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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第五章习题课大数定律大数定律一、主要内容一、主要内容中心极限定理中心极限定理切切比比雪雪夫夫定定理理特特殊殊情情况况伯伯努努利利大大数数定定理理辛辛钦钦大大数数定定理理依概率收敛依概率收敛林林德德伯伯格格-勒勒维维定定理理棣棣莫莫弗弗-拉拉普普拉拉斯斯定定理理二、重点与难点二、重点与难点1.重点重点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.2.难点难点证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律.中心极限定理的应用中心极限定理的应用.切比雪夫定理的特殊情况切比雪夫定理的特殊情况定理一的另一种形式定理一的另一种形式(依概率收敛依概率收敛)伯努利大数定理伯努利大
2、数定理辛钦大数定理辛钦大数定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理棣莫弗拉普拉斯中心极限定理棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 设某单位有200台电话机，每台电话机大约有5的时间要使用外线通话，若每台电话机是否使用外线通话是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用。设X表示200200台电话机中同时需要使用外线通话的电话机数，则X Xb(200,0.05)b(200,0.05)，并设安装了k k条外线，依题意为求 PXk0.9PXk0.9 成立的最小正整数。根据中心极限定理有三、典型例题三、典型例题 例例例例1 1 1 1解解
3、:查表得 故该单位至少需要安装14条外线才能以90以上的概率保证每一台电话机需要使用外线时不被占用。现有一批种子现有一批种子,其中良种占其中良种占1/6.今任取今任取6000粒粒,问能以问能以0.99的概率保证在这的概率保证在这6000粒种子中粒种子中良种所占的比例与良种所占的比例与1/6的差不超过多少的差不超过多少?相应的良相应的良种粒数在哪个范围内种粒数在哪个范围内?例例例例2 2 2 2解解:由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理:故近似地有故近似地有:良种粒数良种粒数X的范围为的范围为:第四章第四章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理例例例例3 3 3 3独立同分布独立同
4、分布,解解解解:由辛钦大数定律由辛钦大数定律(取取=1)有有:又显然有又显然有:对足够多的选民进行民意调查，以确定某一候选人的支持率。假定选民中有未知的百分数P支持他，并且他们彼此是独立行动的。问：为了有95的信度预测P的值在4.5的误差幅度内，应至少调查多少人？例例例例4 4 4 4解解:炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.例例例例5 5 5 5解解:设设 X k 表示第表示第 k 次轰击命中的炮弹数次轰
5、击命中的炮弹数相互独立，相互独立，设设 X 表示表示100次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数,则则由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理,有有(1)(2)售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/31/3.令X X 是出售了100100份报时过路人的数目，求 P P(280(280 X X 320 320).).令令Xi 为售出了第为售出了第 i 1 份报纸后到售出份报纸后到售出第第i 份报纸时的过路人数份报纸时的过路人数,i=1,2,100(几何分布几何分布)例例例例6 6 6 6解解:相互独立相互独立,由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理,有有 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.若在若在 8 小时内检查的产品多于小时内检查的产品多于1900个个,即检查即检查1900个产品所用的时间小于个产品所用的时间小于 8 小时小时.设设 X 为检查为检查1900 个产品所用的时间个产品所用的时间(秒秒)设设 Xk 为检查第为检查第 k 个产品所用的时间个产品所用的时间(单单位：秒位：秒),k=1,2,1900例例例例7 7 7 7解解:XkP 10 200.5 0.5相互独立同分布相互独立同分布,