度为（6）A、B两个模糊子集的交集用 表示，其隶属函数 为并有或式中 表示最小。称为扎德算子。三、模糊关系与模糊
5、矩阵1.二元模糊关系模糊关系的应用是很广泛和重要的，首先看普通二元关系，设X，Y是任意两个普通集合，令称集合 为X，Y的笛卡尔求积，简称卡氏积。由此可见，卡氏积 是普通集合X和Y的元素之间的无约束搭配。例2.1 设所以 一般 如果对集合X，Y的元素之间的搭配施加某种限制，这时构成的集合是 的一个子集具有某种特殊的性质，其性质的内容。包含于搭配的限制之中，它反映X，Y是两个非空集合，的子集R称为X到Y的一个二元关系，记作：当 时，称x与y元素有关系R，记作 ；当 时，称x与y元素没有关系R，记作 。这里仅讨论二元关系，简称之为关系。类似的，将X，Y上的模糊关系定义为卡氏积 的一个模糊子集，假设A
6、与B分别为X，Y论域上的一个模糊关系R，其中 ，R的隶属度为：同样的定义二元模糊关系：设X，Y是两个非空集合，的一个模糊子集R称为X到Y的一个二元模糊关系，记作：模糊关系R由其隶属函数 所完全决定。若设X，Y分别为有限集合 则 卡氏积中模糊关系R可用以下 矩阵表示：这种表示模糊关系的矩阵成为模糊矩阵，由于隶属函数 取0，1中的值，所以，模糊矩阵的分量也取0，1中的值。采用合成运算进行相互组合可以得到不同积空间中的模糊关系，已研究了不同的合成型式，而max-min合成已成空间最普遍的一种型式。定义：设X，Y，Z是三个论域，是X到Y的一个模糊关系，是Y到Z的一个模糊关系，则 的最大-最小合成记为
7、，指的是X到Z的一个模糊关系，它具有隶属函数为：当R是 的模糊关系时，记2.模糊矩阵模糊关系也可用矩阵来定义，模糊矩阵是应用Boolen矩阵发展而来的，并采用扎德算子来进行计算的。令 是两个模糊矩阵，其中则：（1）(2)(3)(4)(5)四、隶属函数的确定模糊集理论中的主要隶属函数，它作为结果将模糊性在形式上转化为确定性，它是在数量上表示之隶属于一个集合中的程度，在任何情况下它可以被主观的确定，因此在一定程度上具有主观性和经验性。隶属函数在模糊集理论中的地位是十分重要的。其地位不亚于概率分布函数的理论与应用研究工作那样成熟。以下仅介绍几种典型的隶属函数形式：1.正态型2.戒上型（偏小型）（1）
8、降半Cauchy型式中（2）降岭形型式中3.戒下型（偏大型）（1）升半Cauchy型（2）升半正态型式中 式中4.降半型（1）降半Cauchy型式中（2）降半正态型式中五、语言变量 语言变量与数值变量所不同的是它的值不是数而是自然语言。本节介绍从自然语言出发，建立自然语言的数学模型。凡是语言，都是用一定的词去表示一定的意义，语言的词与义的对应关系叫作它的语言。语义。语义的中心问题是要得出一组规则，以此作为算法，通过各基本词的已知含义计算出合成词的含义。1971年扎德是通过语言变量解决了这个问题。单词是自然语言的最小单位，例如，天、地、人、黑、白等。相对于一定的论域x，一类单词构成集合T，语义通
9、过T到x的对应关系 来表达，是一个模糊关系。（2）语言变量：真实，其隶属函数为：式中 称为交差点，并且 是一个表示有关x最小值的主观评判参数，是为了考虑叙述整个真实。把假的隶属函数考虑为真实的映射，因此有：自然语言中，有很多修饰词如“很”、“相当”、“特别”、“有点”等，这些词放在一个单词的前面便调整了这词词义的肯定程度，此时对语言变量的模糊集要进行适当的修改，它的隶属函数可近视地定义为：六、工程模糊综合评判 综合评判是指对多种因素所影响的事物或现象进行总的评价，若这种评价过程涉及模糊问题，便是模糊综合评判。下面详细介绍这种方法。（一）、一级工程模糊综合评判 模糊综合评判的主要步骤如下：1.建
10、立因素集因素集是影响评判对象的各种因素所组成的一个普通集合，即式中 U是因素集，代表各影响因素。这些因素通常都具有不同程度的模糊性。2.建立备择集 备择集是评判者对评判对象可能作出的各种总的评判结果所组成的集合。通常用V表示，即各元素 ，即代表各种可能的总评判结果。模糊综合评判的目的，就是在综合考虑所影响因素的基础上，从备择集中，得出一最佳的评价结果。3.建立权重集 在因素集中，各因素的重要程度是不一样的。为了反映各因素的重要程度，对各个因素 应赋予一相应的权数 由各权数所组成的集合：称为因素权重集，简称权重集。通常，各权数 ，应满足归一性和非负性条件：它们可视为各因素 对“重要”的隶属度。因
11、此，权重集可视为因素集上的模糊子集，并可表示为：各个权数，一般由人们根据实际问题的需要主观地确定，也可按确定隶属度的方法加以确定。同样的因素，如果取不同的权数，评判的最后结果也将不同。4.单因数模糊评判 单独从一个因素出发进行评判，以确定评判对象对备择集元素的隶属程度，便称为单因素模糊评判。设评判对象按因素集中的第 个因素 进行评判，对备则集中的第 个元素 的隶属度为 ，则按第 个因素 评判的结果，可用模糊集合：来表示，称为单因素评判集。显然，它应是备择集V上的一个模糊子集，可简单地表示为：同理，可得相应于每个因素的单因素评判集如下：将各单因素评判集的隶属度为行组成的矩阵：称为单因素评判矩阵。
12、显然，为一模糊矩阵。单因素评判集，实际上可视为因素集 U和备择集V之间的一种模糊关系，即影响因素与评判对象之间“合理关系”。因此，单因素评判集又可表示为：其中，为卡氏积 的 元素 ；表示 和 之间隶属“合理关系”的程度，即按 评判时，评判对象取 的合理程度。因此，单因素评判矩阵 ，又可视为从U到V的模糊关系矩阵。5.模糊综合评判 单因素模糊评判，仅反映了一个因素对评判对象的影响。这显然是不够的。我们的目的是要综合考虑所有因素的影响，得出科学的评判结果，这便是模糊综合评判。怎样考虑所有因素的影响呢？从单因素评判矩阵 可以看出：的第 行，反映了第 个因素影响评判对象取各个备择元素的程度；的第 列，
13、则反映了所有因素影响评判对象取第 个备择元素的程度。因此，可用各列元素之和，来反映所有因素的综合影响。但是，这样做并未考虑各个因素的重要程度。如果在 式的各项作用以相应因数的权数 ，则便能合理地反映所有因素的综合影响。因此，模糊综合评判，可表示为，权重集 可视为一行m列的模糊矩阵，上式可按模糊矩阵乘法进行运算，上式中 称为模糊综合评判集；称为模糊综合评判指标，简称评判指标。的含义是：综合考虑所有因素的因素的影响时，评判对象对备择集中第 个元素的隶属度6.评判指标的处理 得到评判指标 之后，便可根据以下各种方法确定评判对象的具体结果。（1）最大隶属度法 取与最大的评判指标 相对应的备择元素 为评
14、判的结果，即 最大隶属度法仅考虑了最大评判指标的贡献，舍去了其他指标所提供的信息，这是很可惜的；另外，当最大的评判指标不止一个时，用最大隶属度法便很难决定具体的评判结果。因此，通常都采用加权平均法。（2）加权平均法 取以 为权数，对各个备择元素 进行加权平均的值为评判的结果，即如果评判指标 已归一化，则 如果评判对象是数值性量（如安全系数），则按最大隶属度法或加权平均法取值，便是对该量模糊综合评判的结果，如果评判对象是非数性量，如评判某技术计划实施的难易程度，则备择集将是：此时，无法应用上述加权平均法，而只能用最大隶属度法。若仍要加权平均法，则需将备择元素（十分容易，容易，颇困难，十分困难）这
15、种非数性量数性化，即分别用一适当的数字来表示它们。（3）模糊分布法 这种直接把评判指标作为评判结果，或将评判指标归一化，用归一化的评判指标作为评判结果。归一化的具体作法如下：先求各评判指标之和，即再用原来的各个评判指标除以b，得归一化的模糊综合评判集：上式中 为归一化的模糊综合评判集；为归一化模糊综合评判指标，即各个评判指标，具体反映了评判对象在所评判的特征方面的分布状态，使评判者对评判对象有更深入的了解，并能作各种灵活的处理。一级模糊综合评判是模糊综合评判的最基本形式。对于比较简单的问题，通过它可得到较科学的结果。但是，对于复杂的问题，由于要考虑很多因素，各因素往往又有不同层次，如果也采用一
16、级模糊综合评判，就不能解决具有多层次的综合评判问题，此时要采用二级（或多级）工程模糊综合评判法。七、风险分析 模糊集理论虽然比较新，其计算方法还在发展，但在工程中具有各种应用，例模糊集应用于工程设计，结构优化，结构损伤评定，安全分析，风险分析，结构失效分析等等。本节将介绍结构或装置的风险分析。在传统方法中风险值的计算是建立在重要度等级和一简单标量或加权因子乘积的基础上，这积称为风险得分。根据风险得分，专家们作出判断并着手进行具体的措施以减少现有的风险。事实上，一个风险得分不能概括一种危险的所有含义，风险是一种模糊概念。由Karwowski和Mital（1986）建议风险平定的三种因子。（1）一些危险事件将发生的可能性；（2）特殊危险情况的暴露；（3）危险事实确实将要发生的可能的结论。假设语义和有关建议的论域定义为：暴露可能结论风险如果模糊语言值为：暴露可能结论风险其中 V是模糊语言值，而 是隶属函数，则模糊关系为：如果因子和风险改变：暴露可能结论则风险改变为：