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1、12.4 2.4 柯西积分公式柯西积分公式证证DCC2说说说说 明明明明柯西公式将解析函数在任一内点柯西公式将解析函数在任一内点 的值的值 用沿闭合曲线用沿闭合曲线L的的回路积分表示出来回路积分表示出来,解析函数各点的值通过柯西解析函数各点的值通过柯西-黎曼方程互相黎曼方程互相联系联系!3由于由于z0的选取是任意的的选取是任意的,把把z0写成写成z积分变数改用积分变数改用 表示表示公式可写成公式可写成:如果如果f(z)在在L所围区域上存在奇点所围区域上存在奇点,就要考虑挖去奇点后的复通区就要考虑挖去奇点后的复通区域域,在复通区域上在复通区域上f(z)解析解析,柯西公式仍然成立柯西公式仍然成立,
2、将将L理解为所有境界理解为所有境界线线,并且方向取为正向并且方向取为正向.柯西公式适用于柯西公式适用于L所围的内部区域所围的内部区域,也可推广到也可推广到L的外部包含无限的外部包含无限远点的区域远点的区域.柯西公式的一个推论是解析函数可求导任意多次柯西公式的一个推论是解析函数可求导任意多次,由于由于z为区域的为区域的内点内点,积分变数在区域的境界线上积分变数在区域的境界线上,积分号下的函数积分号下的函数在区域上处处可导在区域上处处可导,因此可在积分号下对因此可在积分号下对z求导求导4反复在积分号下求导可得反复在积分号下求导可得推论推论推论推论:模数原理模数原理:设设f(z)在某闭区域上为解析在某闭区域上为解析,则则|f(z)|只能在境界只能在境界线上取极大值线上取极大值.刘维尔定理刘维尔定理:设设f(z)在全平面上解析在全平面上解析,并且有界并且有界,即即则则f(z)必为常数必为常数5解解例例16解解例例27例例3解：1）在C内的z=1处不解析，但 在C内处处解析 2）在C内 处不解析，在C内以i和-i为中心分别作一正向圆周C1，C2，那么函数 在C，C1，C2所围成的区域内是解析的。8由复通区域上的柯西定理同样可得9所以10作业作业作业作业