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1、3、的方程的方程(C级级)贝贝*4/22/20231.1.1.1.圆的定义：圆的定义：圆的定义：圆的定义：平平平平面面面面内内内内与与与与定定定定点点点点距距距距离离离离等等等等于于于于定定定定长长长长的的的的点点点点的的的的集集集集合合合合（或或或或轨轨轨轨迹迹迹迹）是是是是圆圆圆圆.定点叫做定点叫做定点叫做定点叫做圆心圆心圆心圆心，定长叫做圆的，定长叫做圆的，定长叫做圆的，定长叫做圆的半径半径半径半径!要点要点疑点疑点考考点点2.2.圆的标准方程：圆的标准方程：圆的标准方程：圆的标准方程：设圆心设圆心设圆心设圆心C(C(a a,b b)，半径为，半径为，半径为，半径为r r，则标准方程为，
2、则标准方程为，则标准方程为，则标准方程为(x x-a a)2 2+(+(y y-b b)2 2=r=r2 2.特殊情形：特殊情形：特殊情形：特殊情形：当圆心在原点当圆心在原点当圆心在原点当圆心在原点(0,0)(0,0)时，圆的方程为时，圆的方程为时，圆的方程为时，圆的方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 23.3.圆的一般方程：圆的一般方程：圆的一般方程：圆的一般方程：当当当当D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0 时时时时,方程方程方程方程x x2 2+y+y2 2+D+Dx x+Ey+F=0+Ey+F=0叫做圆的一般叫做圆的一般叫做圆的一般叫做圆的一般方程方程方程方程.此时圆心为
3、此时圆心为此时圆心为此时圆心为 ,半径半径半径半径4/22/20234.4.4.4.二元二次方程表示圆的充要条件二元二次方程表示圆的充要条件二元二次方程表示圆的充要条件二元二次方程表示圆的充要条件：要点要点疑点疑点考考点点5.5.5.5.圆的参数方程圆的参数方程圆的参数方程圆的参数方程：即即即即(1)(1)x x2 2,y y2 2系数相同，且不等于零；系数相同，且不等于零；系数相同，且不等于零；系数相同，且不等于零；(2)(2)没有没有没有没有xyxy这样的二次项；这样的二次项；这样的二次项；这样的二次项；(3)D (3)D2 2+E+E2 2 4AF04AF0。4/22/20231.1.(
4、2004(2004年年年年高高高高考考考考 重重重重庆庆庆庆）求求求求圆圆圆圆x x2 2+y+y2 2-2 2x x+4y+3=0+4y+3=0的的的的圆圆圆圆心心心心到直线到直线到直线到直线x x-y=1y=1的距离是的距离是的距离是的距离是 _ _ A.2 B.C.1 D.A.2 B.C.1 D.基础题分析基础题分析D4/22/2023基础题分析基础题分析2.2.与点与点与点与点A(A(-1,0)1,0)和点和点和点和点B(1,0)B(1,0)连成直线的斜率之积为连成直线的斜率之积为连成直线的斜率之积为连成直线的斜率之积为-1 1的动点的动点的动点的动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为的轨
5、迹方程为的轨迹方程为_ A.A.x x2 2+y+y2 2=1 B.=1 B.x x2 2-y y2 2=1(=1(x x1)1)C.C.x x2 2+y+y2 2=1(y0)D.y=1=1(y0)D.y=1-x x2 2C4/22/2023基础题分析基础题分析3.3.圆心在直线圆心在直线圆心在直线圆心在直线 2 2x x-y y-7=07=0上的圆上的圆上的圆上的圆C C与与与与y y轴交于两点轴交于两点轴交于两点轴交于两点A(0,A(0,-4)4)，B(0,B(0,-2)2)，则圆，则圆，则圆，则圆C C的方程为的方程为的方程为的方程为_4/22/2023基础题分析基础题分析3.3.圆心在
6、直线圆心在直线圆心在直线圆心在直线 2 2x x-y y-7=07=0上的圆上的圆上的圆上的圆C C与与与与y y轴交于两点轴交于两点轴交于两点轴交于两点A(0,A(0,-4)4)，B(0,B(0,-2)2)，则圆，则圆，则圆，则圆C C的方程为的方程为的方程为的方程为_4/22/2023基础题分析基础题分析4.4.已知点已知点已知点已知点P(P(x x,y),y)为圆为圆为圆为圆 x x2 2+y+y2 2=4=4上的动点，上的动点，上的动点，上的动点，则则则则 x x+y+y 的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为_4/22/2023基础题分析基础题分析4.4.已知点已知点已知点已知点P
7、(P(x x,y),y)为圆为圆为圆为圆 x x2 2+y+y2 2=4=4上的动点，上的动点，上的动点，上的动点，则则则则 x x+y+y 的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为_4/22/2023能力能力思维思维方法方法1.1.求求求求与与与与 x x 轴轴轴轴相相相相切切切切,圆圆圆圆心心心心在在在在直直直直线线线线 3 3x x-y=0y=0上上上上,且且且且被被被被直直直直线线线线x x-y=0y=0截截截截下的弦长为下的弦长为下的弦长为下的弦长为 27 27 的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程.4/22/2023能力能力思维思维方法方法1.1.求求求求与与与与 x x 轴轴
8、轴轴相相相相切切切切,圆圆圆圆心心心心在在在在直直直直线线线线 3 3x x-y=0y=0上上上上,且且且且被被被被直直直直线线线线x x-y=0y=0截截截截下的弦长为下的弦长为下的弦长为下的弦长为 27 27 的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程.4/22/2023能力能力思维思维方法方法1.1.求求求求与与与与 x x 轴轴轴轴相相相相切切切切,圆圆圆圆心心心心在在在在直直直直线线线线 3 3x x-y=0y=0上上上上,且且且且被被被被直直直直线线线线x x-y=0y=0截截截截下的弦长为下的弦长为下的弦长为下的弦长为 27 27 的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程.4/22
9、/2023能力能力思维思维方法方法1.1.求求求求与与与与 x x 轴轴轴轴相相相相切切切切,圆圆圆圆心心心心在在在在直直直直线线线线 3 3x x-y=0y=0上上上上,且且且且被被被被直直直直线线线线x x-y=0y=0截截截截下的弦长为下的弦长为下的弦长为下的弦长为 27 27 的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程.4/22/2023能力能力思维思维方法方法求圆的方程有两类方法求圆的方程有两类方法求圆的方程有两类方法求圆的方程有两类方法:(1)(1)几何法几何法几何法几何法:通过研究圆的性质通过研究圆的性质通过研究圆的性质通过研究圆的性质,直线和圆、圆与圆的位置关系，直线和圆、圆与圆
10、的位置关系，直线和圆、圆与圆的位置关系，直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程。进而求得圆的基本量和方程。进而求得圆的基本量和方程。进而求得圆的基本量和方程。(2)(2)代数法代数法代数法代数法:即用即用即用即用“待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：求圆的方程，其一般步骤是：求圆的方程，其一般步骤是：求圆的方程，其一般步骤是：根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；利用条件列出关于利用条件列出关于利用条件列出关于利
11、用条件列出关于a a、b b、r r或或或或D D、E E、F F的方程组；的方程组；的方程组；的方程组；解出解出解出解出a a、b b、r r 或或或或 D D、E E、F F，代入标准方程或一般方程。，代入标准方程或一般方程。，代入标准方程或一般方程。，代入标准方程或一般方程。另外，根据条件先尽量减少变元设方程，可减少运算量另外，根据条件先尽量减少变元设方程，可减少运算量另外，根据条件先尽量减少变元设方程，可减少运算量另外，根据条件先尽量减少变元设方程，可减少运算量!4/22/2023能力能力思维思维方法方法4/22/2023能力能力思维思维方法方法解题回顾：解题回顾：解题回顾：解题回顾：
12、在解答中，采用了对直线与圆的交点在解答中，采用了对直线与圆的交点在解答中，采用了对直线与圆的交点在解答中，采用了对直线与圆的交点“设而不设而不设而不设而不求求求求”的解法技巧，由于的解法技巧，由于的解法技巧，由于的解法技巧，由于“OPOPOQOQ”即等价于即等价于即等价于即等价于“x xP Px xQQ+y+yP Py yQQ=0=0”,”,所以最终应考虑所以最终应考虑所以最终应考虑所以最终应考虑应用根与系数关系求应用根与系数关系求应用根与系数关系求应用根与系数关系求mm!另外，在使用另外，在使用另外，在使用另外，在使用“设而不求设而不求设而不求设而不求”的技巧时，必须注意这样的的技巧时，必须
13、注意这样的的技巧时，必须注意这样的的技巧时，必须注意这样的交交交交 点是否存在点是否存在点是否存在点是否存在!4/22/2023能力能力思维思维方法方法变式题变式题变式题变式题1 1：换换换换OPOPOQOQ为以为以为以为以PQPQ为直径的圆过原点！为直径的圆过原点！为直径的圆过原点！为直径的圆过原点！解：解：解：解：以以以以PQPQ为直径的圆过原点为直径的圆过原点为直径的圆过原点为直径的圆过原点O,O,OPOPOQOQ变式题变式题变式题变式题2 2：换换换换OPOPOQOQ为为为为OPOQ=0OPOQ=0解：解：解：解：直线直线直线直线x x+2y+2y-3=03=0不过原点，不过原点，不过
14、原点，不过原点，|OP|0,|OQ|0,|OP|0,|OQ|0,OPOPOQOQ4/22/20233.3.求过直线求过直线求过直线求过直线 2 2x x+y y+4=0+4=0 和圆和圆和圆和圆 x x2 2+y y2 2+2+2x x-4 4y y+1=0+1=0 的交点的交点的交点的交点,且面积最小的圆的方程且面积最小的圆的方程且面积最小的圆的方程且面积最小的圆的方程!解：因为通过两个交点的动圆中，解：因为通过两个交点的动圆中，解：因为通过两个交点的动圆中，解：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此两面积最小的是以此两面积最小的是以此两面积最小的是以此两交点为直径端点的圆交点为直径端点
15、的圆交点为直径端点的圆交点为直径端点的圆，则有：，则有：，则有：，则有：解方程组解方程组解方程组解方程组 得交点得交点得交点得交点 所以圆心坐标为所以圆心坐标为所以圆心坐标为所以圆心坐标为 半径为半径为半径为半径为 故所求圆方程为故所求圆方程为故所求圆方程为故所求圆方程为能力能力思维思维方法方法4/22/2023 4.求圆求圆 关于直线关于直线 对称的圆点方程对称的圆点方程 解解:圆方程可化为圆方程可化为 圆心圆心C(-2,6),半径为半径为1,设对称圆圆心为设对称圆圆心为 则则 与与C(-2,6)关于直线关于直线 对称对称因此有因此有 解得解得 故所求圆方程为故所求圆方程为能力能力思维思维方
16、法方法4/22/20235 设方程设方程 ，若该方程表示一个圆，求若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的取值范围及这时圆心的轨迹方程。的轨迹方程。能力能力思维思维方法方法4/22/20235 设方程设方程 ，若该方程表示一个圆，求若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的取值范围及这时圆心的轨迹方程。的轨迹方程。解：已知方程表示圆的充要条件是解：已知方程表示圆的充要条件是 即即解得解得故当故当 时，方程表示圆。时，方程表示圆。设圆心为设圆心为C(x,y)，则，则 消去消去m，得，得 由由 得得x=m+3 所求方程为所求方程为4/22/2023求轨迹方程的一般步骤：求轨迹方程的一般步
17、骤：建系设动点；建系设动点；建系设动点；建系设动点；列出几何等式；列出几何等式；列出几何等式；列出几何等式；坐标转化几何等式得出方程；坐标转化几何等式得出方程；坐标转化几何等式得出方程；坐标转化几何等式得出方程；化简方程；化简方程；化简方程；化简方程；除去不符合题意的点，作答！除去不符合题意的点，作答！除去不符合题意的点，作答！除去不符合题意的点，作答！4/22/2023解解解解:设设设设MM的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为(x x,y y),),点点点点MM的轨迹是以的轨迹是以的轨迹是以的轨迹是以(6,0)(6,0)为圆心、为圆心、为圆心、为圆心、2 2为半径的圆。为半径的圆。为半径的圆。为
18、半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点点点P P的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为(2(2x x-12,212,2y y)(2(2x x-12)12)2 2+(2+(2y y)2 2=16=16即即即即 M M的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为(x x-6)6)2 2+y y2 2=4=4点点点点P P在圆在圆在圆在圆x x2 2+y y2 2=16=16上上上上x xMMP PA Ay yO O6.6.如图如图如图如图,已知点已知点已知点已知点P P是圆是圆是圆是圆x x2 2+y y2 2=16=16上的一个动点上的一个动点上的一个动点
19、上的一个动点,点点点点A A是是是是x x轴轴轴轴上的定点上的定点上的定点上的定点,坐标为坐标为坐标为坐标为(12,0).(12,0).当点当点当点当点P P在圆上运动时在圆上运动时在圆上运动时在圆上运动时,线段线段线段线段PAPA中点中点中点中点MM的轨迹是什么的轨迹是什么的轨迹是什么的轨迹是什么?能力能力思维思维方法方法4/22/2023能力能力思维思维方法方法 拓拓展展4/22/2023方法总结方法总结与圆有与圆有与圆有与圆有关的最关的最关的最关的最值问题值问题值问题值问题借助图形的性质，利用数形结合求解借助图形的性质，利用数形结合求解借助图形的性质，利用数形结合求解借助图形的性质，利用
20、数形结合求解!4/22/2023课堂小结：课堂小结：1.1.用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)(1)设所求圆的方程为标准式或一般式；设所求圆的方程为标准式或一般式；设所求圆的方程为标准式或一般式；设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)(2)列出关于列出关于列出关于列出关于a a、b b、r r或或或或D D、E E、F F的方程组；的方程组；的方程组；的方程组；(3)(3)解方程组，求出解方程组，求出解方程组，求出解方程组，求出a a、b b、r r或或或或D D、E E、F F的值，代入的值，代入的值
21、，代入的值，代入所设方程，就得要求的方程所设方程，就得要求的方程所设方程，就得要求的方程所设方程，就得要求的方程2.2.关于何时设圆的标准方程关于何时设圆的标准方程关于何时设圆的标准方程关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程何时设圆的一般方程何时设圆的一般方程何时设圆的一般方程 一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程！无直接关系，往往设圆的一般方程！无直接关系，往往设圆的一般方程！无直接关系，往往设圆的一般方程！4/22/2023