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1、叶坪初中教研室叶坪初中教研室 黄宝发黄宝发动态几何与实验操作动态几何与实验操作一、关于对动态几何问题的理解一、关于对动态几何问题的理解以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为称之为动态几何问题动态几何问题.动态几何试题就是研究动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的位置、数量关系的“变变”与与“不变不变”性的试题性的试题 动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力，动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的有
2、较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的变化（动点、动线段、动图问题），能很好地考查学生学习变化（动点、动线段、动图问题），能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质，体现开放性。主要以中档题与数学的探究能力和综合素质，体现开放性。主要以中档题与综合题形式出现，有时也会以选择题形式出现。综合题形式出现，有时也会以选择题形式出现。分分 类类l题型分类：点动型、线动型、面动型l运动形式：平移、旋转、翻折、滚动动态几何之从特殊到一般动态几何之从特殊到一般 从特殊到一般（当然也包括从一般到特殊）是一种重要的数学思维方式，在更加注重课堂效度、注重师生可持续发展能力培养的新课程理念的指引下，正
3、广泛运用于各种数学活动中.认识它、掌握它、驾驭它，已成为越来越多的学生、教师及教研人员的迫切需求，从基本的几何图形入手，解读这一数学思维方式在问题探究中的运用，以求抛砖引玉.动态几何：其内涵主要是指几何问题探究中的条件动、结论动、图形动、方法动、思维动等等。一、“从特殊到一般”的基本含义 从特殊到一般（或从一般到特殊）是指通过对特殊现象的认识，利用归纳、类比、猜想（很多专家都认为，猜想本身就是一种合情推理.）等推理形式，探索发现结论的一般性、延展性及可变性，解决问题手段和方法的规律性，图形变化的可持续性等等.二.“从特殊到一般”基本含义的诠释 1.探“源”1.1源 源是指在数学的文字语言、图形
4、语言、符号语言中存在的可以运用“从特殊到一般”这一思维方式进行问题探究的切入点和关键点.“从特殊到一般”的源可分为“特殊化源”和“一般化源”两类.2.“源”存在的几种基本形式 2.1“源”之一：题设中隐含的条件【题1】如图1所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE+DF=EF.则EAF=度.ABCDEF图图1 1ABC(E)D(F)图图1-11-1ABCDEF图图1-21-2 探究策略：点E、F可以是边BC、CD上的任意一点.问题的核心是EAF可以绕点A旋转，且EAF的度数是一个定值.猜想：在图形较准确的前提下，直接测量.特殊化源：在确保BE+DF=EF的前提下，点E、F
5、可以是边BC、CD上的特殊点.设点E、F分别与C、D重合，如图11，此时BE=BC，DF=0，EF=CD，仍满足BE+DF=EF.显然有EAF=45.设BE=DF=，如图12，连接AC，则AC垂直平分EF，五边形 ABEFD被分割成四个全等的直角三角形，易得EAF=45.启示：探究一般化图形中的结论，可以抓住已知条件中隐含的可变因素，将图形特殊化，从而暴露出图形的本质属性.2.2“源”之二：解题过程中隐含的条件图图2ABCDEABCDE图图2-1【题2】如图2，ABC中，AB=AC，DA=DE，BAD=20，EDC=10，则DAE=度.解：设B=C=x，DAE=DEA=y，ADE=z.则有解之
6、得y=z，即DAE=60.探究策略：显然，图2中BAC60，此时点D在BC边上.若BAC60，如图21，则点D应在CB的延长线上，点E则在AC的延长线上.此时，ADE仍是等边三角形.从解题过程可知，方程组中两个10与一个20正好抵消，这意味着将条件一般化为BAD=2EDC，就有ADE是等边三角形的结论.当BAC=60时，点D与点B重合，即ABC与ADE重合.此时BAD=2EDC=0.逆向思维：若DAE是等边三角形，其他已知条件不变，则BAD=2EDC成立吗？一般化源：由解方程组中两个10与一个20不加修饰的抵消，得出一般化条件BAD=2EDC.启示：反思解题过程，极有可能是下一个精彩的开始.在
7、反思解题过程中，依据已知的若干个别因果联系（特殊化），往往能洞察更一般化的本质属性，从而揭示出未知的一般因果联系.2.3“源”之三：结论中隐含的条件 【题3】如图3，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.（1）设长方形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y最大？最大值是多少？【题4】如果把长方形改为如图4所示的位置，其他条件不变，那么长方形的最大面积是多少？A40m30m图图3 3B DCA40m30m图图4 4BDC 一般化源：两题结果均为300m2，即内接矩形的最大面积均等于直角三角形面积的一半.探究
8、策略：将图形（数据）一般化，如图所示.设矩形（阴影部分）的面积为S.Ab图图3-13-1BDCaPcQccAb图图4-14-1BDCaO 启示：结论的获得并不意味着解题的结束，两题结论看似巧合，实则必然.把巧合作为切入点，距真理（或真相）就会越来越近.2.4“源”之四：题设中的限制条件ABCD(G)EF图图5【题5】如图5，两个边长相等的正方形一边重合.连接AC、FC.求证：（1）AC=FC；（2）ACFC.探究策略：点B、C、E在同一条直线上，且C是BE的中点.两个正方形的大小关系：全等.两个正方形的位置关系：一边重合.能否突破题设的限制条件，使图形一般化？如图51，点B、C、E在同一条直线
9、上，若BCCE，显然ACFC，只有取BO=EF，才有AO=FO与AOFO成立.一般化源：两个正方形边长不等，点B、C、E在同一条直线上.图5中，C是BE的中点.为什么图51中O却不是线段BE的中点？根据特殊图形中某些属性可以在一般化图形中自然延续这一规律，O必定是某一线段的中点.如图51，有BO=CE，则只要延长CB到M，使BM=BC，再延长CE到N，使EN=EC，则O就是线段MN的中点，即B、E、O必须同时赋予“中点”的身份.如图52ABCDEFGO图图5 51 1ABCDEFGO图图5 52 2MN【题51】如图52，B、E、O分别是线段MC、CN、MN的中点，连接AO、FO.求证：（1）
10、AO=FO；（2）AOFO.两个正方形边长相等，点B、C、E不在同一条直线上，即BCE180.【题52】如图53，B、E、O分别是MCN一边的中点，连接AO、FO.问：AO=FO与AOFO还成立吗？两个正方形边长不等，点B、C、E不在同一条直线上.ABCDEFGO图图51ABCDEFGOMN图图53ABCDEFGOMN图图54ABCDEFGO图图52MN【题53】如图54，B、E、O分别是MCN一边的中点，连接AO、FO.问：AO=FO与AOFO还成立吗？启示：题设中的限制条件是为探究有限结论服务的，有规律的突破它，就有意外的惊喜.弄清一般图形中相应点、线段的“新身份”是贯彻从特殊到一般的重要
11、基础，是确保特殊图形中的结论在一般化图形中延续的前提和保证.图53及图54是将一般化进行到底.这里涉及两个方面：一是两个正方形绕点C旋转，在旋转中，图形固有的属性（性质）可能不变或发生规律性的变化；二是B、E、O三点仍然分别为线段MC、NC、MN的中点，只是因旋转变换使B、C、E三点不再在同一条直线上，派生出了MCN.【题6】如图6，直角三角形的直角顶点P(不与点B重合)在正方形ABCD的对角线BD上滑动，其中一条直角边始终经过点A,另一条直角边交BC于点Q.问：线段AP与PQ有怎样的数量关系？2.5“源”之五：图形中可以弱化的条件ABCDPQ图图6 6ABCDPQ图图6-16-1ABCDPQ
12、图图6-26-2一般化源：四边形的四个内角是直角，且APQ与四边形对角线所分的角相等.【题61】将正方形换成矩形.如图61，线段AP与PQ又有怎样的数量关系？四边形的四条边相等，且APQ与四边形对角线所分的角相等.【题62】将正方形换成菱形.如图62，菱形ABCD中，ABC=120.P是对角线BD上一动点，APQ=120（为什么是120？）.问：线段AP与PQ有何数量关系？ABCDPQ图图6-3EFABCDPQ图图6-4EFEF图图6-5ABCDPQ探究策略：“点P不与点B重合”的画外音是“点P可以与点D重合”.将图形特殊化，即设点P与点D重合.则以正方形为背景中有AP=PQ，以矩形为背景中有
13、APPQ=ADDC.经探究，在正方形中构造全等三角形(RtAEPRtPFQ)可得AP=PQ，如图63；在长方形中，如图64，通过构造相似三角形(RtAEPRtPFQ)得APPQ=AEPF，即APPQ=BFPF，所以APPQ=ADDC.如图65，证ABPPBQ，得APPQ=ABPB=DBPB.也可如图65，过点P作EFAB，证APDPQF.当背景图形为菱形时，将点P特殊化.当点P与点D重合时（PD=0），APPQ=ADDC=1=ADDB；当点P是DB的中点（PD=DB）时，APDB，PQBC，APPQ=2=ADPB.由此看出，APPQ的值均保持了固有的延展性，即图形的基本属性得以延续.启示：从解
14、题手段上看，都可以过点P作EFAB，体现解题手段的一致性.从结论上看，正方形中AP=PQ即APPQ=1=ADDC，这一结论在长方形及菱形中得以自然延续.从解题方法上看，是由证三角形全等过渡到证三角形相似，体现了解题方法的从特殊到一般.将图形一般化之所以能实现，是因为它们有着共同的基本属性.如：矩形中APQ是90而菱形中APQ是120，也是基于APQ的顶点P所在对角线对应角的度数而确定的.当然，菱形中若点P在对角线AC上，则相应角的度数应是60.显然，这种一般化还可延伸到平行四边形.有兴趣者不妨一试.二、实验与操作 实验与操作是研究“课题学习”型问题，这类试题的立意不同于一般的“知识型”问题，它
15、主要的目的是培养学生的实践能力，使学生获得研究问题的经验和方法，发展学生的个性和创新精神。实验与操作的试题呈现形式各有千秋，主要有两种类型：（一）以数学实践为题材的课题学习 本类型“课题学习”一般是研究：测量、制作、设计等实践性活动性问题，在研究过程中，要求学生通过自己动手、动脑去探究、发现、归纳，最终解决某一实践问题，其实就是体现学生自主探索和合作交流，综合运用知识解决课题的一个学习过程。例1：（2011年江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（0900）现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.A1A2ABCA3A4A5A6a1a2a3图甲活动一
16、：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直.（A1A2为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：.(填“能”或“不能”)（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.=_度；若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.活动二：A1A2ABC图乙A3A4如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则=_，=_，=_（4）若只能摆放4根小棒，求 的范围.（用含的式子表
17、示）第（4）问中给出的答案如下：由题意得：我们通过几何画板的课件可以发现此题答案存在错误.由此可见几何画板功能的强大！（二）以探讨数学问题为素材的课题学习 例2：（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。实验与论证 设旋转角A1A0B1=（A1A0A2）,3，4，5，6，所表示的角如图所示。（1）用含的式子表示角的度数：3=_4=_5=_（2）图1图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳归纳与猜想与猜想设正n边形A0A1A2An1与正n边形A
18、0B1B2Bn1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2Bn1绕顶点A0逆时针旋转（）（3）设n与上述“3，4，”的意义一样，请直接写出n的度数；（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由启示：本题是研究一个由特殊到一般结论的数学问题，先从既简单又特殊的情形入手，将所获得的结论推广到一般，灵活运用转化、归纳等数学思想方法解决问题。三.结束语 动态几何之从特殊到一般，是引领解题、讲题、命题等基本教学活动的重要思维方式之一，是开展类比联想和分类讨论的重要源泉.它包含了条件的
19、从特殊到一般，结论的从特殊到一般，图形的从特殊到一般，解题方法的从特殊到一般等等.通过特殊去认识一般，一般中又蕴含着特殊，体现了辩证法思想.它既是问题探究的一种策略，更是一把开启创新之门的金钥匙.让我们深刻理解并合理运用它，以探寻问题的发生、发展及解决、拓展过程，洞察几何图形中的丰富内涵，从而提高“预测结果”和“探究成因”的能力，培养思维的灵活性、广阔性和深刻性，享受几何的动感之美，内在之美，和谐之美.对于“课题学习”内容的考查是近几年的一股新潮，特别是2009、2010和2011年，全国各地（特别是江西）的中考数学试题中出现了许多立意深、情境深、思维价值高的“课题学习”型试题。因本人水平有限，不当之处敬请谅解因本人水平有限，不当之处敬请谅解！谢谢大家谢谢大家！2011年年3月月30日日