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1、学案学案10 10 导数的应用（二）导数的应用（二）名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行 考考 纲纲 解解 读读 导数导数的应的应用用(二二)(1)会利用导数求不超过三次的多项式函数在闭区会利用导数求不超过三次的多项式函数在闭区间上的最大值、最小值，体会导数方法在研究函数间上的最大值、最小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性性质中的一般性和有效性.(2)通过使利润最大、用
2、料最省、效率最高等优化通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用问题，体会导数在解决实际问题中的作用.返回目录返回目录 名师伴你行 从近两年的高考试题看，利用导数研究函数的最值，从近两年的高考试题看，利用导数研究函数的最值，以及利用导数解决实际应用问题是高考的热点，既有填以及利用导数解决实际应用问题是高考的热点，既有填空题，又有解答题，它常常与函数的单调性、函数的极空题，又有解答题，它常常与函数的单调性、函数的极值及与解析几何、不等式、数列综合考查值及与解析几何、不等式、数列综合考查.预测预测2012年高考仍将考查函数的最值或实际应用，年高考仍将考查函数的最值
3、或实际应用，或者与函数的单调性、极值结合起来考查综合题，主要或者与函数的单调性、极值结合起来考查综合题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力考查学生分析问题、解决问题的能力.考考 向向 预预 测测 返回目录返回目录 1.1.函数的最值函数的最值 (1)在闭区间在闭区间a,b上连续的函数上连续的函数f(x)在在a,b上上必有最大值与最小值必有最大值与最小值.(2)若函数若函数f(x)在在a,b上单调递增上单调递增,则则 为函数的最小值为函数的最小值,为函数的最大值为函数的最大值;若函数若函数f(x)在在a,b上单调递减上单调递减,则则 为函数的最大值为函数的最大值,为函数的最小值为函数的最小值.
4、名师伴你行f(a)f(b)f(a)f(b)返回目录返回目录 (3)设函数设函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,求求y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下上的最大值与最小值的步骤如下:求函数求函数y=f(x)在在(a,b)内的内的 ;将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较比较,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.名师伴你行极值极值 返回目录返回目录 2.实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利
5、用导数求出该函数的最大值或最小的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解值，最后回到实际问题中，得出最优解.表示为：表示为：名师伴你行函数建模函数建模考点考点考点考点1 1 函数的最值与导数函数的最值与导数函数的最值与导数函数的最值与导数 名师伴你行2009年高考辽宁卷设年高考辽宁卷设f(x)=ex(ax2+x+1),且曲线且曲线y=f(x)在在x=1处的切线与处的切线与x轴平行轴平行.(1)求求a的值，并讨论的值，并讨论f(x)的单调性；的单调性；(2)证明：当证明：当0,时，时，|f(cos)-f(sin)|2.返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析
6、】(1)f(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1).由条件知，由条件知，f(1)=0,故故a+3+2a=0 a=-1.于是于是f(x)=ex(-x2-x+2)=-ex(x+2)(x-1).故当故当x(-,-2)(1,+)时，时，f(x)0.从而从而f(x)在在(-,-2),(1,+)内单调递减，在（内单调递减，在（-2，1）内单）内单调递增调递增.返回目录返回目录 名师伴你行(2)证明：由证明：由(1)知知f(x)在在0,1上单调递增，故上单调递增，故f(x)在在0,1上的最大值为上的最大值为f(1)=e，最小值为，最小值为f(0)=1.从而对任意从而对任意x1,x20,1，有，有|f(x1
7、)-f(x2)|e-12.而当而当0,时，时，cos,sin0,1.从而从而|f(cos)-f(sin)|0).试问当试问当x取何值时，容积取何值时，容积V有最大值有最大值?名师伴你行返回目录返回目录 V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x.t,0 x .函数函数V=V(x)=4x(a-x)2的定义域为的定义域为 .显然显然 0,得得0 xa，此时，此时V(x)为增函数；由为增函数；由V0，得，得 xa，此时，此时V（x）为减函数）为减函数.名师伴你行返回目录返回目录 当当 ，即，即t 时，时，在在x=时，时，V有最大值有最大值 a3;当当 ,即即0t0求出其单调递求出其单调递增区间，从而求
8、得单调递减区间，再利用增区间，从而求得单调递减区间，再利用f(x)的草图确的草图确定定m的取值的取值.【解析】【解析】（1）f(x)=3x2-3a=3(x2-a).当当a0,当当a0时，由时，由f(x)0解得解得x ，由由f(x)0解得解得-x0时，时，f(x)的单调增区间为的单调增区间为(-,-)，（，（,+）,f(x)的单调减区间为（的单调减区间为（-,）.名师伴你行返回目录返回目录 (2)f(x)在在x=-1处取得极值，处取得极值，f(-1)=3(-1)2-3a=0.a=1.f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由由f(x)=0解得解得x1=-1,x2=1,由（由（1）中）中f
9、(x)的单调性可知，的单调性可知，f(x)在在x=-1处取得极处取得极大值大值f(-1)=1，在，在x=1处取得极小值处取得极小值f(1)=-3.直线直线y=m与函数与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，的图象有三个不同的交点，又又f(-3)=-191,结合结合f(x)的单调性可知的单调性可知m的取值范围是的取值范围是(-3,1).名师伴你行返回目录返回目录 （1）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，研究曲线的交点问题，考查运算能力单调性与极值，研究曲线的交点问题，考查运算能力及综合运用知识的能力及综合运用知识的能力.（2）近几年高考
10、题目，对导数的应用考查得很频）近几年高考题目，对导数的应用考查得很频繁，可直接应用于对某一类函数性质的研究，也可以繁，可直接应用于对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根、不等式的解等综合问题，填空、解答联系方程的根、不等式的解等综合问题，填空、解答等题型很全面等题型很全面.特别是利用导数来解决函数的单调性与特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题已成为高考的热点最值问题已成为高考的热点.既有填空题，侧重于利用既有填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，也有解答题，侧重于导数确定函数的单调性和极值，也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综导数的综合应用，即导数
11、与函数、数列、不等式的综合应用合应用.名师伴你行返回目录返回目录 已知已知mR，函数，函数f(x)=(x2+mx+m)ex.（1）若函数）若函数f(x)没有零点，求实数没有零点，求实数m的取值范围；的取值范围；（2）若函数）若函数f(x)存在极大值，并记为存在极大值，并记为g(m)，求，求g(m)的的表达式；表达式；（3）当）当m=0时，求证：时，求证：f(x)x2+x3.名师伴你行返回目录返回目录 【解析】【解析】（1）令）令f(x)=0，得，得(x2+mx+m)ex=0,x2+mx+m=0.函数函数f(x)没有零点，没有零点，=m2-4m0.0m2时，则时，则-m-2,名师伴你行返回目录返
12、回目录 x(-,-m)m(-m,-2)-2(-2,+)f(x)+0-0+f(x)me-m(4-m)e-2当当x=-m时，时，f(x)取得极大值取得极大值me-m,当当m=2时，时，f(x)=（x+2）2ex0，f(x)在在R上为增函数，上为增函数，f(x)无极大值无极大值.当当m-2，当当x=-2时，时，f(x)取得极大值（取得极大值（4-m）e-2,me-m,m2,(4-m)e-2,m0时，时，j(x)0，j(x)为增函数，为增函数，当当x0时，时，j(x)0,j(x)为减函数为减函数.当当x=0时，时，j(x)取得最小值取得最小值0.j(x)j(0)=0.ex-1-x0.ex1+x.x2e
13、xx2+x3,即即f(x)x2+x3.名师伴你行返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.1.函数的最值函数的最值函数的最值函数的最值 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，出
14、来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点取得必定是极值最值，最值只要不在端点取得必定是极值最值，最值只要不在端点取得必定是极值最值，最值只要
15、不在端点取得必定是极值.名师伴你行 2.2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 （1 1）分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际）分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际）分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际）分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式问题的数学模型，写出相应的函数关系式问题的数学模型，写出相应的函数关系式问题的数学模型，写出相应的函数关系式y=f(x)y=f(x)；（2 2）求函数的导数）求函数的导数）求函数的导数）求函数的导数f(x)f(x)，解方程，解方程，解方程，解方程f(x)=0f(x)=0；（3 3）比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确）比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确）比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确）比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；定最值；定最值；定最值；（4 4）回到实际问题，作出解答）回到实际问题，作出解答）回到实际问题，作出解答）回到实际问题，作出解答.返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行